X: = i [mfxl.p. F(J

(a) X7=si ou (X:)''^! [mod./>, F(j:)].

SECTION III. CHAPlTKÎî ÏII. 169

d*où il résulte que, si l'on substitue chacune des n fonctions (i) à X dans la fonction

on obtiendra n résultats qui seront divisibles par F(x) suivant le module p\ donc, d'après la proposition du n^ 345, il n'existe aucune fonction réduite autre que les résidus des fonctions (i) dont la puissance /i**"* soit divisible par F(x) suivant le module p.

Désignons maintenant par m l'exposant auquel appartient X' , c'estrà-dire le plus petit nombre tel, que l'on ait

(3) (Xî)'~=Xr=-i [mod.^, F(:i:)].

La congruence (2) exige que n soit un multiple de m; inversement, comme X{ appartient à l'exposant n, la congruence (3) exige que me soit un multiple de /z, et, par suite, que m soit divisible par n, lorsque e est premier k'n. Donc on a m = 71, dans cette hypothèse ; ainsi X', appartient à l'exposant n lorsque e est premier à n* M ais> si n et e ont un diviseur commun 0 ^ i , on aura

(X^)^=(xO"=t [mod.p, F(.r)];

et, par conséquent, X* n'appartient pas à l'exposant n. Si donc il existe des fonctions réduites appartenant à lexposant /z, le nombre de ces fonctions est égal àf (/i), ^[n) indiquant, comme à l'ordinaire, combien il y a de nombres premiers et non supérieurs à n.

Cela posé, toute fonction réduite appartient à un exposant qui est l'un des diviseurs

de p" — i.Si donc on nomme ^(1) le nombre des fonc-

lyo COURS d'algèbue supérieure.

lions réduites qui appartiennent à l'exposant n, on aura

et, par suite,

Mais, d'après ce qu^on a vu plus haut, on a

le dernier cas ne saurait jamais avoir lieu, à cause de Tégalité qui précède ; donc on a

Corollaire. — // ^ a <f{p'' — i) /onctions réduites qui appartiennent à l'exposant p" — i, suivant le nio^ dule p et la fonction modulaire F(x).

364. Théorème II. — Si deux fonctions réduites Xf, Xa appartiennent, relativement au module p et à la fonction modulaire ¥ [x), à des exposants n^j n^ premiers entre eux, le résidu minimum du produit X| Xa appartiendra à l'exposant n^ni*

En effet, soit s un exposant tel, que

(i) (XjX,)' = X^X;r-M [mod./7, F(;r)l,

on aura, par l'élévation à la puissance 7t|,

cl, puîsqueXf appartient à Texposant/ii, cette congrucncc se réduit à

(2) Xf' — I [mod./?, F(x)].

La congruence (2) montre que sn^ est un multiple

de /ij ; mais /ï| et /ij sont premiers entre eux, donc s est divisible par 712. D'ailleurs /la est l'un quelconque des nombres /Z| , 712, par suite s est divisible par 7Z| et par /ta ; il l'est donc également par le produit 7t| /I2.

Enfin la congruence (i) étant satisfaite quand on prend 5 = 7i| /î2, on voit que n^ n^ est effectivement l'exposant auquel appartient le produit X| X2.

CoBOLLÀiRE I. — Si les fonctions réduites X| , X2, ..., X/ appartiennent, relativement au module p et à la fonction modulaire F(jr), à des exposants n^y n^, ''",ni qui soient premiers entre eux, deux à deux, le résidu minimum de la fonction X| X2 . . . X/ appartiendra à l'exposant n,n^... n^

Corollaire II. — Si le nombre p" — i est égal à 2'^^r** . . . , y, r, . . . étant des nombres premiers impairs inégaux, et si X.o, X|, X2, ... désignent des fonctions réduites appartenant respectivement aux exposants 2', g^f r^f . . . , /e produit Xq X| X2 . . . , ou son résidu minimum, appartiendra à l'exposant p* — i .

Des congruences suivant un module premier et suivant

une fonction modulaire,

365. Soit ^(X) une fonction entière de la variable X, clans laquelle les coefficients des puissances de X soient des nombres entiers ou des fonctions entières de la variable Xy prises suivant le module p et suivant la fonction irréductible F(x) d'un degré quelconque v. Je dirai que la valeur

Xr=/(x)

est une racine de la congruence

S?(X) = o [mod.py F(x)],

[^3 CODnS D ALGÈBRE SCPÉRtECBE.

si, après la substitution def(x) à X, la fonction ^{X) est divisible par F(.ï^), suivant le module /v.

Le corollaire du théorème dcmontré an n° 345 peut alors être énancé comme il suit:

U^ne congruence du degré m, suivant un module premier et suivant une /onction irréductible, a au plus autant de racines qu'il j' a d'unités dans son degré.

366. TnÉonÈME I. — Soient F[x) et ^(x) deux Jonctions irréductibles suivant le module p, la première du degré v, la deuxième d'un degré égal à v ou à un diviseur de V. La congruence

3(\]—o [raod. ^, F{x)]

a précisément autant de racines qu'il j a d'unités dans son degré.

En effet, le degré de ^(X) étant un diviseur de v, on a

XP'-X = ^[X)^.(X)+PZ(X>.

Sf (X ) et ;({X) élant des polynômes à coefficients entiers. D'un autre côté, la con^ucnce

Xp'—Xeso [moA.p, Y{x)\

a pour racines les p" fonctions réduites de X, zéro compris; d'ailleurs chacune des racines de cette congruence appartient à l'une ou à Taulrc des deux

?(X]=o, rf,(X) = o [mod.f, P{x)].

et si l'une d'elles avait moins de racioes qu'il n'y q d'unités dans son degré, il faudrait que l'autre en cât plus qu'il n'y a d'unités dans le sien, ce qui est impostible. Le théorème énoncé est donc éubli.

SECTION III. CHAPITRE lit. IJ^

367. Théorèhe II. — Si ^(X.) est un polynôme du degré m dont les coefficients soient des nombres entiers, et dans lequel le coefficient de X** ne se réduise pas à zéro, suivant le module p^ on pourra trouver une fonction irréductible F (x) suivant le module p telle, que la

congruence

♦ (X)==o [mod. /?, F(x)]

ait m racines»

En efiet, décomposons le polynôme 4>(X) en facteurs irréductibles suivant le module p ; soit

♦ (X) = *ax)*,{X)*,(X)... (mod.p),

et désignons par /ii, n2y n^, • • • les nombres inégaux par lesquels on peut exprimer les degrés des polynômes irréductibles 4>i, 4>2, .... Chacun de ces facteurs divisera, suivant le module p, l'une des fonctions

si donc V désigne le plus petit nombre divisible à la fois par /ify ^29 • • -9 les mêmes polynômes diviseront aussi

Par conséquent, si Ton prend une fonction irréductible F(j:) de degré y, chacune des congruences

♦i(X)so

*a(X) = o ( [mod.D, Flx)] ♦,(X) = o

aura {n? 366) autant de racines qu'il y a d'unités dans son degréy et il s'ensuit que la proposée aura elle-même autant de racines égales ou inégales qu'il y a d'unités dans son degré.

174 corRs D*ALGÈBmE srpémiEumB.

Propriétés des racines d'une congruence dont le premier membre est une fonction irréductible de degré égal au degré de la fonction modulaire ou égal à un sousmultiple de ce degré.

368. Théorème. — Si Y\x) et S{x) sont deux fonctions entières irréductibles suivant le module p^ la pre^ mière du degré v, la seconde d'un degré p égal àif ou à un sous-multiple de v ; si en outre X| désigne l'une quelconque des racines de la congruence

[t] ^{X =13 0 [mod. /?, F X'],

les racines de cette congruence seront les résidus minima des puissances

En effet, on a(n«347)

gXP- ^[^{^i']"" (mod.p),

et puisque X{ satisfait à la congruence (i), on aura

^(Xr;=o [mod,/?, F(x)],

donc chacune des puissances (a) ou son résidu minimum est racine de la proposée. Il reste à prouver que les résidus de ces puissances sont distincts. Si Ton avait

Xr" = Xr [mod.,., F(x)], il s'ensuivrait

X';''[Xfw--.:-i]-3 0 [mod./?, F(x)],

puis

X/y.(;^-. ,o [niod./7, F(x)].

L'exposant auquel appartient X| est donc un diviseur

SECTION ni. CHAPITRE 111. I75

dep'»'(p» — ï)et, par suite, un diviseur dcp" — i, car cet exposant ne renferme pas le facteur ;> ; on a en conséquence

X''"— 1 = 0 [mod,p, F {a:)].

Mais cela est impossible, puisque n est <^a; donc les résidus des puissances (a) sont distincts.

CoROLXAiRE. — SiF[x) désigne une Jonction irréductible du degré y sui\fant le module premier p, la

congruence

F(X)=o [moà.p, F(jr)]

a pour racines les résidus minima des v puissances

Des racines primitives de la congruence X'»-»— 1 = 0 [mod./7, F(ar)].

369. Quelle que soit la fonction entière F(a:) de degré V, irréductible suivant le module premier p, parmi les p* — I racines de la congruence

(,) Xi»-* — i==o [mod./>, F(:r)],

il y en a (^ (/?" — i) qui appartiennent (n** 363) à l'exposant p" — I ; nous les nommerons racines primitives.

Si X désigne Tune quelconque des racines primitives, les racines de la précédente congruence seront les résidus minima des puissances

Le nombre p" — i étant décomposé en un produit T^q^r^ ... de facteurs premiers, pour avoir une racine primitive de la congruence (i), il suffira, d'après le co-

fjfi cocns d'ilcèbre supérieure.

rollaire II du n° 3Qà, de former les cODgruences

=o... [taoà.p.r[r)].

et de chercher des racines de ces congruences qui appar^ tiennent respectivement aus exposants a', (/'', i^, .... Ces dernières racines peuvent être aommées primitives It l'égard de celles des congruences (a) auxquelles elles se rapportent.

Si la fonction modulaire F(x) est choisie parmi les fonctions irréductibles du degré v qui appartiennent à l'exposant p' — i, il est évident que les p" — t racines de la coDgmence (i) seront les résidus des puissances

, une racine primitive de la

car X est, dans ce ( gruence.

370, Lorsque l'on connaît une fonction irréductible F{x) de degré v, relativement au module p, cl qu'on a obtenu, au moyen de cette fonction, une racine primitive de la congruence

I^o [mot], p, F(.i

on peut trouver facilement toutes les fonctions irréductibles dont le degré est égal à v ou à un diviseur de v. En d'autres termes, on peut effectuer la décomposition de la fonction

xf'—^ ou X''"~X

en facteurs irréductibles suivant le module p.

En effet, soit \, une racine primitive de la congruence (i); toute puissance X' sera racine d'une congruence t«ile que

la) H^]^

= o [mod.p, F(x)],

SECTION IIK CHAPITRE lîl. I77

^(X) étant une fonction irréductible suivant le module p^ dont le degré fx est égal à v ou à un diviseur de v. Alors les racines de la congruence (2) seront (n^ 368)

(3) X% Xr, X^A'', ..., IL'f". ety comme on doit avoir

(4) X7''=X*; ou X'O^'^-Ozzsi [mod./7, Y[x)\ l'exposant e(/?** — i) sera un multiple A^p* — i. Posons

et supposons que m soit le plus grand commun diviseur des nombres e dp" — i ; Ja condition pour que la congruence (4) ait lieu se réduira à celle de la divisibilité de p^ — I par n. Mais, pour que les fonctions (3) soient effectivement distinctes, il faut en outre que {x soit le plus petit nombre tel, quey^^ — i soit divisible par n.

Le degré fx de la congruence (2) étant ainsi déterminé, on aura identiquement (n** 34S)

;/[X:, = (X~X^)(X-X7)...(X-X7*'"') [moâ.p, F(^)],

et, après avoir effectué le produit des binômes contenus

dans le second membre de celte formule, on aura une

expression de ^(X) de laquelle la variable x aura disparu.

On pourra former de cette manière toutes les fonctions

irréductibles dans lesquelles la fonction X^ — X peut être décomposée.

Si Ton désigne par k Texposant auquel appartient Xf ,

on aura

X^^=i [niod.77, F(x)],

d'où il résulte que ke est divisible parp' — i = m/i, et que, par suite, k est un multiple de n; mais comme la

S. — J^lg* t"P't II. 12

178 C0UB8 d'algèdue supérieure.

congruence précédente est satisfaite par Ar = n, on voit que Xj appartient à l'exposant /i.

Je dis en outre que la fonction irréductible ^(X) appartient à Texposant n. En effet, désignons par ^1 (X) et ^(X) le quotient et le reste de la division de X* — i par ^(X ) suivant le module />, on aura

X"- . = .f ;x)^,,x; -4- *[\) +pz(x),

;^ étant une fonction entière. Cela posé, les congruences

X"— i-=o, ^;x; = o [mod./7, F(ar)]

admettent les p racines qui forment la suite (3); donc ces racines appartiendront aussi à la congruence

4>(X;:-^o [mod./?, F(.r)],

et comme celle-ci ne peut être d'un degré supérieur à|i — i, elle est nécessairement identique et Ton a

4>(X^=so ;mod. /7\

d'où

X"-i=:.f[X;.T".tX:.-/>z;X),

ce qui exprime la proposition énoncée.

371. D'après ce que nous venons de voir, si Ton veut former toutes les fonctions irréductibles du degré y qui appartiennent à l'exposant n, diviseur propre àe p* — i, on posera

et l'on prendra ensuite pour e l'un quelconque des multiples (le m premiers à //. L'expression générale des fonctions demandées sera

^IX;= X-X^. ^X-X7;..ÂX-X7^*) [mod./i, F(jrj].

Si l'on veut avoir les fonctions irréductibles qui appartiennent à l'exposant p* — i et auxquelles répondent les racines primitives, on fera m = i , n = p' — i, en sorte qu'il suflira de prendre pour e, dans la formule précédente, tous les nombres premiers kp* — i et à p.

Du point de "vue sous lequel Galois a envisagé les congruences suivant un module premier et une fonc^ tion modulaire.

372. Dans la théorie des congruences ordinaires, on traite comme s'ils étaient nuls tous les nombres divisibles par le module. Et de même, dans Tanalyse qui se rapporte aux congruences de la forme

^(X, jr)^o [mod./?, F(x)],

on opère comme si les multiples de F(j:) s'évanouissaient. Or il y a ici une indéterminée x qu'on peut faire servir naturellement à Févanouissement des multiples de F( j:) ; il suffit efTectivemcnt de convenir que cette indéterminée X est une racine imaginaire de la congruence irré^

ductible

Y[x) ^o (mod. p).

Ainsi peuvent s'introduire dans Fanalyse de nouvelles imaginaires dont l'emploi offre certains avantages, bien qu'il ne soit pas indispensable. Cette conception est entièrement due à Galois, qui Ta exposée succinctement, dans le Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac ( t. XIII, p. 398) ( * ).

(*) L'article publié par Galois en i83o dans le Bulletin de Férussac a été réimprimé ensuite arec ses autres Mémoires jdans le tomo XI du Journal de 3Iathématiques pures et appliquées.

l8o COURS D*ALGEBRE SUPÉRIEURB.

La théorie que nous avons développée nous donne, an point de vue de Galois, les propositions suivantes :

Théorème I. — Si i désigne une racine imaginaire de la congruence irréductible de degré v,

F(x)^o (mod. p) une congruence non identique de degré m,

y(x)==^o (mod./?) ne peut avoir plus de m racines distinctes de la /orme

OÙ ^0 y Al y ... , a^i désignent des entiers inférieurs à p» Théorème II. — La congruence

^t*" — .r^o (mod./?) admet toutes les />' racines de la forme

«0 H- /Il / -4- ^j/* -4- ... -4- «v, /*-*,

I désignant une racine de la congruence irréductible

F(j:)e3 0 (mod./?), de degré y.

Théorème III. — La congruence irréductible

F(x)^o (mod./?)

de degré v admet v racines qui peuvent être représentées par

/, /^ iP' iP"'\

Théorème IV. — Une congruence quelconque non identique a autant de racines égales ou inégales qu'il y a d'unités dans son degré; toutes ces racines sont des fonctions entières d'une même racine imaginaire d'une congruence irréductible*

SECTION m. — CHAPITRE ITI. l8l

Thégaèice V. — La congruence

xP""* — I ^o (mod. p)

admet des racines primitives; chacune de celles-ci est racine d'une congruence irréductible de degré v, et ses puissances fournissent toutes les racines de la congruence proposée.

Tbéoeève VI. — Si ton a p* — ï = 9Î*9Î*« • -^î?» q%y ^2, ..., Çm étant des nombres premiers inégaux et aiy «2, • ••, et m des entiers quelconques, et qufi r^j ^2y • • • > f'm désignent des racines primitives pour les congruences respectives,

x'* — i^o, j?^« — i==o, ..., x'»'" — i^o (mod./>),

le produit ri r2 . . . r^ sera une racine primitive de la congruence

xP*"^ — I ^ o (mod. p).

application de la théorie précédente au cas du

module 7.

373. Il ne sera pas inutile d'examiner quelques-uns des cas d'un module particulier. Je choisirai à cet effet le module 7, qui a 3 pour racine primitive, et je prendrai les résidus suivant ce module, entre les limites — Set H- 3.

De la congruence x' "" * — i == o ( mod. 7 ). — Le théorème du n^ 358 nous donne immédiatement les trois fonctions irréductibles du deuxième degré

Nous plaçant ici au point de vue de Galois, cherchons

l8a COURS D^ALGEBRE SUPÉBIEVBE.

une racine primitive de la congruence

(i) x"*-* — iE=^o ou X*' — li=0,

en partant de la racine i de la congruence irréductible

(a) x*H-i£i30 (mod. 7).

A cet effet, comme 48 = 2* X 3, il nous faut connattre une racine primitive des deux

(3) jr^—l^^o, ar"— IEZ30 (iDod. 7].

La première de ces congruences a 2 pour racine primitive, et les racines primitives de la deuxième appartiennent à

(4) jr'-4-i=HO (mod. 7^.,

laquelle, à cause de Phzb — i, se décompose en deux autres, savoir :

^ — /s=o, a:*-4-/!Z3 0 (mod. 7).

Considérons la première

X* — in^o (mod. 7),

et posons

x = Oq -:- a^ i,

il viendra

al — Zala^i — ala]^ — Za^a\i^ -4- flji*=^/ (mod. 7),

et, en réduisant à l'aide de 1* == — i ,

[al-^- a\a\->r a\)'^y—Za\a^->rZa^a\ — i)/^i3 0 (mod. 7),

a ou

ti\ -h a\a\'^a\~=iOj —Za\a^-\'Za^a\ — i=z20 (mod. 7).

On satisfait à ces congruences en posant

tfo — 2, fl, m — 3; donc la deuxième des congruences (3) a la racine primi-

SECTION III. — CHAPITRE III. l83

tive a — 3i; par suite la proposée a la racine primitive

(5) x = 2X(a — 3/) = — 3-+-/ (mod. 7). En élevant au carré, il viendra

(6) j:5=-2 -f- / -4- /«su- /.

et, en éliminant i entre (5) et (6),

x' — a:-+-3E^o (mod. 7).

Telle est la congruence irréductible dont dépend la racine primitive demandée. Si Ton représente par i cette racine, les 4 H racines de la congruence (i) seront les valeurs des puissances

réduites par le moyen de la congruence

/* — / 4- 3 ^:=E o (mod. 7).