La formule (6) montre que Ton a

9o étant un nombre positif inférieur à — ; on aura aussi,

en changeant X en x -t- I , x 4- 2, ..., 2X — i, et en désignant par 0|, ds, ..., O^-i des nombres compris entre

zéro et — ?

Multiplions entre elles les égalités (8) et (9); comme la somme des x fractions

* (xH-i)* (.r-1-2)*

Or-,

est moindre que jXxouque — 9 on aura

6 étant un nombre compris entre zéro et — 9 et par suite

(11) V \=^ pourarr=oo .

Si maintenant on divise laformule(i) par la formule (11), il viendra

(12)- tf[x)=i (pourx = oo),

c'est-à-dire, à cause de la formule (2),

(13) I .2.3. . .x= ^/27rtf-*:i:'"*'»(H-f-c),

tx désignant une quantité positive qui s'annule pour X = 00 , et dont nous allons faire connaître une limite supérieure.

392. Posons, comme nous Pavons déjà fait dans la Section II de cet Ouvrage,

(14) r(jr4- l) = 1.2.3. . .x;

on peut obtenir facilement, par ce qui précède, une expression complète du produit F (x 4- 1), ou, ce qui revient au même, une expression du logarithme népérien log T{x 4- 1). On a d'abord, par la formule (2),

(i5) Iogr(.r-f-i)= -Iog27r — X-+- ix-^- -\ logx-f-logy(ar), et Ton a ensuite identiquement

logo X — log ^^ ' ■ -h log^-] . H. ..

mix-^m) . i

-^log -P ^ -l-logo jr-h/w-T-ij;

^ y(jrH-/?l-+- l) ^^^ '

mais si l'entier m croît indéfiniment, ç(a:-h/n-hi) tend vers l'unité, d'après la formule (12), et son loga-

ai 8 COURS d'algèbre supêribuas*

rithme tend vers zéro ; on a donc

(l6) l0gy(x)=:y log

if{x-hm)

f[x-\-ni-hi

ou, d'après la formule (4),

(•7) 'og?W=5i[("^'"'*"a)'**('"^i^)"']

et Ton aura en conséquence

l logr(jr-hi)= -Iog27r — jr-f- f xH — jlogjr

Cette formule (i8), qui a été reQcontrée par Gadcrmann, se déduit bien facilement, comme on le voit, de la simple formule de Wallis.

393. On peut tirer la formule de Stirling de la formule (ï8), mais je n'entreprendrai point ici celte transformation et je me bornerai à déterminer les limites de logr(x -H i) qui nous sont nécessaires.

Comme la quantité log 9 (jr) est positive, la formule (i5} nous donne d'abord

(19) Iogr;a- -f- i) >-log27r — XH- (x-+- - jlog*.

Ensuite nous aurons, par la formule (16), à cause de l'inégalité (7),

logo(x) < \ ; : r;

^ I2;.r H-/w^ ^.r-f- m -h ij' msO

SECTION TII. — CHAPITRE V. aip

or la fraction 7 r-, ; se décompose en

donc on peut écrire

«ogW*)<(î-:r^)

La série contenue dans le second membre de cette formule a pour somme -9 et Ton a en conséquence

puis

log9(^)

-x-h Ix-h

j log^ H-

Les formules ( 1 9) et (20) nous donnent les deux limites que nous voulions trouver. En revenant des logarithmes aux nombres, on obtient