Les racines de la congruence binôme (i) x'e-A (mod. M
peuvent, si l'on veut, être représentées par la formule
(2) x^z^yX (mod. M];
le module M est, comme précédemment, une puissance
94 coL'RS d'algèbre supériecrb.
d'un nombre premier impair ou le double d'une telle puissance. Il s'agit de déterminer les nombres compris
ainsi dans le symbole \ A (mod. M).
La congruence (i) équivaut, d'après ce qui précède, à la suivante:
(3) /. ind. xz^ind. A [mod. î>(BÎ)];
on est donc ramené y si Ton possède une Table des indices, à la résolution d'une congruence du premier degré.
Lorsque t est premier avec ç(M), la congruence (3) donne pour ind. x une valeur unique, et par suite la proposée (i) n'a qu'une seule racine. Mais, lorsque t et ({«(M) ont un plus grand commun diviseur i supérieur à I, la congruence (3) n'est possible que si ind. A est divisible par 3, et, dans ce cas, la congruence (i) a (} racines.
Supposons, par exemple, A = i; la proposée devient
ae'^l (mod./?* ou 2/?*),
et l'on en tire
i, ind. X ==2 o [mod. p"^^ (z' — i )]•
Si donc d est le plus grand commun diviseur des nombres t et/>*~'(yj? — i), on aura ces valeurs de ind. x:
md.JTtn 9 2 ^ 9 ..., O 9
desquelles on conclura ensuite les d valeurs de x.
Démonstration d'un théorème de Lagrange.
329. Nous ne pourrions, sans sortir des limites que nous nous sommes fixées, développer ici toutes les conséquences de la tlicorie qui vient d'être exposée. Mais
SECTION m. CHAPITRE II. gS
nous en ferons cependant deux applications dont la première a pour objet la démonstration d'un théorème important de Lagrange. Cette démonstration est fondée sur le lemme suivant :
Lemme. — Si le nombre premier p est supérieur à 5, on trousse dans la suite
I® un résidu R suiv^i d'un résidu; 2® un résidu R' suii^i d'un non-résidu; 3® un non-résidu N suivi d'un nonrésidu; 4" ^n non-résidu ^' sui\fi d'un résidu,
Elnefiet, soient P un non-résidu ou de la forme 1,2, ..., (p — 2), et 7 l'associé de j3, c'est-à-dire un non-résidu. Je dis que les successions
(P, p + i) et (7,7-4-1).
qui ont leur premier terme (3 et 7 non-résidu, sont conjuguées. En effet, à cause de
p7 = i [mod.p],
si jS-f-i est non-résidu, 7 -f- i ^7 -h j37-^(P -f-i)7, (mod. p), 7 -f- 1 sera le produit de deux non-résidus : il est donc résidu. Si 3 -h i est résidu, la précédente congruence exprime que 7 + 1 est non-résidu. On a donc
[l) N'rr:N.
11 y a lieu de distinguer le cas de p =. ^g -hi, et celui de^ = 4^ H- 3.
Supposons /? = 4^ "*- 1 et désignons par a, c^, . . . les résidus et par i, i', ... les non-résidus. Dans le cas que nous examinons et dont la somme égale /?, deux nombres sont résidus ou non-résidus; on peut donc poser
q6 cours d*àlgèbre supérieure.
Cela étant, chacune des successions entraîne l'autre
[a,b) et {b',a').
SI Ton fait i = a -:- i, la précédente égalité se réduit à a'= b' -\- i; donc
En second lieu, comme il y a résidus et autant
de non-résidus et que le dernier terme p — i de la suite est résidu y on a
j, + v' = LzlL,
Ces dernières équations, jointes aux équations (i) et (2), donnent ainsi
Supposons p = 4y -h 3. Alors deux nombres complémentaires à p sont Tun résidu, Tautre non-résidu. On peut donc poser
p z= a -I- b — . il' -;- b';
alors chacune' des successions
[b,b'] et (a\a) entraîne l'autre et Ton a, par conséquent,
Ensuite le dernier terme de la suite étant non-résidu,
SECTION III. CnAPITRE TI. 97
on a
'=- =- hl,
^^^^=PlZl,= P^zl
Ces dernières équations donnent avec (i) et (5)
R'='— 7 hl.
Remarque. — Ce lemme subsiste dans le cas de p= 3 : on a N = N' = R = o et R'= I ; il a lieu encore si ;? = 5 : on a N = N'= R'=: i et R = o.
Corollaire. — Si C désigne un nombre quelconque non divisible par p, la proposition précédente subsiste qu€ind, à la suite
on substitue la suis^ante :
En effet, si C est résidu, deux termes correspondants des suites (i) et (2) sont à la fois résidus ou non-résidus. Au contraire, si C est non-résidu, les résidus de la suite (2) correspondent aux non-résidus de la suite (1), et inversement.
330. Théorème. — Si p est un nombre premier sapé-rieur à 5, A, B, C trois entiers positifs ou négatifs non divisibles par p^ on peut toujours trouver deux entiers t
et u inférieurs à-^ tels que
Af2H-Bw»4-G
ioit divisible par p,
s, — Alg. sup», [1. 1
9^ COURS D'ALGtBBE SUPÉRIEURE.
I** Si B et — C sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus quadratiques par rapport à p^ on peut prendre f = o ; en effet, il ne restera plus alors qu'à satisfaire à la congruence
Bii*-f-C==o (mod./?), ou B i/' -f- (C -t- Xy?) == o (mod./?),
X étant un entier quelconque. Si Ton détermine cet entier de manière que Ton ait
ft étant un entier, notre congruence deviendra
u^=i=li (mod./^),
et il sera possible d'y satisfaire, car, B et — C étant l'un et l'autre résidus ou non résidus, fi est nécessairement résidu.
Pareillement, si A et — C sont tous deux résidus ou tous deux non-résidus, on pourra satisfaire à la condition énoncée, en prenant u = o, quel que soit le nombre premier p.
a® Si p est ^ 5, on peut toujours satisfaire à la congruence
Ar' ■+- Bii' -f- Clizfo (mod.y?),
en prenant pour t et u des valeurs positives inférieures à
-• En effet, soient « et 6 deux nombres qui soient res-
peclivcment de même espèce que -h A et — B ; je dis que deux nombres sont de même espèce quand ils sont l'un et Taulre résidus ou non-résidus. D'après le lemme qui précède, je puis choisir les nombres a et 6 de manière que Ton ail
C — K^:C (iiu)(l./>),
et si l'on désigne par X et /Jt des nombres entiers tels que
a -+- py. € -h pu
soient des entiers , ces entiers seront nécessairement résidus; on aura donc
a -^- p\ , 6 -^ ptx . , ,
— ^=^, -^^u^ (mod./.),
ou
a = A^, e==E— Bi/» (inod.p);
et comme S — a ^ C, on aura aussi
A/* -f- Btt* -h C ^ o (mod./? ),
ce qu*il fallait démontrer.
Remarque. — D'après ce théorème, la formule £* -h a^ 4- 1 comprend des nombres divisibles par /?, quand p est ^ 5. Mais la même chose a lieu encore dans le cas de y? = 5, pour t = o, u = 2 ; dans le cas de p = 3, pour 1= u = i, et dans le cas de p = 2, pour i = o, ii=i. D'ailleurs la formule t^~\-u^-hi est comprise dans cette autre plus générale, P^ -t-Q'^ 4- K.^ +- S^; d'où il résulte que tout nombre premier divise une somme de quatre carrés premiers entre eux,
331. Cette conclusion va nous conduire à une conséquence importante qui se présentera comme corollaire de la proposition suivante :
Théorème. — Tout nombre qui divnse la somme de quatre carrés premiers entre eux est lui-même la somme de quatre carrés.
Supposons que p divise
9 oa
lOO COmS D^ILGÊBRE SUPÉlIEUmE*
et désignons par lii a, =h i, dzc^ dz d les résidus mîuima des nombres A, B, C, D, de manière que a, by c, d
soient compris entre zéro et -; alors p divisera Posons
( l) a- -r- ^* -.- c* -4- éP ^^ pf/;
a, i,c',rf étant moindres que -» on aura /y/ <^ 4 ( )
Si l'on avait p^= i, p serait la somme de quatre carrés, et le théorème serait démontré; supposons donc/>'^;- 1. Comme // divise a^-î- b^-r- c^+d^y il divisera aussi la somme des quatre carrés
et si Ton détermine a, ^^y, c) de manière que chacun de ces carrés soit moindre que -> » on pourra écrire
avec
Multipliant ensemble les équations (i) et (2), et fetisant usage de la formule établie au n" 2io, il vient
ia^— hy -4-cÇ — ^/a;V''-4- /'7 -i- b^ -^ col — d€)^p'' -{- [aC — Ou — ro-h fl'/Yp^ -+- [a* 4- 6»-+-c«H- ^Z*— «a -f- bC-hcy -hdê)p'yz=:pp'^p'';
divisant par//^, et ayant égard à Téquation (1), on a
aâ — hy -; cÇ — ^a)*-4- ay -\ bo — col — d^Y 4- ^a 6 — ^ a — cS-'r- dyY-\- \p — aoL— ÙC— cy — (ioj^=zpp*f
8BGTION III. CnAPITRlS iC. 101
on, pour abréger,
(3) /l'» -4- 6'« -f- C'« H- €f » rrr pp\
Cette équation (3) a la même forme que (i), seulement jf' est <^jfn Si l'on a ;?''= i , Téquation (3 ) montre que p est la somme de quatre carrés, et le théorème est démontré. Sinon, en opérant sur Téquation (3) comme nous avons fait sur Téquation (i), on obtiendra une nouvelle équation de la forme
OÙ Ton aura
et l'on peut continuer de cette manière jusqu'à ce qu'on obtienne une équation de la forme
ce qui arrivera nécessairement, puisque les nombres
sont des entiers qui vont en décroissant; d'où il suit enfin que le nombre p est la somme de quatre carrés.
Corollaire. — Tout nombre entier est la somme de quatre ou d^un moindre nombre de carrés.
En effet, tout nombre premier (n° 330) divise la somme de quatre carrés premiers entre eux ; il est donc lui-même la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés.
En second lieu, un nombre entier quelconque est le produit de plusieurs facteurs premiers ; chacun de ces facteurs est la somme de quatre carrés ; donc leur produit (n** 245) est lui-même la somme de quatre carrés.
UM COURS d'algèbre SUPÊRIEUr.E.
/ hior^me de Legendre sur la loi de réciprocité qui existe entre dciuc nombres premiers.
332. La loi de réciprocité découverte par Legendre l'uuîiiiïto dans le théorème suivant :
TiiéoRKME. — Si p et q sont deux nombres premiers impairs quelconques, on a
Ci/1 sorte que
à moins que p et q ne soient tous deux de la forme 4 A -H 3 ; on a dans ce dernier cas
\a\ dt^monstration que nous allons présenter est due à 1 lauss» ol elle a été reproduite par Legendre dans le tonu» Il do sa Théorie des nombres. Nous établirons «raluird le lenime suivant :
Soient p un nombre premier positif' autre que ik^etq un entier quelconque non di^'isible fh:r p ; les produits
donner\mt^ sui^imt le modul.' i\ — — rentes différents
c\Wêpns entf^ tes limites ^ et -^ >ei si i on
déui^ne f**tr y, le 'tomhre de ceiuc de ces restes qui s^tni
SECTION III. — CHiPITUB II. I03
En efiety soient (2) flj, Of, •.., a\
les X = ^ (i restes positifs, et
les [x restes négatifs.
Il est évident que l'un des restes ne peut être zéro ; de plus, deux résidus pris dans Tune des suites (2) ou (3) ne peuvent être égaux entre eux ; mais je dis, en outre, qu'on ne peut avoir a^ = i«. Effectivement, soient a ^, 6^ les multiples de </ qui ont fourni les restes a^ et — i^ ; Tégar lité a„t = bn entraînerait
«y=i=— €y ou (a-h^j^Ei^o [mod*p)j
ce qui est impossible, puisque q n'est pas divisible par p et que la somme a -h S est inférieure à p. Il résulte de là que la suite formée des nombres a cl b comprend les mêmes nombres que la suite
Les nombres de la suite (i) étant respectivement congrus aux nombres compris dans les suites (2) et (3), le produit des uns est congru au produit des autres, et i*on a
(1.2.3...^ )^* =-^ — i)-*«iûr,... flx ^i/>>2--* ^1* (mod. ^),
et en divisant les deux membres respectivement par les produits
