Soit/ï un diviseur de p* — i, la fonction x* — i

divisera x/'*"* — i et xP* — x; si donc on la décompose en facteurs irréductibles, suivant le module p, en sorte qu'on ait

^(x) étant une fonction entière, les fonctions F(x), F< (x), ... feront partie de la suite des facteurs irréductibles de xP^ — X, et en conséquence leur degré sera égal à V ou à un diviseur de v.

Si F(x) est une fonction entière du degré v, irréductible suivant le module ;;, et que n représente le plus petit nombre tel que x" — i soit divisible par F(x) suivant le module /^jc dirai que la /onction F {x) appartient à l'exposant n. Il est évident que n est un diviseur de p" — I, car F(x) divisant, suivant le module />, les deux fonctions x^"'* — i et x** — i , elle divisera aussi x* — i^

si Ton désigne par 0 le plus grand commun diviseur des nombres p* — i et/i, et puisque F(x) appartient à l'exposant Tty il est nécessaire que Ton ait 0 = n, On voit aussi que n doit être un dwiseur propre kp* — i , c'està-dire que n ne peut diviser p^ — i si i^ est <^ v ; car s'il en était autrement x" — i serait un diviseur de xP^"^ — i et cette dernière fonction serait par suite divisible par F(x) suivant le module pj ce qui est impossible dans l'hypothèse de fx <:^ v.

Cela poséy nous nous proposons de déterminer le nombre des fonctions entières de degré v, irréductibles suivant le module premier p, et qui appartiennent à l'exposant n diviseur propre de ^* — i .

Le nombre n étant décomposé en facteurs premiers» soit

7o ?27 ""> ^m étant des nombres premiers inégaux; posons aussi

X, r- (.rv". —i) (.r7« — :j. . .(.r7^ — ij,

1L^= (xV"/*- •'/«— ij,

la fonction X^ sera, comme on voit, le produit de

m{m — \\ . , , [m — X-H-il« . 1,1. 1 7 tacteurs qui se déduiront de

X** — I en prenant pour 6^ les produits h kk des facteurs 9o ?2> •••> ^m- Si Ton désigne enfin par V le produit de toutes les fonctions entières de degré v, irréductibles

S. — Alg, sup., II. 10

i46 COURS d'algèbre supérieure.

suivant le module p, et qui appartiennent à l'exposant Uf je dis que l'on aura

^L| A] ^Vg . • .

Pour justifier cette assertion nous emploierons un raisonnement semblable à celui dont nous avons fait usage a'u n** 349. Les deux termes de l'expression de V étant décomposés en facteurs irréductibles, soit F{x) Tun de ces facteurs; si la fonction F[x) appartient à l'exposant n, elle ne figurera que dans X ; en conséquence, elle aura l'exposant i au numérateur de Vet l'exposant zéro au dénominateur. Si la fonction F(x) appartient à un exposant m inférieur à n, m divisera les quotients obtenus en divisant n par quelques-uns des facteurs </, 9 1 , y 2 ? • • ^ ?# par exemple; le facteur F[x) figure dans X à la première puissance; il ne figure point dans X^ si l'on aA^5; mais si Ton a /r<^,ç, F{x) entrera dans X^avec

l'exposant '-^^ — 5 qui est égal au nombre

des combinaisons de s lettres prises /r à Ar. Il résulte de là que, quand on aura simplifié l'expression de V, le facteur F(x) aura l'exposant

et, en conséquence, la fonction V est égale au produit de toutes les fonctions irréductibles de degré v, qui appartiennent à l'exposant //; nous désignerons par N le nombre de ces fonctions.

Le degré de la fonction V est

qml

Îl7l- • Y/n

SECTION III. CHAPITRE III. l47

OU

on aura donc

on

en désignant par <^{n) le nombre des entiers inférieurs à /2 et premiers à n.

Si n est un nombre premier, la formule précédente se réduit à

et l'on en tire

d'où il résulte que tout nombre premier, diviseur propre à p" — I, est de la forme Av -h i, ce qui rentre dans un théorème dû à Euler.

333. On voit, par ce qui précède, que les fonctions entières de degré v, irréductibles suivant le module y?, se partagentnaturellement en plusieurs classes, d'après l'exposant auquel elles appartiennent. L'une de ces classes comprend les fonctions qui appartiennent à ^exposant p* — I et qui jouent un rôle important dans la théorie que nous exposons ; on a, par exemple, la propriété remarquable comprise dans le théorème suivant :

Théorème. — Si F(x) désigne une /onction de degré V y irréductible suivant le module p, et appartenant à l'exposant p'* — i, on obtiendra les p'' — i fonctions entières de degré v — i distinctes suivant le module p,

lo.

en prenant les restes de la division par F(x) des puissances

En effet, deux de ces puissances, x^ et x""*''*, divisées par F(x), ne peuvent donner des restes de degrés v — i congrus suivant le module p ; car autrement Texpression

^fî-4-m — j.m Q^ j:'" (x" — I )

serait divisible par F(x) suivant le module p^ et il en serait de même de x" — 1 : or cela estimpossible, puisque n est moindre que l'exposant p"* — i auquel appartient

354. J'indiquerai ici une conséquence assez remarquable de la théorie que nous venons d'exposer et qui consiste dans la proposition suivante :

Théorème. — Hi n est un nombre premier, que a soit une racine primitive de n, et que le module p soit de la forme a H- kn, la Jonction

sera irréductible suivant le module p.

En effet, n est un nombre premier ; il est d'ailleurs diviseur propre ap"^* — I, puisque /; — kn est une racine primitive de n ; donc le nombre des facteurs irréducli-

blcsde V, suivant le module p, est ici é^alà — — -ou à i.

Corollaire. — Si n est premier, la Jonction

est ALGÉBRK^UEMEMT irréductible.

En effet, soit rx une racine primitive de /i. L'illustre Lejeunc-Dirichlet a prouvé que la progression arithmétique

SECTION III. — CHAPITRE III. l49

renferme une infinité de nombres premiers. Soit

l'un de ces nombres premiers; la fonction est

irréductible suivant le module p ; donc, à plus forte raison y elle est irréductible algébriquement.

Comparaison des fonctions entières irréductibles suivant le module p, qui appartiennent à des exposants formés des mêmes facteurs premiers.

3oo. Lorsque n est divisible par le module p^ si Ton fait n = pn'y on aura

en sorte que la fonction x" — i est ramenée à x^' — i .

Nous supposerons que n n'est pas divisible par p ; alors, si l'on désigne par v le plus petit nombre tel, que p* — i soit divisible par/i, la fonction x" — i divisera xP'' — x suivant le module p et chacun de ses facteurs irréductibles sera, comme on l'a vu, d'un degré égal à v ou à un diviseur de v. Mais ceux de ces facteurs qui appartiennent à l'exposant n sont tous du degré v, et nous avons

vu que leur nombre est égal à ? cp ayant la signifi-

cation habituelle.

Gela posé, désignons par y. le plus petit nombre, tel que p^ — i soil divisible par chacun des facteurs premiers qui divisent tî, il est évident que v sera un multiple de ik\ car soit v=iiJ.q-\-r\ les facteurs premiers de n divisent par hypothèse p^^'^'' — i cl p^*i — i, qui est un multiple de p^ — i; ils divisent, par suite, la différence p^'' — p^^ ou p^^[p'' — i). Mais cela est impossible, à

i5o GOUHS d'algèbre supérieurb.

moins que r ne soit nul, puisque r est <C/*> donc on a

Soit — - le plus ^and commun diviseur des nombres n et p^ — i; si Ton fait

X et d seront premiers entre eux ; on aura ensuite

et, comme le premier membre de cette formule est un

nombre entier, i sera un diviseur de • En élevant

à la puissance q Tidentité

il vient

+ ^'—7:^.% — Hp^- •)*-« + . . .,

expression qui doit être divisible par \,

Dc'sij;nons par 0 un facteur premier deX, et soit 0* la plus liautp puissance de d contenue dans X. Comme 0 est un diviseur de n et, par suite, de />** — i, on voit, par la formule (4), qu'il est aussi un diviseur de q\ mais je dis en outre que, sidn^est pas égal à 2, chacun des termes de rexprcssion (4) 21 partir du deuxième renferme une puissance plus élevée de 9 que le premier terme. En effet, le rapport du terme général au premier terme peut être

SECTION III. CHAPITRE III. l5l

mis sous la forme d'un produit de trois facteurs , savoir

les deux premiers facteurs sont des nombres entiers ; quant au troisième facteur, il est supérieur à

: -— L ou à 1-4- y ' 5

par suite, supérieur à i, quand 0 est >2, puisque k est

au moins égal à 2 ; la fraction irréductible égale à — 7—

renferme donc le facteur 0 à son numérateur. Le premier membre de la formule ( 4 ) étant divisible par 6*, par hypothèse, il faut, d'après ce qui précède, que g soit divisible par 0*.

Si donc X est un nombre impair, {/ sera divisible par X. Réciproquement, si ^ est divisible par X, l'expression (4) l'est évidemment elle-même, et en conséquence le premier membre de la formule ( 3 ) est un nombre entier. On voit alors que v étant le plus petit nombre tel, que p" — i soit divisible par /i, on doit avoir ^ = X et, par suite,

Examinons s'il y a lieu de modifier cette conclusion quand X est pair. D'abord si X est double d'un impair, l'expression (4) doit être divisible par 2, ce qui exige que y le soit aussi; donc, pour que Texpression (3) soit un nombre entier, il est encore nécessaire et suffisant que if soit un multiple de X, et la formule (6) subsiste.

Supposonsdonc que X soit divisible par une puissance

de 2 supérieure à la première. Quand on fait0= 2, dans

2/.— 1 l'expression (5), le troisième facteur devient — j— î il n'est

jamais inférieur à i, car A est au moins égal à 2, mais il

l5a COURS D^ALGÈBBE SUPÉBIEUIIE.

se réduit à i pour A' = 2, et alors il peut arriver que les deux premiers termes de Texprcssioa (4) renferment le facteur a à la même puissance. Toutefois ce cas ne se présentera pas si p^ — i est divisible par 4> c'estrà-dire si p est de la forme 4^^+ i, ou si, /? étant de la forme ^m — I, fil est un nombre pair. Dans ces deux cas, la présence du facteur 2 dans X n'exige aucune modification, et la formule (6) subsiste.

Mais il n^en est plus ainsi, dans le cas qu'il nous reste à examiner, savoir celui où p est de la forme 4 'w — i et où fx est un nombre impair, X étant divisible par une puissance de 2 supérieure à la première ; il importe d*exa« miner ce cas avec attention. Dans Thypothèse où nous nous plaçons, on a

f et 5 étant des nombres impairs et les exposants i , / étant égaux ou supérieurs à 2. Comme fi est impair, la première de ces formules donnera

6 étant un nombre impair ; en outre, Texposant g devant être pair, comme on Ta vu plus haut, on aura, en élevant la précédente formule à la puissance ^,

le rapport du terme général entre parenthèses au premier terme est

l'étant au moins 2, si Ton prend A'^i, le dernier facteur

SECTION TH. CHAPITRE III. l53

de cette expression sera supérieur à i , etla fraction irréductible qui lui est égale aura un numérateur pair; d'ailleurs les autres facteurs sont en tiers , donc le premier des termes entre crochets, dans la formule (7), renferme le facteur n à une puissance moins élevée que les termes suivants. Alors si Ton désigne par w le plus petit nombre de facteurs 2 qu'il faille introduire dans ^ pour que l'expression (3) soit entière, on aura

W = 1 ou û) =j — « -h I,

savoir « = i , si Ton a

y < ou = /, car il suffit alors que^ soit pair ; et «= 7 — i-i-i, sil'ona

D'ailleurs, dans l'un et l'autre cas, q ne doît contenir que les seuls facteurs premiers impairs de X; donc on a

a =. — — - ou q=z —

et par suite

hj.

ou

La formule (8) a lieu dans le cas de /<[i, et la formule (9) dans le cas de 7 ^ i; les deux formules coïncident quand j = i.

336. Nous allons développer actuellement les conséquences de l'analyse précédente. Considérons d'abord le cas où la formule (6) a lieu, et désignons par N le nombre des fonctions entières irréductibles du degré v

i54 COURS d'algèbre supérieure.

qui appartiennent à Texposant n^ on aura (n^ 332)

V Au

OU, à cause de la formule (a),

Soit n! un nombre contenant tous les facteurs prenuers de n avec des exposants quelconques, mais n'en contenant pas d'autres, on aura

et puisque ^—- — est le plus grand commun diviseur de n et de ^ — I , on peut prendre

Remplaçant donc n par cette valeur /i', l'expression de N devient

d'où il résulte que N représente aussi le nombre des fonctions irréductibles de degré fji qui appartiennent à Texpop^ — i

sant

Posons, pour abréger,

^-^-^^9, d'où wznKn, a

et décomposons x^ — i en facteurs irréductibles suivant le module/?; soit

(n) ^-i=F(.r)F,(x)F,(^j...-f-pxW.

SECTION III. CHAPITRE III. l55

fi est le plus petit nombre tel, que or/'*' — i soit divisible parx* — I suivant le module p; car, s'il en était autrement et que â divisât p^' — i, [x' étant <^fii, le nombre p^' — I renfermerait tous les facteurs premiers de w, ce qui est contre l'hypothèse. Cette remarque nous confirme ce fait qui résulte d'ailleurs de notre analyse, savoir, que le degré de chaque facteur irréductible de la formule (i i) est égal à |x ou à un diviseur de (x.

Remplaçons maintenant x par x^ dans la formule ( ii )> il viendra

(12) X» — i = F(x^)F,(^^)F,(:r\^H -+-PX(*^)-

Soient

(13) F(.r), F,(.r;, ..., Fk,(x)

lesN facteurs du degré fx de la formule (11), il est évident que, dans la formule {12)9 les facteurs du degré Xfjt == V seront

Or il y a N fonctions irréductibles du degré v, lesquelles divisent x" — i suivant le module p; donc ces fonctions ne sont autre chose que les polynômes (i4)> ce qui donne le théorème suivant :

Théorème I. — Si l'on a formé les N /onctions entières irréductibles de degré yL suivant le module p, qui

appartiennent à l'exposant 9 puis que l'on y remplace x par x^j 1 étant un nombre premier avec d et qui ne renferme aucun facteur premier différent de ceux par lesquels p^ — i est divisible, on obtiendra les N fonctions irréductibles du degré X|!jt, qui appartiennent à

l'exposant i ^—w— • H faut cependant excepter le cas

i56 COURS d'algèbre supérieure.

où, p étant de la forme 4 î — ï > (^ est un nombre impair et X un nombre divisible par 4-

357. Considérons maintenant ce cas d^exception, dans lequel p est de la forme 4^ — i , jtx un nombre impair et / un nombre divisible par 4* Alors Tune des formules (8) et (9) a lieu, et si l'on désigne encore par N le nombre des fonctions entières irrédtictibles du degré v qui appartiennent à Texposant n, on aura

en nommant A: le plus petit des deux nombres i et y; on peut écrire aussi, à cause delà formule (2),

Il d n

Comme tous les facteurs premiers de l*un des nombres n et - — j — appartiennent aussi à 1 autre, on peut encore remplacer ici

par (p ( ——r— }> et 1 on a

N —. — est donc le nombre des fonctions irréductibles de

degré fi qui appartient à l'exposant ^-—z — = d.

Nous conservons la formule (11), qui donne la décomposition du binôme x* — i en facteurs irréductibles, ainsi que la formule (12) qu'on en déduit en remplaçante

SECTION III. CHAPITHB III. ïS'J

par x^. Ceux des facteurs F (x),F| (x), ... quî appartiennent à un exposant inférieur à $ donneront, dans la formule {î^)y des facteurs correspondants dont les diviseurs irréductibles appartiendront à un exposant moindre que n. Donc les factei\rs irréductibles de x" — i qui

appartiennent à Texposant v = -^ sont nécessairement

N des diviseurs de l'un des -j—^ polynômes

N qui répondent aux —j^ facteurs

relatifs à l'exposant d. Les polynômes dont il s'agit

N sont du degré Au, leur nombre est -73^» et le nombre

des fonctions irréductibles du degré —^ est N; donc

chacun de nos polynômes est le produit de 2*~* facteurs

irréductibles du degré -^* De là résulte la proposition suivante :

Théorème IL — Soient p un nombre premier de la forme 2't — i, où i n est pas inférieur à 2 et où t est

un nombre impair; fx un nombre impair; — — un diviseur dep^ — \\\un nombre de la forme iJs, oà j n'est pas inférieur à 1 et où, s est un nombre impair; enfin k le plus petit des nombres i et j.

Si l'on a formé les -j^^ fonctions entières irréducti-

mi

bles de degré (i suivant le module q qui appartiennent à

l58 COURS D*ÀLGÎ3RE SUPémBURB.

l'exposant — , ~ ' P^^s qu'on y remplace x par a:^, le

nombre X, delà forme indiquée j étant premier avec d et ne renfermant que les seuls facteurs premiers quifigu-

N rent dansp^ — i , on obtiendra -^^^ fonctions du degré

i/i, et chacune d'elles sera décomposable en 2*^* facteurs irréductibles, ce qui donnera en tout N polynômes

irréductibles du degré ~—i'

mm

358. Désignons par ^ une racine primitive du nombre premier />; les fonctions du premier degré qui appartiennent à l'exposant ■ seront évidemment x — gf^,

ff étant un nombre premier avec • Si donc on re-

présente ces fonctions par x — g^, d sera le plus grand commun diviseur des nombres e et p — i. D'après cela, si l'on suppose fx =:: 1 , dans les énoncés des théorèmes I et II, on obtient cette proposition nouvelle, qui a une assez grande importance, savoir :

Théorème III. — Soient g une racine primitive du nombre premier p\ 1 un nombre entier qui ne renferme aucun facteur premier différent de ceux qui divisent p — i; e un nombre entier premier avec\'^ d le plus grand commun diviseur des nombres e et p — i .

I ** Si p est de la forme 4 y -i- i , ou si, p étant de la forme 47 — i> le nombre X est impair ou double d'un impair, la fonction binôme x^ — g^ est irréductible sui'

vant le module p et elle appartient à l* exposant ^ ^ v"'

î>.° Si p et y. sont respectivement des formes p zL^'xH — I , X = i^s^ i et j étant au moins égaux à 2%

SECTION III. — CHAPITRE III. iSg

etty S étant des nombres impairs; si, en outre, on désigne par k le plus petit des nombres i, y, la /onction binôme x^ — g" est réductible suivant le module p, et elle se décompose en 2*~* facteurs irréductibles du degré— ^^^

qui, tous, appartiennent à l'exposant X

Ce théorème nous fait connaître, sans aucune exception, toutes les fonctions binômes irréductibles suivant le module premier/;. En effet, la fonction x^ — g^ [laoA.p) ne saurait être irréductible si A et e ont un diviseur commun. En outre, si X contient un facteur premier^ qui ne divise pas p — i, la congruence x* — g^'z^.o (mod. p) aura une racine et par suite x^ — g^ admettra suivant le module p un diviseur de la forme x — a; il s'ensuit

que x^ — a sera pareillement un diviseur de x^ — g^.

359. Lorsque p est un nombre de la forme 2' t — i où i est au moins égal à 2 et où t est un nombre impair, il n'existe de fonctions binômes irréductibles de degré X, ainsi qu'on vient de le voir, que dans le cas oùX est impair ou double d'un impair. Mais, quel que soit le nombre pair X, pourvu qu'il ne renferme que les facteurs premiers par lesquels p — i est divisible, on peut former facilement des fonctions trinômes de degré X irréductibles suivant le module p.

En effet, le nombre p étant, par hypothèse, de la forme

p — i^t— I, et t étant impair, posons

le nombre v sera divisible par 2', carX est pair. Ensuite, si g désigne une racine primitive de p et que e soit un

i6o cor ES d'algèbue supÊniEimE»

nombre premier avec X, la fonction

sera^ d'après le théorème III (n^ 358), décomposable en a'~* facteurs irréductibles du degré X. Pour obtenir ces facteurs, remarquons d'abord que a' el p — i ont 2 pour

plus grand commun diviseur et que e et sont impairs; il en résulte que Ton pourra toujours trouver deux entiers d et (^ tels, que Ton ait

alors, g étant racine primitive de p, on aura

é^''*=— ^ (mod./?), et la fonction que nous considérons sera

j;v__^*--^^i -x l^î'« (mod. /?).

Cela posé, désignons par u el v deux variables; les deux fonctions

/»-»-i jp-f-j p—\ p—\

seront divisibles algébriquement, la première par

u^'^H-t'^"*, la seconde par m -h v^, car t et ^~" sont

des nombres impairs ; le produit de ces fonctions peut

donc être mis sous la forme

f étant un polynôme à coefficients entiers Maïs si Ton cflcctue la multiplication des deux mêmes fonctions; on trouve le résultat

SECTION III. — CHAPITRB III. l6l

nous savons d'ailleurs que

et il est évident que xi^f ^) ^^^ divisible par u+^> en sorte qu'on peut écrire

y*! étant un polynôme à coeiBcients entiers. En égalant entre elles les deux expressions du produit que nous considérons, après avoir supprimé le facteur u+i^y on obtient l'identité suivante:

OÙ y et y*! sont évidemment des polynômes à coefficients

entiers, fonctions symétriques des variables u et if.

Remplaçons maintenant u et (^ par les deux racines

de l'équation

X*— ÇX — i = o,

où Ç désigne une nouvelle variable ; toutes les fonctions symétriques entières de u et u, à coefficients entiers, deviendront des fonctions entières de Ç, dans lesquelles les coefficients seront encore entiers; la formule (i) donnera donc

(a) çP-i^, = E(Ç)7(5)-+-/>x(5).

en posant

E(Ç) ==..>-+.«-, ou

et en désignant par f (Ç), xil) ^^^ polynômes à coefficients entiers.

S. — jélg* sup,, II, II

l6a COUnS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Maintenant, comme le polynôme E(Ç) est un diviseur (le

la congruence

(4) E(Ç)--o (mod./i),

qui est du degré 2'~% aura 2'~* racines, et en désignant ces racines par

(5) E(ç) = (ç~ç,)(Ç-ïi)---(5-Çt'-0^-/"^(5>

cj(^) étant un polynôme à coefficients entiers.

Les formules (3) et (5) donnent pour E(Ç) des valeurs qui doivent être identiques ; si on les égale entre elles, et qu'on pose

5=75-^» VÏ*+ 4 =-!-*---.

il viendra, après avoir chassé les dénominateurs,

4>(x) désigne un polynôme à coefficients entiers, et le signe TT exprime le produit des facteurs que représente l'expression

quand on prend pour Ç chacune des racines de la congruence (4)* L^s facteurs dont il s'agit sont précisément les fonctions irréductibles que nous voulions trouver.

SECTION m. CHAPITRE III. |63

Sur une Jonction irréductible du degré p, suivant le

module p.

360. La méthode que nous avons exposée au n^ 351 pour former les fonctions irréductibles n'est guère susceptible d*étre appliquée ; aussi doit-on attacher quelque importance aux théorèmes qui précèdent et qui permettent de former directement une fonction irréductible de degré i, lorsque le nombre X ne renferme que les facteurs premiers du module diminué de l'unité; on verra effectivement plus loin que la connaissance d'une fonction irréductible d'un degré quelconque, suivant un module premier, sufBt pour qu'on puisse former directement toutes les autres fonctions irréductibles du même degré.

Je présenterai encore ici une proposition qui lait connaître une fonction irréductible du degré premier p^ suivant le module p.

Théorème. — Si le nombre g n'est pas divisible par le nombre premier p, la fonction xP — x — g est irré^ ductible suivant le module p.

En effet, soit F[x) un facteur irréductible, suivant le module p, de la fonction dont il s'agit. On aura

^(x) étant un polynôme à coefficients entiers. On tire

delà

xP^x-hg -f- F(jr)y(.r) (mod.p),

et, en élevant les deux membres à la puissance/?'""*,

^(x) désignant encore ici un polynôme à coefficients entiers*

1(54 COURS d'algèbiie supérieure.

Faisons successivement m = i, a, 3, . . . , il viendra

.rP'E^xP^-h g -i-F{a:)<f(x]^x -h 3g H-F{x)f(x) ^

ff

et Ton aura, quel que soit m,

xP^^^x -^ mg-h F{x)f[x) (mod. p).

Supposons maintenant que m désigne le degré de F(x); alors, F(x) divisant xP^ — x, la formule précédente exige que Ton ait

mg==o ou nizi^o (mod. />];

m étant ainsi un multiple de p, on a m = ;? ; par suite F(j:) ne peut être que la fonction xP — x — g elle-même.

Classification des /onctions réduites suivant un module premier et suivant une fonction irréductible.

361. Soit F(x) une fonction entière irréductible suivant le module premier/:;; si Ton pose

aoy aty . . ., Ay.i étant des entiers compris entre o et /; — I , ou entre — et -H ^/{^) ^^^^ Tcxprcs-

sion générale des fonctions réduites suivant le module /i et suivant la fonction irréductible F(x). Le nombre total de ces fonctions réduites est p" et nous avons vu que chacune d'elles satisfait à la condition

I/(*)]'''-/('; = F(.r)|(x) {mod.p).

SECTIOIf III. CHAPITRE III. l65

qui exprime que la fonction

est divisible par F(x) suivant le module p.

Nous nous proposons d^établir ici à Tégard des fonctions y(j:) une classification de tout point semblable à celle que nous avons faite pour les nombres entiers dans le Chapitre précédent. L^analyse que nous allons développer ne suppose pas le théorème que nous venons de rappeler; celui-ci, au contraire, se présentera comme une conséquence de celte analyse.

Dans ce qui va suivre je ferai usage d'une notation particulière qu'il convient, je crois, d'introduire dans la théorie qui nous occupe. Puisque nous écrivons A^B(mod. p) pour exprimer que la différence des nombres A et B est divisible par p, il semble naturel d'admettre la notation

rf(x)-==/(j:) [mod./;, F(.r)]

pour exprimer que la différence des deux fonctions entières S[x)y f{oc) est divisible, suivant le module p^ par la fonction irréductible F{x). Celle-ci prendra alors le nom de Jonction modulaire, et je dirai que^(x) elfix) sont congrues suii^ant le module p et suivant la fonction modulaire F(a:). Enfin, pour abréger le langage, je donnerai le nom de résidus minima aux fonctions réduites suivant le module et suivant la fonction modulaire.

362. Cela posé, soit X l'une quelconque des p* — i valeurs dej^x) autres que zéro ; nous ferons, dans ce qui va suivre, abstraction de la valeur zéro. Les résidus minima des termes de la suite

seront aussi des valeurs de/{x). Mais, parce quey(a^

l66 COURS D*ÀLG£BRC SUPÉRIEURE.

n'a que p* — i valeurs distinctes, il faut que quelquesunes de ces valeurs se trouvent reproduites une infinité de fois dans la série des puissances de X. Supposons que

Ton ait

Xn-f-n'^X»' [moà.p, F(ar)],

OU

X^'^X"— i;=o [moà.p, F(x)].

Comme X ne peut être divisible par F(x), suivant le module p, il faut que Ton ait

X"£=i [mod. /?, F(x)],

et, par suite,

X^^E-i, X»«=i, ... [moà.p, F(x)].

Il y a donc une infinité de puissances de X congrues à l'unité. Soit n le plus petit nombre tel, que Ton ait

X" = i [mod. /?, F(x)],

on aura ces n valeurs de/(x) dont les résidus minima seront distincts, savoir

(il I » A., A., A., •••« A. •

Si Ton a// — i = /i,Ia suite (i), ou celle de ses résidus minima, comprendra toutes les valeurs dey(j:).

Si l'on a p^ — i > /i, soitXi Tune des valeurs àef[x) qui ne sont pas comprises parmi les résidus minima de la suite (i •; en multipliant les fonctions (i) parXi, on 'obtient les nouvelles fonctions

|2j A|, AA|f A Ajf . • •* A A|f

dont les résidus minima sont distincts; car soient //et /i" deux nombres inférieurs à /i; si Ton avait

X"'X,— X""X,-3 0 [mod./?, F(jr)],

comme X| ne peut être divisible par F(a.), suivant le

SBCTIOIf m. CHAPITRE III. iSj

module p, on aurait

X«'-X«"£-=o [mod.p, F(x)],

ce quî est contre l*hypothèse. En outre, les quantités (a) sont distinctes de (i); car si Ton avait, par exemple,

X^'XjE^X»" [mod.p, F(x)],

on aurait, en multipliant par X" " ,

X»Xi = X»-«'-^'»'' ou Xi = X'»-»'^'»'' [mod.p, F(.r)],

ce qui est encore contraire à Thypothèse.

Il résulte de là que p" — i est égal ou supérieur à an. Si p" — i est ^ 2/1, soit X2 une valeur de /{x) non comprise parmi les résidus minima des suites (i) et (a). Eln multipliant les fonctions (i) par X2, on obtient les nouvelles fonctions

Le raisonnement que nous venons de faire prouve que les résidus minima de ces fonctions (3). sont différents entre eux et distincts des résidus fournis par la suite (i); il est aisé de voir qu'ils sont aussi distincts des résidus de la suite (2); car si Ton avait, par exemple,

X'^'X^e^eX^'^X, [mod.77, F(ar)],

en multipliant par X""'' , il viendrait

X«X2=-=X"-'»'-^""Xi ou X^-^X^-^'-^^^Xi [mod. /?, FM],

ce qui est contre Thypothèse.

Il résulte de là que // — i est égal ou supérieur à 3 /i. Et, en poursuivant ce raisonnement, on voit que p" — i est nécessairement un multiple de n.

Si n est le plus petit nombre tel, que Ton ait

X^i-Hi [mod./?, F(x)],

l68 COtinS D'ALCkBRE SCFÉRIEVRE.

je dirai que la fonction X appartient à l'exposant n, suivant te module p et Ut fonction modulaire F(x). Ce nombre n étant un diviseur de^' — i , la précédente congrueace entraine

X"'"' — 1 = 0 [niod.;>, V[x)],

ce qui fournit une nouvelle démonstration dn tliénrème démontré au n" 346.

363. TséoBÈME I. — La Jonction F [x), irréductible suivant le module p, étant du degré v et n désignant un diviseur quelconque de p' — i, il j a autant de Jonctions réduites qui appartiennent à l'exposant n, suivant le double module [p, V{x)\,i}uil j a d'unités dans le nombre ç ( n ) qui exprime la totalité des nombres premiers et non supérieurs à n.

La démonstration de ce théorème est identique à celle dont Dous avons fait usage au n° 306, en nous occupant de la classiHcation des nombres entiers relativementà un modnlcprcmicr. Nous la reproduirons cependant, a cause de l'importance du sujet.

Supposons qu'il existe une fonction X( appartenantà l'exposant n; les résidus minima des fonctions

{i} I, X„ X; Xï"'

seront distincts; d'ailleurs, si c désigne Tuu quelconque des nombres

la congruence