CHAPITRE IV
DÉTERMINATION DES FONCTIONS ENTIÈRES IRRÉDUCTIBLES. SUIVANT UN MODULE PREMIER, DANS LE CAS OU LE DEGRÉ EST UNE PUISSANCE DU MODULE.
Sur les fondions entières irréductibles, suivant un module premier f dans le cas où le degré est égal au module,
377. Dans un travail qui fait partie du tome XXXV des Mémoires de l'Académie des Sciences j et doDt mon Algèbre supérieure reproduit les résultats, j'ai montré qu'on peut obtenir immédiatement une fonction entière du degré v irréductible suivant le module premier p, lorsque le nombre y ne renferme aucun facteur premier différent de ceux qui divisent p — i , et aussi lorsque ce deg;ré est précisément égal au module.
Je me propose ici de revenir sur le dernier de ces deux cas et d'exécuter la décomposition de la fonction xP^ — X en facteurs irréductibles suivant le module/;. Posons
i X,.^.r/'--^xP''-4-..+ (-.)^-''^'""'--'''~^-^''):r^'H-. \ ^ I ^ ' I . 2 . . . /•
il est évident que Ton aura
(2) X^i^XJ— X^ (mod./?).
Multiplions entre elles les p — 1 congruences comprises
SECTION III. CnAPITRE IV. I9I
dans la formule (2) quand on attribue à jx les valeurs i, ûy 3^ .,,{p — i),et divisons ensuite la congruence résultante par Xa Xs . . . Xy, 1 , il viendra
(3) X^=X,(xr*~iXxr*-0...(Xpî-i) (mod./i);
mais la formule (i) donne
Xi=j:'' — X, et l^pz^xP^ — X [moà.p],
en sorte que le quotient V de X^ par X| est égal au produit de toutes les fonctions entières irréductibles de àeçcé p\ on a, par la formule (3),
(4) v=s:xr'-i)(xr'-i)...(xp;-i) (mod./,;.
et l'on sait d'ailleurs que
(5) X^* — i2.---;x,4 — i) (Xj^— 2)...(x,^— /?—i) (mod./?).
Ainsi chacun des facteurs Xj~* — i de V est, d'après la formule (5), le produit de/? — i facteurs X^ — gy où g a les valeurs i, 2, ... ( p — 1), et chacun de ces facteurs X^ — g est lui-même le produit de /?**"* facteurs irréductibles du degré p. En particulier, le facteur XÇ"* — I est le produit des p — i polynômes irréductibles
(6) joP^X-g,
que j'ai considérés précédemment.
378. Les fonctions entières irréductibles du degré p peuvent être distinguées en p — i genres, en comprenant dans le fji**"* genre toutes celles dont X^* — i est le produit. Le premier genre comprend les /? — i fonctions (6).
Soit i une racine de la congruence irréductible
(7) iP — i — i~=o (mod. />),
les racines de cette congruence seront
et il est évident que les p racines de la congruence
xP — X — g^^o [moà. p) seront
en sorte que les fonctions irréductibles du premier genre sont caractérisées par cette circonstance que leurs racines sont des fonctions linéaires de i.
Je dis que généralement les fonctions du /x**"** genre ont pour racines des fonctions entières de i du degré fi.
En effet, considérons une telle fonction, et désignons par
(8) /(/ ) = tfo H- «1 ' + ^i'"* + . . . 4- a^JP-^
Tune des racines de la congruence obtenue en Tégalant à zéro, suivant le module p. D'après ce qui a été dit plus haul,y(i) seraracinede la congruence X^^Hg^ (mod.^), dans laquelle g a une valeur convenable. Exécutant la substitution et observant que
[/(/•)]"" =:/(/'^') -=3/(/ + m) (mod.p),
il viendra
+ (->)"-' 7/('+') + (-«)"/(')=? (in.Kl.^).
Cette congruence est nécessairement identique, car son premier membre est un polynôme en t de degré h
SECTION m. CHAPITRE IV. iy3
férieuT kp; d'ailleurs ce premier membre est la différence fx**"* de y(i) relative à la différence constante i attribuée à i; donc, puisqu'il se réduit à la constante g différente de zéro, le deg;ré dey^(i) est précisément égal k fx; on a, en conséquence,
I • Ji « • « tA
379. Il est aisé d'obtenir les fonctions irréductibles des différents genres. Supposons que les p coefficients Oq, ai y ..., ap i de la formule (8) restent indéterminés, en excluant le cas oik/[i) se réduirait ù la constante ao, et considérons la congruence
(9) '^[/[i) — ^] = o [mod.p],
dans laquelle X prendra les p valeurs o, i, 2, ...,/> — i. Si Ton rabaisse au-dessous de p les exposants de /, en faisant usage de la congruence (7), la formule (y) donnera p congruences, dont les premiers membres seront des fonctions homogènes et linéaires des puissances i®, i*, i^y ..., iP'^*. En égalant à zéro, suivant le module;?, le déterminant F[x) formé avec les coefficients de ces puissances de i, on obtiendra la congruence irréductible dont les racines sont
F(x) sera donc une fonction entière irréductible du
degré p.
Si Ton fait, pour abréger Técriture,
et qu'on regarde ap comme équivalent à ao, en sorte 5. -^jiig. sup.. II. i3
194 COURS d'algèbre supéricers.
que a, représente Oq •+• Up^i, on trouve immédiatement
X Ci
Jr .
(ii)F(x;--
Telle est l'expression générale des fonctions irréductibles du degré p suivant le module p.
Si l'on veut avoir les fonctions du fi""* genre, on fera
et Ton peut supposer aussi (.3)
En effet, la congruence F(j:)==o (mod. />) est celle dont dépendent les racines (10) ; or, parmi ces expressions (10), il y en a une, /(»-l-i), dans laquelle le coefficient de i^"^ est congru à zéro, et rien n'empêche de substituer dans noire analysey(i -+- 1) kfii).
Ayant donc égard aux équations (12) et (i3), si Ton attribue aux coefficients a^, «i, ..., r?^a les valeurs o, 1,2, ...,p — 1 et à a^ les mêmes valeurs, zéro excepté, la formule (11) fera connaître les [p — i)/>^~* fonctions irréductibles du fji'*"* genre.
Si on fait Tapplication au cas de /x = i et à celui de fz = 2, on trouvera :
1* Pour f*- :i, F(.r)=rjr/* — x — fl, ;
SECTION m. — CHAPITRE IV. igS
380. Parmi les fonctions du {p — i)»*"« genre, il faut remarquer celles qui répondent au cas où les coefficients de la formule (8) sont nuls, à Texception de Uq et a^.i ; ces fonctions ont pour expression
et elles ont cette propriété que les racines de la congruence F(a:)=Ho (mod. p) sont des fonctions rationnelles et linéaires de Tune d'entre elles. Effectivement, la congruence dont il s'agit peut, si Ton y introduit la racine a\y se mettre sous la forme
xP^^—^ j—^ (mod. /?),
et l'on sait d'ailleurs que ses racines peuvent être représentées parx, xPf xP\ ..., x^"'.
Sur les Jonctions entières irréductibles suivant un module premier, dans le cas oà le degré est une puissance du module.
381. Je me propose d'examiner ici le cas plus général des fonctions entières irréductibles, dont le degré est égal à une puissance quelconque du module premier p.
Posons, comme dans le précédent arlicle,
-h(— i)»*-* ^j'P-\'[—\Yx (mod./7),
formule de laquelle résulte la congruence
(a) Xj^n^Xf— Xji (mod./?;.
ig6 COURS d\lg£Bre supérieure.
La formule (i) peut s^écrire symboliquement de la manière suivante :
Xp= ^ — i]^ [mod.p],
en convenant que, après avoir eflectué l'opération indiquée dans le second membre, on remplacera chaque puissance ^''"^ de H par x^*^~*. Alors, si Findice fA est divisible par une puissance de p^ et que Ton fasse
on aura symboliquement
X,^-= ï-./'^=[(Ç-i)p-l'^(ç^-,r {mod.p], c'est-à-dire
-f- —1/-* -xf^'^'^ .— 'T* (mod. /?;;
dans le cas de v = i , on a
4) \pm=i.vP^ — * mod. y?).
La formule (a) exprime que X^ se change en X^ quand on change x en xP — x; d'ailleurs la même formule se réduit, pour yLz= Oy k
J^l =:: X^ — Xq»
ce qui montre qu'on doit regarder Xo comme étant égal à X. Il résulte de là que, pour exécuter p fois de suite, dans les formules (i) et (3), le changement de x en xP — X, il suffit d*ajouter p unités aux indices des fonc-
SECTIOIf III. CHAPITIIE IV. I97
tîons X qui y figurent. La formule (3) devient ainsi
H-(— i)-'-Xf^-f-;— i)'Xp (mod./?).
382. Je désignerai généralement par V;, le produit de toutes les fonctions entières de degré p", irréductibles suivant le module p. D'après la formule (4)> ce produit est égal au quotient des deux fonctions X^,», X;,»-» ; ainsi Ton a
(6) Xpi^X^it-iV^ (mod./?).
Ensuite la formule (2) donne
X,H.: = Xf,, -X^+,. , (^od^).
multipliant ces congruences entre elles et divisant la formule résultante par le produit X^^^., Xj^^2 . . . X^^^j, il vient
(7) x^=x,.(xr*-i)(x{;;}~i)...(xf;:J..,-i) (mod./?).
Faisons il viendra, à cause de la formule (6),
v.-=(xp-J. - 1) (x^-J.^,- 1) (x^r-V,- i)...(xjrii- 1) (mod. p).
Chacun des facteurs X^P7-t^i i — ï du second membre de la formule (8) se décompose en p — i facteurs
igS COURS d'algèbre supérieure.
X^"-'^.v i — gy où g dL les valeurs i , a, . . . , p — i , et cette dernière fonction est elle-même le produit de pP»-t^i-n-i facteurs irréductibles du degré p".
Il y a lieu de distinguer en plusieurs genres les fonctions entières irréductibles de degré p^, ainsi que je 1 ai fait déjà dans le cas particulier de /i = i. Je nommerai fonctions du X»^*"* genre celles dont Xp;i*..»4-t — ' eslle produit, X ayant les valeurs
et le dernier genre, celui qui répond à X=. [p — i)/?""*, sera dit le genre principal.
Si Ton exécute le changement de x en xP — x, dans le second membre de la formule (8), chacun des pfi — pft-i — , premiers facteurs entre parenthèses se changera dans le facteur suivant, d'après ce qui a été dit plus haut. Quant au dernier facteur X^».!, — i, qui est le produit des fonctions irréductibles du genre principal, il se changera en X^r* — i, ce qui est le premier facteur de V,/^,, c'est-à-dire le produit des fonctions entières irréductibles du degré //'"*"' et du premier genre. De cette considération résulte immédiatement le théorème suivant ;
Théorkme. — Soit F(x) une Jonction entière du degré p"y irréductible suii^ant le module premier p. Si cette fonction appartient au X"^'"* genre supposé non principal, la fonction ¥{xP — x) ou F(X| ) sera réductible y et elle se décomposera en p facteurs du degré p^ y irréductibles suivant le module p et appartenant au (X -+- I )'>/»<? genre. Mais, si (a fonction F(x) de degré j)^ appartient au genre principal, la fonction V[xP — x) sera clle-mcme irréductible suivant le module p^ et elle appartiendra au premier genre des fonctions de degré p""^^ .
5ECTIOI« III. CHAPITRE tV. I99
383. Considérons d'abord les fonctions entières irréductibles de degré ^^ et du premier genre. Le produit de ces fonctions est
X{Îm-i — i=:^n(Xp«-i — g) (mod. /?),
le signe de produit II s'é tendant aux valeurs i, 2 y . . ., [p — i) de g. Le facteur X^,»-i — g est ce que devient
X;,»-» — I quand on y remplace x par - et qu'on mul-
tiplie le résultat par g; il s'ensuit que la recherche des fonctions entières irréductibles du premier genre est ramenée à la décomposition en facteurs de la seule expression
(9) Xp«-« — i^.vP^ — or — I (mod. /?).
Soient F (x) l'un des facteurs irréductibles de la fonction (9) et in une racine de la congruence
(10) F(x)^o (mod./?).
La racine in appartiendra aussi à la congruence
(i i] Xy,«-' — 1^0 (mod. p],
et l'on aura en conséquence
(12) /J''""'— /„=i (mo(l./7).
En tenant compte de la formule ( 1 2) , la congruence (11) peut s'écrire de la manière suivante :
(^— '/»)''''' — (^— '■/») = o (mod./?),
et, par conséquent, les p^'*^* racines de cetle congruence seront données par la formule
(i3) x--/;,-f-/(/„i) (mod.p),
dans laquelle i/,i désigne une racine d*une congruence
irréductible quelconque de degré p""*, et y une fonction entière du degré p""* — i, dont les coefBcienls peuvent avoir les valeurs o, i, 2, ...,(p — i).
Parmi les valeurs de x comprises dans la formule (i3), figurent les p" racines de la congruence (10), et comme , d'après la théorie des congruences. Tune de ces racines est ij, on aura
(i4) fj- /«=/(/„,) [mod.p),
la fonction y devant être ici convenablement choisie. La formule (14) permet d'éliminer des expressions qui contiennent les puissances de in au delà de la {p — i )•*"*, en introduisant les diverses puissances de «„.|.
De là on peut conclure que, si l'on désigne par
ht '1» 's» •••»'/»
des racines de congruences irréductibles suivant le module p, dont les premiers membres soient des diviseurs des fonctions respectives
Aj — I p jLp — I , Xp« — I ) • • • f Xi,"-» — I y on aura
'rt
(i5) {/^— /3 = P„ }(mod.p),
P^ étant une fonction entière des racines i|, 1*2, • . •« «V? qui ne renferme aucune puissance de ces racines supérieure à la(/; — 1 )**"•.
Il reste à connaître la condition que doivent remplir les fonctions Pj^pour que les valeurs de l'i, i^, . . ., i^,
SECTION m. CHAPITRE IV. lOI
défînîes parles formules (i5), satisfassent effectîvement
aux congruences respectives
X,— i==o, Xp--i=^o, Xp«— 1^0, ..., X;,— » — 1^0 [mod.p],
Pour remplir cet objet, nous aurons à nous appuyer sur un lemme que nous allons d*abord établir.
