I . 2 . 3 . . . ar ^ ^2 TT
i .2,.3. , .X <^^2ne ^*'x 2.
Extension des formules précédentes au cas oà x VLCSt
pas un nombre entier positif,
394. On désignehabitueliementparle symbole V(x-^i) une certaine fonction de x qui a une valeur déterminée pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de x, qui De devient infinie que pour les valeurs de x égales à un
220 COUnS D^ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
nombre entier négatif et qui seréduitau produit I.2.3...X quand x est un entier positif; elle coïncide, dans ce dernier cas, avec la fonction dont nous venons de nous occuper.
On arrive très-facilement à la notion des fonctions générales r quand on cherche à interpoler la fonction numérique I.2.3...X, c'est-à-dire quand on cherche à représenter le produit i . a . 3 . . .x par une fonction de x qui conserve une signification bien définie lorsque x cesse de représenter un nombre entier positif.
En eO'et, soient x eim deux nombres entiers positifs. Les X fractions
mm m
m-hi /w-f-2 m-hx
tendront vers Tunité si, x restant constant, on fait croître m indéfiniment; il en sera donc ds même du produit de ces x fractions, et Ton aura
(m-+-i)(m-+-2)...(m-hJF)
€„t désignant une quantité qui s'annule pour m = 00 • On peut écrire aussi
ou, en multipliant les deux membres par i .2.3. • • x,
Faisant tendre Tentier m vers l'infini, on aura
I) i.2.3...3: = lim , — i— ^ .__ ^» (pour/M=:0].
Le second membre de cette formule devient infini
quand x est un entier négatif, mais par toutes les autres valeur réelles ou imaginaires de j: il a une valeur finie et déterminée, comme on le démontre très-aisément. Si donc on pose
on aura, dans le cas de x entier positif,
r(x-hi)=i.2.3...x.
Cherchons la valeur de F (- 1 • Si l'on fait .r ==
dans la formule (2), il vient
r I - = (pour m =co \
et en posant, comme au n° 390,
on peut écrire
r - == v^^ ^ T- pour m=co .
Enfin, comme ^{fn) et (j>(2//i) se réduisent à l'unité, pour m = 00 , on a
395. D'après ce qui précède, on peut écrire C;;, étant une quantité qui s'annule pour m = oo . On tire
222 COUAS d'algèbre SUPÉaiEUEB»
de cette formule
xlog- — log — — ...
ou, en écrivant m+ 2 au lieu de m et faisant tendre m vers l'infini.
Celte formule (2) est équivalente à la formule (1) et elle exprime, comme celle-ci, la définition générale des fonctions F.
Il est facile maintenant d'établir la généralité de la formule (18) du n"" 392. En effet, cette formule (18) et la formule qui précède s'accordent adonner, par une double (lifi^érentiation,
les premiers membres de ces deux formules ayant ainsi la même dérivée du deuxième ordre, ils ne peuvent différer que par une fonction linéaire de x ; mais, comme ils sont égaux pour toutes les valeurs de x entières et positives, on en conclut qu'ils sont égaux, quel que soit j:.
306. Nous ne pouvons nous dispenser de rappeler ici que, si x est une quantité positive, la fonction T[x) ncsl autre chose que celle qui a reçu de Lcgendre la dénomination d'intégrale eulérienne de seconde espèce. Effectivement, en écrivant x — i au lieu de x, la formule (i) du numéro précédent devient
r{jî = ■ ^ : ; ; r pOUr m = 00 ).
SECTION III. — CHAPITEE Y. 223
Intégrons par parties la différentielle a^~*(i — a)^doi, il viendra
dcc;
et comme x est positive, si Ton prend les intégrales entre les limites zéro et i , on aura
On conclut de là, quel que soit l'entier /i,
pour /i = m, Tintégrale du second membre se réduit à
J[ jr^-^'"-*rfa=: : donc on a
Jo *(ar-|-i)...(x.
et, en écrivant — > — au lieu de a et rfa,
mm '
Jo * \ ^/ * x(x-M)...("
^ Jo \ ^/ J^[J:-hi). . .[x -\- m — i)
On a, d'après cela
^(')==(''^S)X '^'"'('""m)"^* (pour;7a=(»)5 on peut écrire aussi
-t- / «"^"Mi—-! ^a (pour /?»=»).
224 COURS D*ALGÈBKE SUPER lECRB.
La quantité ( i ] a pour logarithme
el, a étant regardée comme constante, elle atteint son maiEimum pour m = co ; ce maximum est er*. On a donc
et Ton pourra poser
0 étant une quantité comprise entre zéro et i. L'expression de r(x) devient alors
(l — ô) / a'-* e-«£/a (pourill=00 •;
regardant maintenant M comme une constante, faisons
tendre m vers rinfîni, on aura à la limite ( i ) =: r-«,
et par suite
o Jyi
mais il est évident que la quantité d est ici rigoureusement nulle, car la formule précédente a lieu, quel que soitM, et la dernière partie disparaît pour M = oo . On a donc
pour toutes les valeurs positives de x.
SECTION III. CRAPTTItC V- a^S
Détermination de deux limites entre lesquelles reste comprise la somme des logarithmes népériens de tous les entiers qui ne surpassent pas un nombre donné.
397. Soit a an nombre entier positif; faisons x = a -h i dans la formule (19) du n^ 393 et retranchons ensuite log(a + i) de chaque membre; faisons en même temps x=a dans la formule (20) du même numéro, on aura
logi.2.3...û>-log^27r-4-(a-f-i)log(a-f-i)— (a-hi) log(a4-i),
log i.2.3...û<;iog^27r-+-aloga — a -4- - loga H •
Cela posé, désignons par x une quantité positive quelconque au moins égale à i, et soit a le plus grand entier contenu dans x. On a, par hypothèse,
a^x<aH-i et flr^i,
et Ton en déduit
(^H-i)(log«-i)+-I-=(x + l)(logx-i)-i--l,
ou
(ûH-i)Iog(a-l-i) — (a-f-l) log(fl -{-i)
>xlogJr — X logX,
a loea — o H loga -f- -» —
^x\oex — xH — logx H
Des inégalités (i) et (2) on conclut, en appelant T [x) le
S. — jé^. sup,, II. i5
936 COL'KS D*ALGÈ«ftC SUrtmiECMB.
logarithme du produit de tons les nombres entiers qui ne surpassent pas Xj
I T r >log^7^-hxlogx — *— -ÏOK*.
/t r <logV2n^— rîogx — x^ -|ngx-#- -i-
Ces inégalités ''3) sont celles que nous voulions obtenir.
Sur la totalité des nombres premiers compris entre deux
limites données.
398. Le problème qui consiste à déterminer combien il y a de nombres premiers compris entre deux nombres donnés n*a pas encore été résolu et semble présenter les plus grandes difficultés. M. Tchébichef est le premier qui se soit occupé avec succès de celte question; dans on Mémoire présenté en i85o à l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, cet habile géomètre a donné le moyen d'assigner deux limites entre lesquelles est nécessairement compris le nombre qui exprime combien il y a de nombres premiers entre deux nombres donnés. M. Tchébichef a déduit de son analyse la démonstration d'un postulatum sur lequel M. Bertrand avait fondé la démonstration d'un théorème important dont il sera question dans la Section suivante. Ce postulatum consiste en ce que :
Il y a toujours au moins un nombre premier compris entre a et 2 a — 2 si a est supérieur à -•
Bien que je sois parvenu à démontrer le théorème dont il s*agit sans recourir à aucun postulatum, ainsi qu'on le verra dans la Section IV, je ne crois pas inutile de pré-
SECTIOn III. CHAPITRE V. 397
senter îciTanalyse ingénieuse de M. Tchébichef, analyse qui repose sur des considérations entièrement neuves.
Nous désignerons par T{z), comme au numéro précédenty la somme des logarithmes népériens de tous les nombres entiers qui ne surpassent pas z ; nous désignerons en outre par 9(2) la somme des logarithmes népériens de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas z. Les fonctions T(z) eiO[z) se réduisent à zéro lorsque z est inférieur à a. Quand z sera une quantité composée.
comme
( -1 par exemple, nous écrirons, pour abréger,
e(j)\ulieudeô[(f)'].
Propriété fondamentale de la fonction 9[z).
399. La propriété fondamentale sur laquelle reposent les recherches de M. Tchébichef consiste dans Tégalité suivante :
T(x)=: ô(x)4- ô(ar)^ -f. B[x)^-^ $[xf ^...
-(f)-(î)'-(ir-(î)*-
où les séries doivent élre prolongées jusqu^aux termes qui deviennent zéro.
Pour démontrer cette égalité, remarquons que chaque membre est égal à une somme de termes tels que h loga,
aa8 COURS d'algèbre supêriburb.
k désignant un entier et 0e un nombre premier. Supposons que, dans la suite des nombres 1,3,3,49 •-•» <iui ne sur^ passent pas x, il y en ait A| qui soient divisibles par a ; nommons aussi Aa le nombre de ceux qui sont divisibles para^, et généralement A/ le nombre de ceux qui sont divisibles par a'; il est clair que le coefiicient de loga dans T{x) sera A|-hA2-+-Aj-|-. . . . Considérons maintenant les termes qui composent une ligne verticale du second membre de notre égalité, par exemple,
on trouvera, dans cette suite, autant de termes contenant loga avec le coefficient i qu^il y a de quantités qui ne sont pas inférieures à a dans la suite
Or le nombre de ces quantités est évidemment le même que le nombre des quantités
qui ne surpassent pas x ; ce nombre est précisément celui que nous avons désigné par A/. Donc le coefBcient de loga dans le deuxième membre de notre égalité est A|+A2 + As+« • •> ce qui démontre l'exactitude de cette égalité.
Nous ferons, pour abréger,
et alors Tégalité que nous venons d'établir pourra s'écrire ainsi :
SECTION m. — CHAPITRE V. ^QQ
Démonstration de deux inégalités auxquelles satisfait
la Jonction ^{z)*
400. Les deux inégalités que nous proposons d^établir sont les suivantes :
♦W>TW+l(i)-T(î)-l(f)-T(i).
,W-,(î)<TW.T(il)-T(î)-T(|)-T(|).
L'équation ( 2 ) du n^ 399 donne
-*(î)-*fe)-*te)-*te)-
-H-n-*(^)-*(ô)-Hr3)-
r*(i)-*(5^5)-*(o)-*fe)-
Le second membre de cette équation est de la forme
A|, A,2f As, ... étant des coefficients entiers. Or je dis qu'on a en général :
Ajs trr I, si /i n'est divisible par aucun des facteurs 2, 3, 5;
A^ :— o, si n est divisible par un seul des facteurs 2,3,5; l An~- — '» si /i estdivisiblepardeuxaumoinsdes facteurs 2, 3,5; . A« -^ — I , si /i est divisible par chacun des facteurs 2, 3, 5.
d3o COURS D ALGEBRE SUPÉRIEURS.
En effet, dans le premier cas, où n n'est divisible par
aucun des nombres 2, 3, 5, on ne trouve le terme <{» (- |
que dans la première ligne horizontale du second membre de Téquation (i). Dans le deuxième cas, où n est divisible par un seul des nombres 2, 3, 5, on trouvera le
terme ^ ( - ) stvec le signe — dans une quelconque des trois
dernières lignes horizontales du second membre de Téquation (1), et comme ce terme existe dans la première ligne avec le signe -f-, on trouvera zéro, après la réduction, pour coefficient de (f/l-j. Dans le troisième cas, où /lest divisible par deux des nombres a, 3, 5, le terme m-] se trouve avec le signe -f- dans la première ligne
horizontale du second membre de Téquation (i), et avec le signe — dans deux des trois dernières lignes ; donc il
ne restera après la réduction que — ^ ( "*)' Enfin, dans le quatrième cas, où n est divisible par chacun des nombres a, 3, 5, le terme <];( - j se trouve avec le signe -♦-
dans les deux premières lignes du second membre de Téquation (1), et avec le signe — dans les trois dernières
lignes ; il restera donc encore — ^ ( ~ ) après la réduction. Donc, pour
II, 12, i3, i4» i5, 16, 17, 18, 19, 20,
on a
SECTION III. CHAPITRE Y. q3i
et, par conséquent, Féquation (i) se réduit à
^w+Kf«)-K;)-^(f)-^(5) =*(';-*(i)+*(5)-+(^)+<n)-*(S)--
OÙ tous les termes du second membre ont pour coefficient -4-1 et — I alternativement. Or la fonction i|; (z) ne peut croître quand z décroît; donc la série
qui forme le second membre de Téquation précédente, est comprise entre
on a donc
+ (^) et ^{.T]^^f^^y,
+ (.)>IW-HT(i)-T(î)-T(|)-T(î)
' '*(';-+(i)itW-.r(£)-T(f)-T(î)-T(î).,
ce qu'il fallait démontrer.
Détermination de deux limites entre lesquelles sont comprises les fonctions ^{z) et Q[z).
401. On a vu, au n° 397, que la fonction T (x) satisfait aux deux inégalités
1 T(jr;<][log^/x7r -î- .rlogJ^ — x -\ log.r H -•
/ T(-rj>'log^2 7r-h Jrlogx — a: logar.
a32 COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEUHS.
On déduil de là
-f- ;;- a: logx — X log3o' * — — jr -f- logjr logBo,
-\- ^arlog.r — xlogSo** — — x— logx-+- - logSo,
el
Si - - - 3i 3 1
-î- 5-xlogjr — xloga* 3*5* — T- *-* — 1<^* logBo,
oo " 00 a 2
-+- ^- JrlogX — J?l0ff2' 3' 5* — .;— X loffJ? H lOffSo.
Retranchant la quatrième de ces inégalités de la première, et la troisième de la deuxième, il vient
To3 /rV
T(.H-T(il)-T(f)-T(î)-T(f)
^ > ^ log —, - - - l(,g.r + - log -— - -- .
3o^* 2 ÏT I-l
sscTioir III. — châpithe v.
Noos ferons, pour abréger,
A = Iog — =0,92129202...;
alors les inégalités précédentes deviendront
<^ Ax H — logx log 1800 n -i — —'
