La congruence

(i) x'— i==r!o (mod. M),

dans le cas d*un module composé quelconque, se ramène facilement aux cas que nous venons de considérer. Soit, en effet,

p, q, Ty , * , étant des nombres premiers inégaux. Il est évident que toute racine de la congruence proposée doit satisfaire à la même congruence

(2) j:'— izn-o,

suivant chacun des modules p^y q^y r^, .... Réciproquement, si Hj h y c. . . . désignent des racines de la précédente congruence suivant les modules respectifs^*, q^y z'^, ..., et que Ton détermine le nombre x de manière que Ton

ait

j-ETTfl (mod./?''\

x-..b (mod.^i*;, a-r^ c (mod. /^.,

ce nombre x satisfera à la congruence (2) sui\ant chacun des modules />*, q^y r^ el, par conséquent, il satisfera aussi à la même congruence prise suivant le module M.

SECTKKN m. CHAPITRE II. 9I

D'après cela, la recherche des racines de la congnience proposée est ramenée à la résolution de congruences dont le module est une puissance d'un nombre premier et au problème dont nous avons donné la solution au n^ 290.

Des indices.

326. L'existence des racines primitives, pour un module M égal à une puissance d'un nombre premier impair ou égal au double d'une telle puissance, entraîne des conséquences très-importantes que nous devons présenter ici.

Soit a l'une quelconque des racines primitives ; les puissances de a donneront tous les nombres premiers au module. Si donc N désigne l'un quelconque de ces nombres, on aura, pour certaines valeurs de /2,

û»==N (mod. M).

Chacun des nombres n ainsi déterminés prend le nom d'indice du nombre N, et la racine primitive a est dite la base des indices.

Un nombre a une infinité d'indices, mais tous ces indices sont congrus suivant le module cf (M) ; on peut donc se borner à considérer V indice minimum qui est l'un des

nombres

Il est évident que l'indice minimum de l'unité est zéro. Si l'on a calculé les indices des nombres N premiers à M, au moyen de la base a, et que Ton veuille prendre pour base une autre racine primitive a!, on pourra obtenir facilement les indices qui se rapportent à cette base. Car soit e l'indice de la nouvelle base a', dans le premier système ; on aura

a'^^-.a^ (mod. M},

9^ corRs D'ÂLcÈBmB supésiEcmE.

et si ;i et n' sont les indices d^un même nombre relatifs aux bases respectives a et afj on aura

fl'»'stf- ;iDod. M\

fl'''=irtf» (mod. M ; ce qui exige que Ton ait

n ezzzn ou n zzz - [mod. o(M)],

puisque e est premier avec 9 (M).

Par conséquent, les nouveaux indices s'obtiendront en divisant les anciens par l'indice de la nouveUebase relatif au premier système.

327. Les propriétés des indices sont analogues à celles des logarithmes; elles découlent toutes de la proposition suivante :

Théorème. — U indice d'un produit de plusieurs fac^ ieuis, pris suis^ant le module M, est congru^ suivant le module 7 (M), à la somme des indices des /acteurs.

En eflet, soient a, 6, y, . . . les indices des nombres A, B, C>, . . . , dans le svstème dont la base est a. On aura

a«.j2A, tf*::B, a^ — C, ... ,mod. M},

et, en multipliant toutes ces congruences, il vient

fl*-*-*^* -ABC. . . >od. M),

ce qui montre que Tindice minimum du produit ABC... est le résidu de a -r- 6 -i- y -î- . . . relativement à cj> (M}. On a donc

ind. (ABC. . . =T3ind. A-l-ind. B-f-ind. C-h. . . [mod. f (M)].

Corollaire I. — L'indice d'une puissance d'un nombre, suiv^ant le module M, est congru, suivant le module

SECTION m. — CHAPITRE II. qS

cp(M), au produit du nombre par l'exposant de la puissance.

CoKOLLAinE II. — L'indice du quotient de deux nombres, suii^ant le module M, est congru, suis^ant le module o^ [TA), à l'excès de (indice du premier nombre sur l'indice du second.

En eflety régalité

entraîne

|XB=1

ind. - -4- ind. Bï^ind. A [mod. y (M)],

B ou

ind. - 5^ ind. A — ind.B [mod. y (M)].

On voit, d'après cela, que si l'on a deux Tables dont Tune donne les indices des nombres pour chaque module, et dont l'autre fasse connaître les nombres qui répondent à des indices donnés, on pourra résoudre facilement les congruences du premier degré, puisqu'on peut les ramener à d'autres dont les modules soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers.

Usage des indices dans la résolution des congruences

binômes.