I .2. . .</| ■ . . I .2. . .^jt
qt^ qi9 ••., 7a étant des nombres inférieurs k p; ce coefficient est donc divisible par/' et Ton a
[/ X ]P-i-p /^ jr =,7/'-f-«/.r/'-+-r/f.r»/»4-...-i-aj;^jH«^;
maisy par le théorème de Format, on a
aP Œi:- a ixuxl, p);
donc
SECTION III. — CHAPITRE III. l35
t OU
Xi^) étant une fonction entière.
Si Ton écrit xp"' au lieu de Xy il vient
Xi^) désignant ici une nouvelle fonction entière. Cela posé, admettons que Ton ait
en élevant cette égalité à la puissance p, et ayant égard à la précédente, il vient
Donc, si cette dernière égalité a lieu pour une valeur de l'exposant tî, elle a lieu pour la valeur immédiatement supérieure ; d'ailleurs elle a été démontrée pour /!= I, donc elle est générale.
348. Théorème IL — Une fonction entière F(x) du degré v, irréductible suii^ant le module premier p^ ne div^ise la fonction xP^ — x, suiv^ant ce même module, que dans le cas oii fi est un multiple de v.
Je dis en premier lieu que, si Ton a iJi<C''^7 ^^ fonction xP^ — X n'est pas divisible par F(x) suivant le module /?, c'est-à-dire qu'on ne peut avoir
(f{x) et xW étant des polynômes à coefficients entiers. Admettons, en effet, que cette égalité (i) ait lieu, et posons
«0) «o • • • étant des entiers quelconques compris entre
i36 couns d'algèbre supérieure.
zéro et^ — i. On aura, d'après le lemme qui précède,
y^i {x) étant une fonction entière, et si, dans le second
membre de cette idcnlilé, on remplace xP^ par la valeur X -\-F{x)cj{x) -h py^{x) tirée de la formule (i), il est évident que ce second membre prendra la forme
4> et ^ étant des polynômes à coefQcients entiers; on aura donc
(2) [/(x]f''-/{x)=--¥(a-)*{:r]^-pW(^).
Il résulte de celte formule (a) que si, dans la fonction
qui est du degré p^y on remplace X par chacune des p''
fonctions réduites suivant le module p, et la fonction
F(x), on obtient // résultats qui sont tous divisibles par
F(x), suivant le module p. Or cela est impossible
(n** 345) si ^<C.^''> donc la formule (1) ne peut avoir
lieu dans ce cas.
Je dis, en second lieu, que la formule (i) ne peut
avoir lieu que si [x est divisible par v. En clTct, soit </ le
quotient et r le reste de la division de fi par v, en sorte
qu'on ait
D'après le théorème I (n° 31G), V {x) divise, suivant le module /?, la fonction
cl celle-ci divise alf^chriquement
SECTTOir III. CHAPITRE III. lij
car Texposant p*^ — i est un multiple de p* — i. Donc xP^ — X est divisible, suivant le module p, par F(x). Mais, par hypothèàe, la fonction xP"^ — x est elle-même divisible par F(j:), suivant le module p; donc il en sera de même de la diiTérence
d*après le lemme du n° 347, cette différence est congrue, suivant le modale p, à la puissance
et cette puissance ne peut être divisible par F(j:) suivant le module p^ à moins que
ne le soit elle-même. Or cela ne peut être, comme on Ta vu plus haut, que si r=o, puisque r est inférieur à v.
Détermination du nombre des Jonctions entières de degré V irréductibles suiv^ant un module premier p.
349. Nous sommes actuellement en mesure d'établir qu'il existe, dans chaque degré v, des fonctions entières irréductibles suivant un module premier p; il est même facile, comme on va le voir, de déterminer le nombre de ces fonctions.
Considérons la fonction xP* — x, et supposons-la décomposée en facteurs irréductibles suivant le module premier p, de manière qu'on ait
F(.r), F|(j:), F2(.r), . .. étant des fonctions entières irréductibles suivant le module^, et;^(x) une fonction entière quelconque.
l38 COURS D*ALGÈB11E SUPÉRIEURE.
Deux des facteurs F, F|, Fjy ... ne sauraient être égaux entre eux, puisque la fonction xP* — xn'a aucun facteur commun avec sa dérivée. En outre, les développements que nous avons présentés plus haut conduisent aux conséquences suivantes :
1° Toute fonction entière de degré v, irréductible suivant le module premier p^ fait partie de la suite F(x), F|(x),F2(x),
2° Le degré de Tune quelconque des fonctions de cette suite est égal à v ou un diviseur de v.
3** Celles des fonctions F(x), Ff (x), Y^{pc)y . . . , dont le degré est un diviseur /z de v inférieur à v, sont diviseurs, suivant le module p, de la fonction xP^ — x.
Il résulte de là que si l'on divise la fonction xP* — x, suivant le module p^ par le produit de toutes les fonctions irréductibles qui divisent Tune des fonctions xt^ — x, où \x est un diviseur de v, on obtiendra un quotient V qui sera le produit de toutes les fonctions entières de degré v, irréductibles suivant le module p.
Par exemple, si v est un nombre premier, les facteurs irréductibles de xP* — x sont tous du degré v ou du degré i ; le produit des facteurs du premier degré est x(x — i) (x — 2)...(x — p -\- \) ou xP — X. On aura donc, dans ce cas,
xi' — .r '
le degré de V est ici // — p ; par conséquent, le /lomAreN des fonctions entières d'un degré premier v, irréduotibles suivant un module prefnier p, est
îi = lL:z£
Passons maintenant au cas général : soit
SEcnoir III. — CHAPITRE III. 189
7f 9 79y '"f Cm étant des nombres premiers inégaux, et /2iy ^29 '"} Tim des entiers positifs quelconques. Pour abréger l'écriture, je poserai, quel que soit l'entier X,
et je ferai en outre
x,=f^]r-jL|...r jL i
la fonction X^ sera ainsi le produit de
m [m — i). , , m — A'-hi)
symboles [ ], et les dénominateurs des arguments de ces symboles seront les produits kk k des m nombres ^1, 9j> •••> 7m- Cela posé, je dis que l'on aura
Y XXj X; Xfi . . .
Xj X3 Xj . . .
Concevons que le numérateur et le dénominateur de cette expression aient été décomposés en facteurs irréductibles, et désignons par F(x) l'un de ces facteurs. Si F(x) est du degré v, il ne figurera que dans X; par suite il aura l'exposant i dans le numérateur de l'expression précédente, et le degré zéro dans le dénominateur.
Supposons que le degré fji de F(j:) soit inférieur à v; quelques-uns des facteurs premiers q entreront dans v au moins une fois de plus que dans ^\ si l'on désigne par
l4o COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
f/iy f/2t •••» ^s ces facteurs, dont le nombre 5 peut se réduire à I , le deerré a divisera 1 mais il ne divisera
pas le quotient de v par un nouveau facteur g, tel que Çsj^î • Le facteur irréductible F{x) figure dans X à la première puissance; cherchons généralement avec quel exposant il se trouve dans X)^. Si Ton a A* >- ^, la fonction Xa ne contient pas le facteur F (x ) ; mais, si l'on a Ar <^ 5 ou k = 5, il est évident que X^ contiendra autant de facteurs égaux à F(j:) qu'il y a d'unités dans le nombre des combinaisons de s lettres prises k à A', nombre
qui a pour valeur — 7 ^;parconséquenty
le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente contiendront le facteur F(x) avec des exposants qui seront respectivement égaux à
et
s s{s — i)(.v — 2) ^ sis — i^...f.ç— 41
Mais CCS deux nombres sont égaux, car leur diflerence est évidemment égale à (i — 1)' ou à zéro. Donc le numérateur de noire expression esl divisible, suivant le module y?, par le dénominateur, et le quotient de la division esl bien égal au produit V de loules les fonctions entières de degré V, irréductibles suivant le module/;.
. Il convient au resle de remarquer que le numérateur de Texpression de V est algébriquement divisible par le dénominaleur; et, pour démontrer ce fait, il suffit de reproduire le raisonnement dont nous venons de faire usage, en représenlant toujours par fx un diviseur de v et en substituant au polynôme F(x) de degré fx l'un des
8ECTIOIC m. CHAPITRE III. l4l
facteurs linéaires qui divisent algébriquement xP^ — x, mais qui ne divisent pas xP^^ — «2^7/^1 étant <C Z^- Le degré du polynôme V peut être représenté par
et, puisque ce polynôme est le produit de toutes les N fonctions entières de degré v, irréductibles suivant le module p^ on aura
350. On peut conclure de la formule précédente deux limites très-simples du nombre N des congruences irréductibles de degré v, suivant le module premier^. Effectivement, en partant de la formule
p' — iA --^ ^-^ -:-...,
on aura
■^^'-^Jl'-.-iJ-l-à)'^
la caractéristique log exprimant des logarithmes népériens.
On conclut d'abord de cette formule
/ i\locp / iXvlogV / l\v*Io^
~^.. If
14^ COURS d'algèbre SUPÉRIEtJRK.
OU
y puis
