Lemme. — Soit

une Jonction entière du degré v<Ip» d^une quantité!^ racine de la congruence

Ç'^" — Ç = i (mod. p),

et dont les coejjîcients a, réels ou imaginaires, satisfont tous à la congruence

aP^ — azrno (mod. ^); 5* Von attribue à X^ la valeur f{JQ y ^'ï aura

Xvpw-i-j^^ 1 .2. . . v.flr^ (mod. p),

La démonstration de ce lemme se déduit très-facilement de la formule (5), qui donne l'expression de Xvp«^^ en fonction de Xp. Pour élever f{t^) à la puissance p('^^^P"'^ il faut répéter V — k fois l'opération de Télévation à la puissance pP"*] or, d'après Ténoncé du lemme, cette opération change ^ en ^ -f- i et elle laisse invariables les coefficients a; donc l'hypothèse Xp = y(^) entraîne

et, à cause de la formule (5),

} (mod. p).

201 COURS D^ÀLGEBRE SUPÉBIEUftE.

Le second membre de cette congnience est la différence v**"* de la fonction f[ X^ ) relative à la différence constante i attribuée à ^ ; il a donc pour valeur