Considérons maintenant la congruence

a:' — N^Ei^o (mod. 2*;.

Soit 2*" la plus haute puissance de 2^ qui divise N, il est évident que x doit avoir le diviseur 2" ; posant donc

notre congruence deviendra

z»— N': :o (mod. 2^-2'»).

D'après cela on peutsupposer queN soitimpaîr ou double d'un impair. Si N est double d'un impair, il est évident que la proposée n'est résoluble que dans le seul cas de V =:^ I, et l'on peut faire abstraction de ce cas.

Soit donc N impair; si v =: 2, la congruence proposée se réduit à

.r* — 1 = 0 ou à X* -f • I -— o ( mod. 4 î

la première est seule possible et n'a que les racines — i. Lorsque v est^> 2, la congruence proposée n'est possible que siN est de la forme 8Â -f- 1 , et l'on obtient facilement

120 covRS d'algebue supérieuhe.

une solution par des substitutions successives. Il faut remarquer qu'une solution particulière conduit à la solution générale. Car soit Xo une racine de la proposée, celle-ci pourra se mettre sous la forme

(x — ^o) ( ^ -H •''o ) ^=^ o (mod. 2*); d'où

l et u étant deux indéterminées. On tire de là

t= 2^-'ttzJ:jroî

u est arbitraire et les racines demandées sont données par la formule

.r^dt-r^-f- 2*~*w (mod. 2."],

Exemple. — Soit la congrucncc

x*H-i5 = -o (mod. 2*'),

la valeur j: = i satisfait à la congruence prise suivant le module 2* ; on posera donc

cty en substituant, il viendra

I H- r, -+- .{r; - o (mod. 2*).

On voit que i4- Xj doit cire divisible par 4> et Ton fera en conséquence

ce (jui donnera

I — yj*, H- iG.rJ o (motl. 2*J,

I — ^j-, rzo mod. 2*);

celte dcrnicre congruence est du premier degré et elle

a la racine 7 ; on fera donc

et Ton en conclura X| = 27, a: = 217. Les racines de la proposée seront ensuite données par la formule

jr z:^ zt. 2 1 7 H- 5 1 2 w,

qui comprend les quatre nombres