I . 2 • . . V . Ay

ce qui démontre la propositiom énoncée.

Comme le produit i .2.3. . . (p — i) est congru à — i, suivant le module p, on déduit de ce qui précède le corollaire suivant, relatif au cas de y=p — i.

Corollaire. — Si Von attribue à X^ une valeur représentée par une fonction entière f{^) du degré p — ly

d'une racine ^ delà congruence Xj*'* — ^ ^ * (mod. p)^ dont les coefficients a satisfassent à la congruence

aP^ — a^^o[ mod. p ) , la fonction X^-h-i^;,'»^ prendra une valeur congrue au coefficient changé de signe de la puissance ^^~ * dans f{^)'

385. Revenons maintenant aux formules (i5). Supposons les fonctions

telles que i^ 's^ • • • > in^t soient respectivement racines des n — I premières congruences (i6), et cherchons dans quel cas la valeur de i„j définie par la dernière des formules (i5), est racine de la dernière des congruences (i6). Il est évident que cela revient à chercher dans quel cas la congruence

Xi---P„«i [mod.p)

enlraîne

Xp«-« £=:= I (mod. p].

Désignons par P„'lj le coefficient de «Jl} dans Pji.i, par P„*:.i le coefficient de ijl} dans PJl-n par P'^Lt '« coefficient de ijij dans P„'!i, et ainsi de suite; le coefficient PiTlV' de i^ dans P^I*^ sera un nombre entier.

SECTIOIf III. CHAPITRE IV. 203

Cela posé, le corollaire du lemme du n** 384 est applicable successivement dans les n — i hypothèses suivantes :

r-./l-3, p^pn-t^pn~,^,^ Ç - /„-2, /(?)=-- P^ip

Effectivement les conditions de ce corollaire, savoir : Ç^''"— Ç = i, ai^"*—a = o (mod.p),

sont remplies dans chacune de nos n — i hypothèses; donc la congruence

X, = P„, (mod.y?) entraînera successivement les suivantes :

et, par conséquent, pour avoir Xp«-«^i (mod. /:;), il faut et il suffit que

c'est-à-dire que P;,| contienne le terme if~* if~*. . .ijl} avec le coefficient ( — i)"-*.

2o8 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et nous ferons en outre

d'où

zP-^^^^-L- [mod.p].

On tire de ces formules