CHAPITRE IIL

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ENTIÈRES D'UNE VARIADLE, RELATIVEMENT A UN MODULE PREMIER.

Des fondions entières irréductibles, suivant un module

premier.

340. Je me propose de présenter ici avec des dcvelop- * pcments entièrement nouveaux une théorie importante que j'ai déjà exposée dans la précédente édition de cet Ouvrage, en me plaçant à un point de vue un peu diflTércnt. Cette théorie se rapporte exclusivement aux modules premiers ; elle a été Tobjet d'un Mémoire présenté par moi à l'Académie des Sciences, le 4 décembre i865.

Soient p un nombre premier, ^{x) et F(x) deux fonctions entières de x à coefficients entiers ; si Ton peut trouver deux fonctions entières ip(j:), x{^) ^ coefficients entiers et qui soient telles que l'on ait identiquement

et, par suite,

y[x) '^[x — "-F(-»*) (mod./>),

nous dirons que la fonction F(j') est divisible par ff^x) suivant le module p, ou qu'elle est éj;ale, suivant le module p, au produit des fonctions '^(.r), 'if{jr).

Supposons qu'une fonction entière 9(»r) soit ordonnée par rapport aux puissances décroissantes dej? ; si tous les coefficients sont divisibles par />, la fonction sera nulle suivant le module/;; dans le cas contraire, soita le premier des coefficients qui ne sont pas nuls suivant le mo-

SECTI017 III. CnAPITRE III. 1 13

dule Pj on pourra trouver un entier a, tel que

aai==ii (mod./?),

et par conséquent le produit a(f[x) pourra se mettre sous la forme

«?(') = F(-^)-+-/^xi-^).

F(a:) désignant une fonction entière dans laquelle le coefBcient delà plus haute puissance de x est Tunité; on peut évidemment supposer que tous les autres coefRcients soient rabaissés au-dessous de p.

Une fonction entière F (x) à coefficients entiers sera dite irréductible suwant le module premier pj si elle n'est divisible, suivant ce module, par aucune fonction entière d'un degré inférieur au sien et si, en outre, le coefficient de la plus haute puissance de x est égal à Tunité.

341. TnéoBÈME I. — Si les deux fonctions <f{x) et ^(x) n'admettent aucun dix^iseur commun, suwant le module premier p^ on pourra trouver deux fonctions entières U ef V, telles que l'on ait identiquement

En effet, désignons para et i les coefficients de la plus haute puissance de x dans ç(x) et dans ^{x), on pourra poser

A et B étant des fonctions entières dans lesquelles la plus haute puissance de x a pour coefficient l'unité.

Cela posé, exécutons sur les polynômes A et B l'opération par laquelle on détermine le plus grand commun diviseur, en négligeant les termes multiplies par p et en ayant soin d'ajouter à chaque reste un polynôme de la forme /?^(x), choisi de manière qu'après celte addition le resie en question soit divisible par le coefficient du

126 COURS dVlgebre supérieure.

et Ton a

f{x] 1- F(x)/i(j:) (mod. y?),

/i{x) étant une fonction entière.

Corollaire. — Si lafonclion entière F(x% irréduo tible suivant le module premier /?, ne dii^ise suivant ce module aucune des fonctions Çi (x), ^^(x), ..., Çm(jp). elle ne peut diviser la fonction

congrue par rappor^t à p au produit des fonctions ^^f

Cette proposition se déduit immédiatement du théorème qu'on vient d'établir.

Remarques sur la décomposition d' une fonction entière

en facteurs irréductibles.

343. Si une fonction entière ^{x)y non congrue à zéro suivant le module p, n'est pas irréductible, elle sera décomposable en facteurs irréductibles; en d'autres termes, on aura

r(x), F|(x), ... étant des polynômes à coefficients entiers, irréductibles suivant le module pf x W ""^ fonction entière et a le nombre par lequel il faut multiplier 9(jr) pour réduire à l'unité le coefficient de la plus haute puissance de x,

11 résulte du corollaire du théorème précédent que la fonction a (^(x) n'est décomposablc suivant le module p

SECTION III. — chapithe III. 127

qu'en un seul système de facteurs irréductibles ; car supposons que l*on ait

les facteurs F ety étant supposés irréductibles. Le facteur irréductible F divise suivant le module p Tun des facteurs du premier membre, y par exemple, d'après le corollaire cité, et en conséquence il est congru à ce facteur, puisque celui-ci est lui-même irréductible. Remplaçant donc y parF-+-/?;t(j:), notre égalité prendra la forme

la fonction x{^) ^^^^ être nécessairement divisible par F, et, en faisant la division, il vient

/i/î-.. = FiF,...-f-/?x('^)-

En poursuivant ce raisonnement, on voit que les facteurs F, F|, Fa, ... sont respectivement égaux k fj f\^f^i • • • suivant le module /?.

344. Il peut arriver que plusieurs des facteurs irréductibles de la fonction a cj^ (x) = 4> (a:) soient égaux entre eux; dans ce cas, la fonction 4>{j:) a un diviseur commun avec sa dérivée. Supposons que l'on ait

X|, Xa, ..., X;„ désignant des polynômes irréductibles suivant le module p et différents entre eux suivant ce module. Si Ton prend les dérivées des deux membres de cette égalité et qu'on représente par XJ la dérivée de X,, on aura

\ ^\^ '"^rn~ (''lX| XjX8...X;„ -f-...-h/l;nX^XiXj...X;„j)

128 COtmS d'algèbre SUPÉniEURE.

SI aucun des exposants n^ n^, ..., rim n^est un multiple de p, le facteur entre parenthèses n'est divisible, suivant le module p, par aucun des facteurs irréductibles Xj, Xo, ...,X,;i; car, pour qu'il fût divisible par X|, par exemple, il faudrait que X| divisât Tun des facteurs du produit

A , Xj X3 . . . Xj

or cela est impossible, puisque XjjXj, ..., Xn, sont irréductibles et différents de Xi, et que le degré de X', est inférieur à celui de X|. Le produit des facteurs irréductibles communs à <t(x) et à sa dérivée est donc

c'est le plus grand commun div^iseur de ces fonctions, suivant le module /;, et pour l'obtenir on suivra la règle ordinaire en négligeant dans chaque division les multiples de p qui se présenteront, et en ayant soin de ramener à l'unité le coefficient du terme le plus élevé de chaque reste, avant de prendre celui-ci pour diviseur.

Si l'un des exposants, n^ par exemple, est multiple de /', le facteur X| entrera à la puissance n^ dans le plus grand commun diviseur.

Désignons par V| le produit de ceux des facteurs X|. X2, ... qui figurent dans <t(a:) avec un même exposant /Z| , par Va le produit de ceux qui ont Texposant /ii, et ainsi de suite; on aura

et, par un raisonnement identique à celui dont nous avons fait usage au n" 50, on prouvera que les facteurs V|, Vj, V3, ... peuvent être obtenus au moyen de sin»pies divisions algébriques.

Des fonctions entières d'une variable, réduites suivant un module premier et suivant une fonction entière irréductible,

3iS. Si Ton divise une fonction entière ^{oc) par un polynôme irréductible F(j?) d'un degré quelconque v, on obtiendra un quotient ^^{jc) et un reste qui pourra être représenté par y(j:) -\-p x W> f{^) étant une fonction entière du degré v — i au plus dans laquelle les coefficients peuvent être pris, à volonté, entre les limites

zéro et u ou entre — et -t- ^^ • Un aura ainsi

^(:r) ^f[x] -\- F(x) y(^) ( mod./?).

La fonction/ (or) sera dite la valeur réduite de${pc)y suivant le module p et suivant la fonction irréductible F(x).

L'expression générale des fonctions réduites est

chacun des coefficients ^o, «i, ... étant susceptible de recevoir/^ valeurs différentes, par exemple

!a fonction/(a') peut avoir ;7'' valeurs distinctes. Parmi ces valeurs il y en a p qui sont indépendantes de la variable x^ ce sont les p nombres

Théorème. — Soient X|, Xo, ..., X;;, m fonctions de X réduites, suivant le module p et suivant la fono-

S. — A!g, sup,t H. 9

i3o COURS d'algèbre supérieube.

tion entière irréductible F(x). Soit aussi

rf (X : = AoX'« -4- AiX"»-» 4- . . . -hA;„t X H- A«

une fonction entière du degré m delà variablelLy dans laquelle les coefficients sont des fonctions entières de x. Si les résultats de la substitution rfe Xj , X2, . . . , X^ à X dans ^(X) sont tous divisibles par ¥{x)y suivant le module p , on aura identiquement

^(X) ^ Ao (X - Xi) (X - X,) ... (X - X,„)

^ et y^ étant des fonctions entières, à coefficients entiers, des deux variables x et X.

En effet, regardant X|, X2, . . ., X,„ comme des indéterminées, désignons par ^1 (X) et R| le quotient et Je reste de la division de?(X) par X — Xi; soient de même ^2 (X) et II2 1^ quotient et le reste de la division de ^1 (X) par X — X2, et ainsi de suite; en sorte que J';„(X) et R« exprimeront le quotient et le reste de la dernière division, savoir celle de ^m-\ (X) par X — X;„. Les égalités

. c'f(x = X -X, )cf,(x;i -+-R„ ( ^,;x. ^x -X0'î,(x.. -+-R,,

donneront, à cause dr 'f/«(X ) i^ Ao,

. ;^^X;rz.iii-+-R,(x- x,;-4-R.v:x -x,^(x-x,;+...

(2) ' -'-Rm.X X, . .(X - X,„,)

et, si Ton remplace X successivement par X|, Xj, ..-i

SECTION ni. — chApithe th. i3i

Xm, il viendra

^{"^m = Ri -^' Rj [^m — Xi -h . . .

Supposons maintenant que X| , X2, . . . , X^ désignent des fonctions entières de jc réduites, suivantle module/; et suivant la fonction irréductible F (or). Si ces fonctions sont distinctes, aucune de leurs différences deux à deux ne pourra être divisible par F(j:), suivaYit le module /?, et comme les premiers membres des formules (3) le sont, par hypothèse, les polynômes R|, R2? ...» Rm seront eux-mêmes divisibles par F (a:), suivant le module p. Alors la formule (2) prendra la forme

l 5^(X; = Ao;X — Xi '. . .;X — X,;,) ^^^ 1 +F(x)y(X,.r;^/>X{X,^),

conformément à Ténoncé du ihéorcmc.

ConoLLAiRE . — Soit ^(X) une Jonction entière des deux variables IL et x y du degré m par rapport à X, et dans Uu/uelle le coefficient de X"' n*est pas di\^isible, suivant le module Pj par la fonction irrc(hictibleV[x)\ si Von substitue successiy^ement à X les p" fondions de x réduites suii^ant le module p, et suiv^ant la fonction ^{x), parmi les p* résultats obtenus il y en aura m au plus qui seront div^isibles par F [x) suivant le module p.

En effet, supposons les m fonctions de x,

réduites, suivant le module p et suivant la fonction F(a:), telles que

l33 COURS d'algèbre SUPÉ11IEUBC.

soient di\'isibles par F(x) suivant le module/?. Alors la formule (4; aura lieu identiquement, et, si Ton y remplace X par une fonction réduite Xi^^i distincte de X|y X29 • • • 9 Xmy on aura

^ '\^m-^\ i = ^0 X^^i — Xi ; . . . (X,„+i — Xj„)

OrF(x) .ne peut diviser suivant le module p le produit des difl'érences X^.;-! — X| , X,„^i — Xj, ... ; donc ^(X/n^i) n*est pas divisible, suivant le module, par le polynôme F(x ).

Propriétés fondamentales des polynômes irréductibles

sui\^ant un module premier.

346. Théorème I. — Tout polynôme ¥[x) à coejfi* cients entiers et du degré v, irréductible suii^nt le module premier p, divise, suivant ce module, la fonction xP* — X.

L'expression générale des fonctions entières de x réduites, suivant le module p et suivant la fonction irréductible F^j:*)» est

f^ .r \ = Oq H-tij jr -h «^ J-* H- . . . -4- a.

^0, rti, ..., a^^ étant des entiers compris entre zéro

dp — I , ou entre — et H L une de ces

fonctions est nulle : nous en ferons abstraction et nous

désignerons par

(') Xj, Xj, Xj, •••) XpV i

les p" — I fonctions réduites différentes de zéro.

Cela posé, désignons pary'(x) une fonction entière

SECTION III. CHAPITBB III. l33

de X non divisible par F(a:), suivant le module /7, et considérons les produits des fonctions (i) par y(j:), savoir

(2) X,/(x), X,/(.r), .. ., Xp.«|/(x).

Aucun de ces produits n'est divisible, suivant le module Pj par le polynôme irréductible F (a?), puisque les facteurs qui le composent n'admettent pas ce diviseur : la différence de deux termes de la suite (2) ne peut ellemême être divisible par F(a:), suivant le module;?, car cette différence est évidemment un terme de la suite (2). Si donc on prend les valeurs réduites des produits (2), suivant le module p et suivant le polynôme irréductible F(x), ces valeurs seront distinctes et aucune d'elles ne sera zéro; en conséquence, elles coïncideront, abstraction faite de Tordre, avec les termes de la suite (1). 11 résulte de là qu'il existe entre les fonctions de la suite (2) et leurs correspondantes de la suite (i) p* — i congruences de la forme

X;;,/(.r;-=X;,-;-F(jr)y(jr) (mod.p),

et si l'on multiplie entre elles toutes ces congruences, il viendra

X, X,. . .Xpv, [/(.r)'' -» - i] -= F (.r) y(^) (niod./?),

o(x) étant une fonction entière. Le produit XjX2...Xpv| n'est pas divisible par F (a:), suivant le module p\ donc on a

OU, en multipliant par/(j:),

(4) /(.r)/>^-/(.r;=.F(.r)y(.r) (mod./.).

Nous avons supposé la fonction ^(a:) non divisible par

i3( corvs d'algèbre srptmicrmB.

F<x) snîvanl le mcniule /», mais il est évident que la formule 4 subsiste quand f'jr) est un multiple de F(x). La formule 4 avant lieu, quelle que soit la fonction entière y" jc , prenons y .r = x, il Rendra

ce qui démontre le théorème énoncé.

347. Lexme. — Soieni/(jr) une fonction entière de la variable x.p un nombre premier etn un nombre entier quelconque ; on a

)r(x) désignant une fonction entière.

Soit

la puissance ^>»«"»« de f{x renfermera d*abord les puissances p**"'^ des difierents lermes; elle renfermera en outre d'autres termes contenant certaines puissances de plusieurs termes dey« x : le coefficienlde l'un quelconque de ces derniers termes aura la forme