I I I .2 II .2.3 I I

(p(v) désignant la totalité des nombres premiers et inférieurs à V. Chacune des limites que nous venons de trouver exprime la valeur de N quand v est un nombre premier.

Sur la décomposition d'une fonction entière donnée, en facteurs irréductibles suiv^ant un module premier,

331. S'il s'agit de décomposer une fonction donnée i{x) en facteurs irrcduclihlcs suivant le module premier /?, on devra d'abord chercher si cette fonction a des diviseurs multiples ; car, si elle en admet, elle sera de la

forme

^{.r)-i:V;'V;«v;-... (mod.^),

V|, Va, ... étant des fonctions entières qui n'admettent que des facteurs simples et que l'on peut obtenir (n®344) par de simples divisions algébriques.

La question est donc ramenée au cas où ^(x) n'a que des facteurs simples ; alors cette fonction et sa dérivée n'ont aucun diviseur commun, suivant le module p.

Cela posé, on aura le produit des facteurs irréductibles du premier degré de ^[x) en cherchant le plus grand

SECTION HT. CHAPITRE IIl. l43

commun diviseur des polynômes #(x) et xP — x\ désignons par P| ce plus grand commun diviseur qui peut se réduire à l'unité et posons

i%{x) étant une fonction entière.

On aura de même le produit des facteurs irréductibles du deuxième degré de ^(x) ou de ^i (x), en cherchant le plus grand commun diviseur des polynômes ^i (x) et

xP — X, et si Pa désigne ce plus grand commun diviseur, lequel peut encore être égal à i , on aura

^j(x)^P, ^t(jr) (mod./?),

izi^) étant une fonction entière.

Pareillement, le plus grand commun diviseur Ps des

fonctions ^2 («3:) elxP — x donnera, s'il ne se réduit pas à ly le produit des diviseurs du troisième degré; on aura

^,(xl--=P3.^5(x) (raod./?),

et ainsi de suite. Il est évident qu'en continuant ainsi on trouvera nécessairement une fonction êm{x) qui se réduira à Tunité, et Ton aura

J(^;=z=P, ?,?,...?;„ (mod./y).

Il reste, pour achever la solution, à décomposer chacun des polynômes Py en facteurs irréductibles du degré V. Pour cela, la méthode la plus générale consiste à effectuer la division du polynôme P^ par la fonction

F(x) = x^-hAia:^*-f-A, x^-' -T- . . . H- Av-i ^ -h Av,

dans laquelle les coefficients sont indéterminés, et à exprimer que les v termes du reste sont congrus à zéro suivant le module p. On obtiendra ainsi un système de v congruences au moyen desquelles on pourra déterminer

l44 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

les V coefficients A, , Aj, . . . , A,. Si fxv désigne le degré de la fonction P^, il est évident que le système de congruences dont il vient d'êti:e question admettra fx systèmes de solutions qui répondront respectivement aux fi polynômes irréductibles de degré v dont le produit est égal à P^.

Le problème dont nous venons de nous occuper comprend comme cas particulier celui qui a pour objet la recherche de toutes les fonctions entières de degré v, irréductibles suivant le module p. On tombe effectivement sur ce dernier problème y en supposant dans ce qui précède

Classification des fonctions entières de degré v irréductibles suii^ant le module premier p.