La congruence
.r* — N=ii=o (mod.y?)
ayant été reconnue possible, supposons qu'on veuille la résoudre. Nous distinguerons deux cas suivant que le module p est de la forme 4 A" -h 3 ou de la forme 4 A" 4- 1. Supposons d'abord
p=^k-\- 3, la congruence proposée étant possible, on a
N*— ir^o ou N'*-^* — I r:=o (mod./i],
SECTION III. CHAPITRE II. Il5
Cl, en multipliant par N,
jf u+j __ j,î =^ o (mod./>),
d*où il suit que les racines de notre congruence sont
Soit actuellement le cas où p est de la forme 4Ar + 1 ; les nombres 4^^-+- 1 comprennent les deux formes 8 A-t- 1 , 8A:+5, que nous allons considérer Tune après Tautre.
Supposons
la congruence proposée étant possible, on a
N**+*--iE=o (mod./?),
ou
(N**-*->-hi)(N**+>— i)e^o (mod./?);
on a donc
N**-*-»— i=o (mod./>),
ou
N*^+*-M=i-o (mod./?).
Si c'est le premier cas qui a lieu, on aura
N*^-^«— N=HO (mod.77),
et les racines de la proposée seront en conséquence
x — dzN^-*-» (mod./>).
Si au contraire le deuxième cas se présente, posons ÔET-N*"^» [moà.p), d'où Ô*=N*^-+-«s— N (mod./>],
la congruence proposée deviendra
X* -h 0*^0 (mod./?).
Or le nombre pj qui est de la forme 4 A -H i , est la somme de deux carrés premiers entre eux. On peut donc poser
Il6 COURS D*ALGkBIlE SUPÉRIEURE,
d'où, t et u étant des indéterminées.
On peut déterminer t ci u par la condition
att~€ri=ô,
et il est évident que la congruence proposée sera vérifiée en posant
x:=zi= (a/ -f- €«) (mod.p).
Il nous reste à examiner le cas où/? a la forme 8A:4-i. Alors il n*est pas possible, en général, de résoudre la congruence proposée sans tâtonnements, et Ton est obligé de calculer les termes de la suite
p-hN, 2/7-+-N, 3/^-hN ,...,
jusqu'à ce qu'on en trouve un qui soit un carré parfait. Cela ne peut manquer d'arriver lorsque la congruence proposée est possible, et, comme le carré que Ton cherche
est moindre que 7 p^y le nombre des termes à calculer,
dans la suite précédente, ne pourra jamais excéder jy?-
Il peut arriver cependant, dans le cas qui nous occupe, que Ton puisse trouver directement les racines demandées. Soit, en effet, :>/ la plus haute puissance de 2 contenue dans/? — I et posons
a étant un nombre impair et |u étant au moins égal à 3. La congruence proposée étant possible, on a
K»'^"*«--i (mod. /?),
et il se peut que Ton ait aussi
N':lLi (niod./>).
SECTION m. — cbapithe ii. 117
Admettant cette hypothèse, on aura
N«+«--d=N (mod.p),
et, comme a est impair, on pourra procéder exactement comme nous l'avons fait dans le cas de /? = 8/r -h 5.
Exemple. — Reprenons, avec Lcgendre, la con-
gruence
x' -h 1459=1=0 (mod. 22366891).
Nous avons vu que cette congruence a deux racines. Ici
Ton a
p = i -r- 3
et
On trouve que
c'est ce que montre l'égalité
De la congruence x^ — N :=h o, dans le cas d ^un module
quelconque.
337. Supposons d'abord que le module soit une puissance p'* d'un nombre premier impair />; la congruence proposée sera
(i) x^ — N = o (mod./?*).
Commençons par résoudre cette congruence, suivant le module /?, d'après la méthode du n° 336; si l'on désigne par ± \ les racines, on aura
(2) Ç«— Nei-o (mod. /^)
et, par suite,
(?*— N)^=o (mod./?').
ii8 couBS d'algèbre supérieure.
Or, en développant la puissance (Ç -r v^) > ^^ trouve un résultat de la forme
(3) (Ç-4-v'Ny = «-h€VN, a et 6 étant des entiers, et il en résulte
(4) (ç-v'N)*-«-6s/N, par suite
(5) a«__Ne=:-(Ç> — N)*i=o (mod.y^*).
La formule (3) ou (4) donne aussi
ou, à cause de la formule (2),
€=.ç- [■l4-'^^'^^^-4-...]^V-Ç>-t (mod./,),
ce qui montre que p ne peut diviser aucun dos nombres a et o. Alors on pourra trouver deux entiers t et u, tels que Ton ait
et en substituant cette valeur de a dans la formule (5),
il viendra
€'(/' — N -.0 [nvu\. p",
ou
(7) /* — >' 0 (niod./;^ ,
d*oii il suit qu*on aura les deux racines de la congruence
SECTION m. CHAPTTRF II. 1 I9
proposée en prenant
Remarque. — Lorsque le nombre N est un multiple de^ycas que nous avons exclu, la congruence proposée exige que x soit divisible par/?. Soit N=/7^'»IÏ', n étant le degré de la plus haute puissance de p^ qui divise N ; la congruence proposée ne pourra être satisfaite que si x est divisible parp". Posant donc x=p^z, elle se réduit à
a« — N' = 0 ( mod. /?^-"» ) .
et celle-ci sera impossible ou n'aura que la racine z = o, si N' contient encore le facteur p,
