De la congruence x"^ ~* — iï=3 0 (mod

Le théorème du n° 358 indique, pour le module 7, Texis-

tence des quatre fonctions irréductibles du troisième

degré

x' — 2, jr* — 3, :r' -h 3, x"*' -f- 2.

Nous désignerons par i une racine de la congruence

i^TmOL (mod. 7).

et alors les racines de la proposée seront de la forme

Cherchons une racine primitive de la congruence proposée qui est

(i) x'** — 1=0 ou X**'** — I =20 (mod. 7).

Il suffit pour cela d*avoir une racine primitive de chacune des trois suivantes :

(a) ^' — 1^0, or*'— i££zo, x'^— -izz^o (mod. 7).

i84 COURS d\lgèbre supériedre*

La racine primitive de la première des congruences (a) est — i; la deuxième de ces congruences (a) peut se mettre sous la forme

(x»— i)(x»— 2)(«>-+-3)e=o (mod. 7),

et ses racines primitives sont les racines des deux congruences

x*^=2, j:*==:= — 3 (mod. 7);

donc I est racine primitive de la deuxième des congruences ( 2 ). Il reste à trouver une racine de x* • — i ^o, ou plutôt de

^o (mod. 7).

jr — I

Examinons si Ton peut satisfaire à cette congroence en posant simplement x := an-i-a^î au lieu de «0 H- ûi ' H- ^2** î nous devrons avoir

(«o-i-«i')**-=^i (mod. 7),

ce qui, en développant par la formule du binôme, et réduisant les puissances de ao, a^ et i par les formules

«;"*=-: I, «;'«=!, i»e:3 2 (mod. 7), se réduit à

3 [a, -a\a\-^ [a\ a] -h a] a\] /«] = i, d^où, en séparant.

Ces deux dernières conditions sont satisfaites en posant

«0 - — ' » rt, = -h I .

Donc — i-!-i est une racine primitive de la troisième des congruences (2). Le produit des trois quantités

qui est

SECTION III. — CHAPITRE III. l85

sera donc une racine primitive de la congruence proposée

J.7* — i^o (mod. 7);

par conséquent, cette expression jouit de la propriété qu'en Télevant à toutes les puissances on obtiendra 7' — i expressions différentes et de la forme

Si Ton veut connaître la congruence irréductible dont dépend la racine que nous venons de trouver, il faudra éliminer î entre

a:=i — /* et /'r^a (mod. 7).

En élevant la valeur de x au cube, puis réduisant les exposants de 1, il vient

x' Ei= — 2 H- / — /* (mod. 7 ),

d'où

jc* — arH-2^o (mod. 7).

Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires et de représenter par i la racine de cette congi'ueuce, en sorte que Ton aura

/* — / H- 2 e:= o ( mod. 7 ),

et l'on obtiendra toutes les imaginaires de la forme

en élevant i à toutes les puissances et réduisant par la précédente congruence.

375. De la congruence x'^ ~* — ie=o (mod. 7). — Le théorème du n° 354 nous fait connaître une fonction irréductible du quatrième degré, suivant le module 7, savoir :

OU ar* -f- .r^ -f- a;* -H or + I ;

i86 COURS d'algèbre supérieure.

effectivement le module 7 est racine primitive pour le nombre premier 5. En outre, d'après le théorème démontré au n"" 358, chacune des trois fonctions binômes

est décomposable suivant le module 7 en quatre facteurs irréductibles du quatrième degré. On trouve par Tanalyse du n" 359 que ces facteurs sont respectivement

or* H- x»— I, jr*-f- 2jr«— 2, x* -i- :r- -f- 3,

x^ — jr* — I, jr^ — nx^ — 2, X* — J**-T-3,

x^-f-3x»— 1, x*-h3x*— 2, ar^-4~2J:--f-3,

x'* — 3.r^ — I , x^ — 3ar* — 2, J:* — 2X- -î- 3.

Nous désignerons par i une racine de la congruence

(i) /*4-3/* — 2=2o (mod. 7),

et nous chercherons une racine primitive de la con* gruence

(a ) a:^*"-* — I îrs o ou x'*°® — i E=r o (mod. 7).

Comme 2400 = 2*.3.52 = 32 x3 X a5, il nous faut connaître une racine primitive de chacune des trois codgruences

(3) ;r"— im-o, .r^ — l==o, x^'^ — 1=2 0 (mod. 7), Or la congruence (i) donne

(4) ) /» ir: I -1-3/' [ (mod. 7)

et, par suite,

(/»•)»== (/•>)»«— --I (mod. 7).

Il résulte de là que i' est une racine primitive de la première des congruenccs (3y ; la deuxième congruence (3)

SECTION m. CHAPITRE III. 187

admet a comme racine primitive ; il reste donc à connaître une racine primitive de la troisième

jr'*^i (mod. 7); essayons d*y satisfaire en posant

X = a/ -f- bi^ ;

en substituant cette valeur, réduisant an moyen des formules (4) €t égalant ensuite à zéro les coefficients des puissances de i, il vient

2a*-l-3a'ô* — 2rtô^E=20

> (mod. 7]»

congruences auxquelles on satisfait en posant a = 3, 6=2. Ainsi Sz-ha/^ est une racine primitive de X*' — 1=30, car il est facile de s'assurer qu'elle ne satisfait pas à a:" — I ^ o. La congruence proposée admet donc la racine primitive

X = 2/3 (3/ -h 2/'j = — I* — Zi\

ou, en réduisant,

On tire de là

et, en éliminant i, on trouve

(7) x^ — ix^ — 2.r — 2==0 (mod. 7).

Si Ton désigne maintenant par 1 une racine de cette

i88 COURS d'algèbre supérieure.

congTucnce (7), les st4oo premières puissances de i donneront toutes les racines de la congruence

jpikoê — i===o (mod. 7).

376. A regard des fonctions irréductibles de degré supérieur à 4 pour le module 7, je me bornerai, en terminant, à des indications que le lecteur pourra développer sans difliculté. Nous n'avons aucun théorème qui nous permette de former directement une fonction irréductible du cinquième degré relativement au module 7. Mais il est aisé d*en obtenir une par tâtonnements. Ainsi on reconnaît que la fonction

est irréductible suivant le module 7, parce que, si le

contraire avait lieu, cette fonction aurait un diviseur du

premier ou du deuxième degré, lequel appartiendrait, en

même temps, à la fonction x*' — i; or il est facile de

s'assurer que cette fonction et la proposée n'ont aucun

diviseur commun suivant le module 7. Il y a plus, la

fonction x' -+- x — 3 appartient à l'exposant 7* — i , en

sorte que, si l'on désigne pari une racine de la conginience

irréductible

I» f. / 3 r^ o ( mod. 7 ),

les 7' — I premières puissances de i donneront les racines de la congruence

x"*-* — i==3 0 (mod. 7).

Dans le sixième degré, il y a deux fonctions binômes irréductibles, savoir : j:* -+- a et x* — 3, et il est facile de conclure de Tune ou de l'autre une racine primitive de la congruence

r"*-* — i==:-o (mod, 7).

SECTioif III. — chàpithb III. 189

Par exemple, si Ton pose

/•?=: — 2 (mod. 7),

il sufBra de déterminer une racine primitive de chacune des quatre continences

jpU — 1^0, jr' — 1==0, x'* — 1^0, ar** — 1==0 (mod. 7),

en procédant comme nous Tavons fait dans les cas que nous avons examinés précédemment. On reconnaît facilement que i-f-i est une racine primitive de la congruence proposée; cette racine appartient à la congruence irréductible

[x — i)*-4-2^o (mod. 7).

Enfîn, dans le septième degré, nous connaissons une fonction irréductible, parle théorème du n**360, savoir : x' — X — g, g étant différent de zéro. Si l'on désigne par î une racine de la congruence irréductible

/7 — / — 3==o (mod. 7),

on reconnaîtra facilement que /est racine primitive pour la congruence

;r'''-*- iE=iO (mod. 7^

i<)o COURS d'algI:bbe supérieure.