II II

(mod. /?),

d'où

y /f=- ; (mod. />),

*-X,-z' '«-X,et l'élimination de l'i donne

X,(X,-*-i),'Xf-+-Xr'-i)-X,«-f-5» , ^ ,

OU, en désignant par Zt, Z2 les valeurs de z qui annulent le numérateur,

Multiplions entre elles la précédente congruence el celles qu'on déduit de celle-ci par le changement de z en iZj izy ...,(/; — i)z] remplaçons ensuite zP'* par

- - — : il viendra

(x,-v»]M3tz,)A--«-:x,-hi)(zr'-^xr'-xr') ,

SEcnoR m. — cHAPiTitc IV. ao9

Faisons, pour abréger l'écriture,

p=x,(x, -hi)(xf-*-xr'-i).

xf-*-^ ^xrPH-...+ (.(i±lI(^-±iiii^xr''-*P^'+...

* a * 2.3. . .fx *

a on aura

s, z, E- P zf-* -^ zf-* =Xf^* H- PQ (mod. p ) ,

et notre congruence deviendra

(X, -+-i)»X,P''-«— (Xi-f-i)«XiQ — i = o (mod./?).

Le premier membre de cette congruence est une fonction entière irréductible du degré p^ et du premier genre.

388. Les formules (i5) du n** 383 peuvent être regardées comme définissant un premier groupe de fonctions entières irréductibles du premier genre et des degrés respectifs /;, />^, . . . , p". Nous allons montrer de quelle manière les fonctions irréductibles du degré p" des divers genres se rattachent à ce groupe fondamental.

Revenons donc à la formule (8) et considérons l'un quelconque des facteurs de son second membre. Posons

(20) Z^ = Xj-^-i [mod.p];

rindice fi a Tune quelconque des valeurs

nous le supposerons mis sous la forme

S. — Jiif* t»p*f n. 1^

aïo couKS d'algèbre supérieure.

oco, âff, . . . , «/,.! étant des entiers positifs ou nuls et inférieurs à p.

Désignons par ^o un entier arbitraire, el faisons généralement

(2.) ç...=«i*'+«f 'w.+";*''î.,, -H...-i-<i,/:-»+c*, (mod.H

a^y af y . . . étant des fonctions entières de i|, is, . . ., i* qui se réduisent à des entiers dans le cas de Ar=o; la quantité ^j^^i se réduira elle-même à Tunité dans le cas de aff=o. Quant aux racines i|, ij, . . ., i„, elles sont, je le répète, définies par les formules (i5).

Cela posé, je dis que les [p — i)/^^ racines de la congruence

(22) Z^==o [mod.p] sont données par la formule

(23) xsÇoSiSî. . .5« (mod. />),

dont le second membre est eflectivement susceptible de (p — i)p^ valeurs différentes. Deux de ces valeurs de x sont nécessairement distinctes, car leur différence est une fonction de degré inférieur à /> par rapport aux quantités I qui y figurent, et notamment par rapport à celle i« de ces quantités qui a le plus grand indice. Si donc la différence dont nous parlons était congrue à zéro, !«, serait racine d'une congruence de degré inférieur à ^, ce qui n'a pas lieu.

D'après cela, il nous suffit de prou ver que la valeur (aS) de X satisfait à la congruence (22), et nous y parvenons sans difficulté au moyen du Icmme du n** 384.

Faisons, pour abréger.

Aji- =r I . 2 . . . «„i X I . 2 . . . «« j X . • . X I . 2 . . . «y^. ;

si Ton applique le lemmc du n^ 38 i dans les n hypothèses suivantes :

m — n—i, v = a„i, p — o, ? ='n» /(?) ~?o5i .••S/i-iÇ/t>

'» = /'— 3, v=ra„3, p=a — f*„„ ? = '«-«, /(?) =A„»,Ço5i • • ?/i-î,

/7l = 0, v=r«o, pi=^ — po, Ç = 'l, /(?)=Ai5oÇm

on reconnaîtra que la formule (23) entraîne successivement les suivantes :

Xu-,ijj j ^ A„i çoïi • • 'Ç/i— 1>

(mod. />],

X,i ^ Aq Çq

et, puisque X^ se réduit ainsi à une constante, il est évident que la congruence (22) est satisfaite.

La formule (aS) définit, avec les formules (i5), les congruences irréductibles des divers genres de degré p". Celles-ci s'obtiennent effectivement en éliminant i|, «2, • • ., in de la formule (23). Par les motifs indiqués au n** 386, on peut, en vue de cette élimination, supposer nulle la partie constante du coelficieut de T avant-dernier terme des fonctions ^.

rî.

21 a COURS d'algèdre supérieurs*

ŒAPITRË V-

SUR LA TOTALITÉ DES NOMBRES PREMIERS COMPRIS ENTRE DES LIMITES DONNÉES.

Sur l'é\faluation approchée du produit i.2.3...Xy

quand x est un grand nombre,

389. La théorie que j^ai surtout en vue dans ce Chapître exige que Ton connaisse les premiers termes de la série par laquelle on exprime le logarithme du produit des X premiers nombres entiers. Cette série célèbre est celle de Stirling, et elle a fait l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres, parmi lesquels je dois spécialement mentionner Cauchy, Binet, M. Malmsten et M. Liouville. Mais, parmi les démonstrations diverses qu'on possède de cette formule, je ne crois pas qu'il y en ail de plus simple que celle que j'ai présentée à l'Académie des Sciences, dans la séance du a avril 1 860, cl que j'ai reproduite dans une Note qui fait partie de la sixième édition du Traité élémentaire de Calcul différentiel et intégral de Lacroix. J'ai montré dans cette Note que la formule connue de Wallis sufiil pour établir complètement celle de Stirling, et la déduction est si facile, que la deuxième formule peut en quelque sorte être regardée comme une transformée de la première. Je ne reproduirai pas ici tous les développements que j'ai donnés ailleurs sur ce sujet, et je me bornerai à établir les seuls résultats qui sont indispensables pour Tobjet spécial que j'ai en vue.

SECTiow irr. — ch4pitiie v. ai3

Rappelons d^abord que la formule de Wallis, qui sera notre point de départ, se déduit de la formule

cosz

par laquelle on obtient la fonction cos z décomposée en un produit d^une infinité de facteurs linéaires ( * ). Cette dernière formule peut s'écrire ainsi :

^sin(^-z) ^ ^^,

et en faisant z = -9 il vient

ÎT 2244 2X — 2 0.x — 2 IX , .

- — --53... pourx = co),

2 I 3 3 5 2X — 3 2.r — I IX — 1

ce qui est la formule de Wallis.

390. Cette formule prend la forme très-simple [jk^Y = ' (po«r.r = a.), ou, en extrayant la racine carrée,

(,) [y(-^)?^, (nourx = a:>),

^ ^ f[ix} ^' '*

si Ton désigne par cf (a:), soit Texpression

(*) Foir mon Traité de Trigonométrie, 5* cdilion, p. q41-

ai4 COURS d'algèbre supérieurb.

soit le produit de cette même expression par une exponentielle de la forme a^, a étant une constante quelconque. La formule (i) aura donc lieu si, désignant parc la base des logarithmes népériens, on pose

On tire de là la formule ( 2)

la caractéristique /og: exprimant ici des logarithmes népériens. Or on a, x étant ^ i ,

, / i\ I I I (-il"-»

d'où

donc on a

log —

j y(x-i-l) I2.r* 12.'.'* i\Ox*

■'n-i] (— il'»

Dans relie série les termes sont alternativement positifs cl né^^alifs; en oulre, la valeur absolue du rapport du terme de rang n au précédent est

8ECT10» m CHAPITRE V. ai5

ce rapport est égal à - pour n = 2, mais il est inférieur

à - pour toutes les valeurs de n supérieures à 2 ; donc,

lors même que x se réduirait à i, les valeurs absolues des termes de la série (5) décroissent à partir du deuxième terme. Il résulte évidemment de là que Ton a

?» (5L ^ -1ÎX..

Mais on peut assigner une limite de ^^"^ > plus petite

que la précédente, et, comme elle nous sera utile plus loin, il convient de l'indiquer ici.

Si Ton multiplie la formule ( 5 ) par x -H i , il vient

(*H-l)log ^^ ' —

dans cette série, le terme en — manque ; les autres termes sont alternativement positifs et négatifs, et le rapport du terme en — • au terme en a pour valeur absolue

ce rapport est égal à - pour n'=> i^^ mais il est inférieur à- pour 72^4' Donc les termes diminuent à partir du

2l6 COCKS D*ALGEBRE SUPÊHÎEURB*

deuxième^ lors même que x serait égal à i y et Ton a

(,-4.,)log.^lM<JL,

,og^?M^<

y(jr-hi) i2j:(x-t-i)