â^i <72 . . . ^X ^1 ^^t • • • ^jif

qui sont égaux entre eux, comme on vient de le dire^ on

I04 COUKS D^ILGÈBILE SITP^UECBC.

aura

q * ^ — I ^ 'iiiod./7\

.4. lj)=-.>.

ce qui est le résultat annoDcé.

Maintenant il est aisé de trouver une expression ans* 1 ytîque du nombre fi. Dans ce qui va suivre, nous désignerons par E'x'- le plus grand entier contenu dans une quantité quelconque Xy de manière que la différence X — E (x ) soit une quantité positive inférieure à i . Cela posé, soient aq et Sq les produits qui fournissent les restes a et — A, on aura

ou, en multipliant par a,

Comme 2 a et 26 sont inférieurs à p^ on voit que

sont respectivement les plus grands entiers contenus

dans — - et — -\ on a donc P P

Donnons à or cl à o toutes les valeurs dont ces nombres sont susceptibles; les formules précédentes fourniront

SECTION III. CHAPITRE II. lOD

X + fx équations distinctes^ et, en ajoutant toutes ces équations, il viendra

Mais, comme on n'a besoin de la valeur de yi que pour savoir si elle est paire ou impaire, on peut, dans cette formule, supprimer tous les termes de la seconde ligne, lesquels sont des nombres pairs, et nous écrirons simplement

Si l'on pose

nn / 77/7 \

on aura, en retranchant de ff chaque membre de cette formule,

d'où il résulte que l'on a, quel que soit n,

en ajoutant au second membre le nombre pair aE ( — )» on obtient cette congrucncc

I06 COURS D^LGEBRE SUPÉRIEURE.

Posons j) = ii± ly et donnons à n les valeurs i, 3, 5, . . ,21 — I ), la congruence ( 5 ) deviendra, en faisant usage des résultats ainsi obtenus,

,,™,;,-„*E(|).E^Î2).E{îi)....j

Cette formule (7)3 lieu, quel que soit le nombre q, pourvu qu'il ne soit pas divisible par py et cette remarque nous sera utile plus loin; si (/ est impair, (/ — 1 est un nombre pair et la formule (7) se réduit à

;8) " \ "/ '-^ ' (mod.a);

cette valeur de ^ peut être mise, comme on va le voir, sous une autre forme. Nous supposerons, dans ce qui va suivre, q <^ p\ alors le premier terme du second membre

de la formule (8) est zéro, et le dernier terme est -^ ,

car on a

P— 1 ? __ 7— ' . Ps^±^ 1 p 2 ' '} p

Cela posé, soit n un entier donné égal ou inférieur à

? et désignons par ui le nombre des termes de la

précédente valeur de|U qui sont inférieurs à/i. I^e nombre

m -I- I étant inférieur a /?, 1 expression ne

pourra jamais se réduire à un entier, et Ton aura, en conséquence,

SECTION m, — cnAPiTiiE II. 107

d'où

mq {m -\-\)q ^

ces inégalités expriment que m est le plus grand entier contenu dans — ; on a donc

Pareillement le second membre de la formule (8) contiendra E I - — ~ — ~ termes inférieurs à zi -j- i , si /i -h 1

n'est pas supérieur à ? c'est-à-dire si l'on a

Dans cette hypothèse, notre expression de fx contiendra d'après cela

termes égaux à n. En outre, le nombre total des termes de l'expression de a est -> et, comme le nombre de

ceux qui sont intérieurs a est 11 I — ) • il y

aura, dans fx,

termes égaux à

Si l'on multiplie l'expression (9) par n, qu'on rem-

io8 coms d'algîîbiie sirp^.RrFrn*.

place ensuite n par chacune des valeurs

2 3 (EZll-

qu^on ajoute enfin tous les résultats avec le produit de

l'expression (lo) par 9 il est évident qu'on repro-

duira la valeur de fx. On a donc

( mod. 2],

ou y en réduisant

„„ .='-i^'î=i -[E(£).E(^)^....E(î=iî)],«d.

La formule (8) s'applique à un nombre premier impair p et à un nombre impair quelconque q\ si donc on suppose q premier et que Ton fasse

le nombre v sera donné par la formule (8) en permutant, dans celle-ci, les lettres /^ et q\ on aura ainsi

(,3) .=.E(^)-.E(^)^...^E(i^£) («od..).

La comparaison des formules (i i) et (i3) donne

u-hv^- (mod. 21;

d^ailleurs on a, par les formules (4) el (12), donc

ce qui est la formule que nous voulions établir.

Remarque. — Il faut remarquer que le nombre — i est résidu de tous les nombres premiers 4* -h 1 , et qu'il est non-rcsidu des nombres premiers 4* -H ^•

On a effectivement, par la défiaition-du n*' 311,

cette égalité est d'ailleurs comprise dans notre formule (8); car, siy = — 1, chacun des termes du second membre de cette formule se réduit à — i, et l'on a

iLzEn— =£. [mod. 2 .

On conclut de là que la congruence

.r' -I- I E:=z o (mod./?)

estpossible ou impossible suivant que/? a la forme 4*-+- i ou la forme 4* ^" 3. Si le premier cas a lieu, le nombre/^ divise la somme de deux carrés, et il est, par suite, la somme de deux carrés, résultat auquel nous a déjà conduit le théorème de Wilson.

IfO COURS D ALGÈBRE SUPéRIEURE.

333. La formule (7) du ouméro précédent exige seulement, comme nous Tavons déjà dit, que q ne soit pas divisible par p. Si Ton y suppose 7 = a, les expressions

E ( - ' • • • • qui y figurent se réduiront toutes à zéro ; on aura donc

^ =H / EZE —y^— (mod. 2 );

d'ailleurs, — '- — est un nombre impair, et Ton peut écrire

^ 8 (mod. a).

Si, en second lieu, on pose ^ = — 2, les expressions E f - I -» E ( — Jî • . • de la formule (7) se réduiront toutes à — I , et Ton aura

lizzi— ^ (mod. 2),

D'après cela on a, pour tout nombre premier impair^,

(/ -t-i. 7>- 1 / V Ip—itp—"

formules qui expriment le théorème suivant :

Théorème. — Le nombre 4- a est résida quadratique de tout notnhre premier de l'une des formes 8/ -h 1, 8A -f- 7 ; il est non-rcsidu de tout nombre premier de l'une des formes SA" -f- 3, SA -f- 5.

Le nombre — 2 est résidu quadratique de tout nombre premier de l'une des formes SA -f- i, SA 4- 3;

il est non-résidu de tout nombre premier de l'une des formes 8A -H 5, 8Â -f- 7.

334. Il ne sera pas inutile de présenter ici quelquesunes des applications du théorème de Legendre. Ona, relative ment aux nombres premiers 3 et)5=3wd: i ,

d'ailleurs, relativement au module 3, -l-i est résidu et — i non-résidu ; si donc on distingue les nombres premiers en quatre classes, savoir :