X--+-1, 12/ H- 5, 12/- -{-7, 12/+ II
on aura cette proposition :
Le nombre -4-3 est résidu quadratique de tous les nombres premiers 1 2/r -f- 1 , ei^ 1 2Âr -f- 1 1 , et il est nonrésidu de tous les nombres premiers i2Â'-h5, i2A'-f-7.
Et, d'après ce qui a été dit au n°3H, on peut ajouter :
Le nombre — 3 est résidu quadratique de tous les nombres premiers 12/r -h i, iilî -\- 'j, et il est nori-résidu de tous les nombres premiers ia/r-|-5, i2Â-f-ii.
Ces deux propositions ont été démontrées pour la première fois, par Euler, dans le tome VIII des Nouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg ,
Relativement aux nombres premiers 5 et/^, on a
mais on a
suivant que p est de la forme 5/2 dz i ou de la forme
112 COURS d'âlgêbue SUPéEIErVZ.
j/i ±: 2 ; si donc on distingue les nombres premiers dans les huit classes
20X'— I, 20i^-^3, 20it-J-7, 20if-i-f>,
2oX-r-II, 2oX-r-l3, 20i-t-l7, 20/- -h It),
suivant le reste que donne leur division par 20, on aura cette proposition :
Le nombre ^- 5 est résidu qumlratique de tous les nombres premiers de l'une des formes 20k —i , 20Â- -r- 9, 2oA--î-ii, 2oA*-:-i9, et il est non-résidu de tous les nombres premiers de l'une des formes 2oAr4- 3, 20 A -f- 7, 20Â -+- 13, 20A-Î-17.
Et, conséquemment :
Le nombre — 5 est résidu quadratique de tous les nombres premiers de l'une des formes 20A-Î- 1 , 20 A -^-3, 20A -î- 7, 20A -i- 9, et il est non-résidu des nombres premiers de l'une des formes 2oAr-f-ii, 2oA-+-i3, 2oA-f-i7, 2oA'-f-i9.
De la congruence x' — N = o {mod. p), pétant
un nombre premier.
335. Le théorème de Legendre fournit le moyen de reconnaître, par un calcul facile, si la congruence
.r- — N ==:i o ; mod.p )
est solublc ou non ; car la condition de résolubilité est exprimée par Tégalité
Tout revient donc à déterminer le signe du symbole ( -j» Le nombre N peut toujours être rabaissé au-dessous de;;;
SECTION III. CHAPITRE lî, Il3
en outre, si ron a
a^byCy ... étant des facteurs premiers inégaux, on aura
mais on a évidemment
si a est pair, et
si a est impair; la détermination de ( - ] est donc ramenée à celle des symboles plus simples
a et b étant ceux des facteurs premiers de N qui figurent dans ce nombre avec des exposants impairs.
Considérons Tun de ces symboles, ( — | par exemple.
Sa valeur sera immédiatement connue (n°333), si (1 = 9.,
Dans le cas contraire, la recherche de I — j est ramenée,
par le théorème de Legendre, à celle de ( — j • On opérera
alors, à l'égard de ( — )> comme nous venons de le faire
relativement à ( — J? et, en continuant ainsi, on tombera
nécessairement sur des symboles dont la valeur sera connue.
s. — yff^' f"P'f n. c
Il4 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURS.
Exemple. — Soit la congruence
j:* -h 14591=0 (mod. 22366891 )•
qui est l*une de celles que Legendre a considérées dans sa Tliéorie des nombres.
Le module est ici un nombre premier 4 A* -h 3, et 14^9 est lui-même un nombre premier de cette forme ; on a donc
Le reste de la division de 22366891 par 14^9 est ^ii\\ donc
421 est un nombre premier 4A-I-1; par conséquent,
puisque 4 X 49 est un carre.
La congruence proposée admet donc deux racines.
