TT
et Ton voit que Ton a, à plus forte raison,
-w*-fâ--(D-®-<i;
>Ax logj:— I .
Les formules (i) n^ont lieu que dans Thypothèse de j:]>i; d*ailleurs, pour former les inégalités (2), on a
remplacé x par -» 0» r' t"? donc les formules (2) ne
2 o cj 00
sont établies que dans Thypothèse de a:^3o. Mais il
est facile de vérifier que les formules (3) ont lieu pour
toutes les valeurs de x comprises entre i et 3o, et, par
suite, qu'elles ne présentent aucune exception.
Des inégalités (3), combinées avec les inégalités (2) du
&<* 400, on déduit
-^[x] > Ajt logx — I,
+ (*) — * ( g ) < Ax 4- - logx.
a34 COURS d'algèbre supémiEURB.
La première de ces formules donne immédiatement une limite inférieure de ^{jc) ; la seconde peut servir, comme on va le voir, à obtenir une limite supérieure. Pour cela, posons
/(x) = I Ax - --f^-^ kg»* + I logx.
on aura
et, par suite, .
on a donc
ou bien
en changeant successivement j: en tt > rr^ » ttj ♦ • • • ? ,.^^,1 11 vient
Supposons maintenant que m soit le plus grand entier qui
vérifie la condition 6"*'^x; g^ tombera entre > <?l g'
cl, par suite, 4'(g^) ^^^^ ^^^^'^ i^ ^^^ ^" outre que — y / .^irî ) sera moindre que 1 . En effet, la valeur de
SECTIOH III. CHàPITHS V. *35
— f{t) peut s'écrire ainsi :
-, . 5log6 5 /, ', c\' 6 .
-/(.) = -^g p-^ ^log. + - loge) - 5 A*,
d'où Ton conclut
et, à plus forte raison,
puisque, 6 étant moindre que c^, log6 est inférieur à 3. D'après cela, la formule (5) donne
,Kx)-/(x)<i,
elj par suite,
(6) +(^) < 5 A^ + pp l«g'^ -^ 4 ^^g^ -^ '•
Les deux limites que nous venons de trouver pour la fonction if>(x) vont nous permettre de trouver également deux limites de la fonction B[x),
Pour cela remarquons que la formule
donne
',[x\ — 4»(v^) =ô(ar)-h0(jr)'-f-0(x)*+(^(-r)'+..., ;(x)-2^p(^ij = 0(x)-[ô(:r)^--0{xr]-.[0(^)^-ô(x)^] •
Or la fonction 6(z) est positive ou nulle, et d'ailleurs elle ne peut croître quand z décroît ; donc on a
a36 COURS D^ALGÈBRB SUPéRIEDRB.
IVfais on vient de trouver
4»(^) > Ax — - log.r — I,
et Ton en tire
donc on a, par li^s inégalités (7),
9{x)<|Ax-Ax'H-^Iog«x+|iog*+a,
(10) j i 5 i5 (e.(x)>Ax-^Ax«-yjj^log»x-l-»og'-3-
Ainsi la somme des logarithmes de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas x est comprise entre les limites
p Aj? — Aj: -t 7-5 — TT log'x -h - logx -4- a, Ax- ^ Ax^- yA log«x- ^log*-3.
Détermination de deux limites du nombre qui indique combien il y a de nombres premiers compris entre deux nombres donnés.
402. Soit m le nombre qui indique combien il y a de nombres premiers plus grands qu^un nombre donné / et qui ne surpassent pas un autre nombre donné L. La somme des logarithmes népériens de ces m nombres pre-
SECTION III. CHAPITRE V. aS^
miers sera évidemment comprise entre m log/ et m logL ; on aura donc
e(L)-0(/)>/wiog/, e(L)-e(/)</wiogL,
cty par conséquent,
log/ logL
mais, diaprés les inégalités (lo) du n® 401, on a
■*■ Fï^ (îIog'L-MogV) -t- ^ (alogL + 31og/) -f-5,
~ «1^ ''°^*^ ^ ' '"^''^ - I (3 iogL + a log/) - 5: donc
'< ûifl •
K*""?')" *(T''*-'^)~8i46^'°e'I'+»'°eV)- |(3logL-*-,loe/)-5 >- TS^L •
Ces formules donnent ainsi deux limites entre lesquelles tombe la quantité m qui désigne combien il y a de nombres premiers plus grands que / et qui ne surpassent pas L. La deuxième de ces formules montre qu'on trouvera plus de k nombres premiers entre les limites / et L, si la condition suivante est satisfaite, savoir :
a(l- I /) - a(^ L' - /*)- ^ (loca-i- » logV) - î(3 loeL-*- ï loj/) - 5
a38 COURS d'algèbre SUPéBIEURB.
et, comme / est ]> o et <; L, on vérifie celte inégalité en faisant
A(L-|/)-yAL^-g^log«L--^logL - 5^
logL d'où Ton tire
Ainsi, en prenant pour /cette valeur, on est sûr de trouver plus de h nombres premiers entre / et L. Il est bien entendu que / et L sont supposés plus grands que i .
En faisant Ar = o, on conclut de ce qui précède qu'il y a au moins un nombre premier entre / et L, si Ton prend
(3) /--gL-2L --g^-j^- ^^„___.
Application des résultats qui précèdent.
403. Des résultats que nous venons d'obtenir il est aisé de déduire la démonstration de la proposition dont nous avons parlé au n^ 398. Eflectivement, nous venons de voir qu^il y a au moins un nombre premier entre les limites
5, wT 251off*L 125 loi» L 25
b loAlo^o 24 A bA
donc il sera établi qu'il y a au moins un nombre premier entre les limites a et 2a — 2, si Ton prouve qu'on peut, par une valeur convenable de L, satisfaire aux deux inégalités
^^5 \ ?51og«L i25IogL 25
a<gL-2L ~ i6AlogG~~Ï4Â~" 6i
SECTION III. CHAPITRE V. ^ig
Or on vérifie évidemment la première de ces inégalités
en prenant
L= 2fl — 3.
Quant à la seconde, elle devient, pour L = 2a — 3,
i6Alog6
i7.51og(9.<z — 3) 25 24Â GÂ'
ce qui est exact pour toutes les valeurs de a qui surpassent la plus grande racine de Téquation
5 251og«(2x-- 3)
125 log(2X— 3) 25 ^ •
or on trouve que cette plus grande racine est comprise entre iSp et 160; donc, si a est> 160, il y a nécessairement un nombre premier compris entre a et 2a — 2. A l'égard des valeurs de a inférieures à 160, la proposition peut se vérifier immédiatement au moyen des Tables de nombres premiers.
SECTION IV
LES SIBSTITUTIONS.
S. — Mfi. sap'f n.
SECTION IV. CHAPITRE X. %i'i y
SECTION IV
LBS SUBSTITUTIONS.
