Les permutations de n lettres

a, b, c, fi, . . ., A\ l

sont les résultats que Ton obtient en écrivant ces lettres à la suite les unes des autres de toutes les manières possibles, et Ton démontre dans les éléments d'Algèbre que le nombre total N de ces permutations est

Représentons par de simples lettres

Aq, Aj, Aj, • • • » A^\i

les N permutations dont il s'agit. L'opération par laquelle on passe d'une permutation à une autre est dite une substitution (n°233). Nous représenterons une substitution en écrivant entre parenthèses la permutation de laquelle on part, et, au-dessus de celle-ci, la permutation

244 COURS D*ALGÈimE SUPÉRIEURE.

nouvelle qui doit la remplacer. Ainsi le sjmbole

désignera la substitution qui a pour eflet de remplacer les lettres de la permutation Aq par celles qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la permutation A| ; les permutations Aq et A| seront dites les termes de la substitution y Aq sera le dénominateur et A| le numérateur. Il est évident que Ton peut choisir pour dénominateur d'une substitution donnée Tune quelconque des N permutations.

D'après cela, si Ton adopte Ao pour dénominateur, on obtiendra toutes les substitutions en prenant successivement pour numérateurs les N permutations; ces substitutions seront donc

Ao/ \Ao/ \Ao; \Ao J

Le symbole ( \ ° ) représente ce qu'on appelle une sub-

sfitittion identif/ue, il indique la conservation de Tordre des lettres; il y a avantage à le comprendre parmi les substitutions, et le nombre de celles-ci sera dès lors égal à N.

Nous représenterons souvent par de simples lellresS, T, ... les diverses substitutions que nous aurons à considérer.

Lorsqu'une lettre occupe la même place dans le numérateur et dans le dénominateur d'une substitution, on peut la supprimer sans inconvénient. Ainsi la substitution

ffhcd . . . \

SECTION IV CHAPITBE l. ^4^

peut s'écrire plus simplement

\aa. . .

On dit qu'une substitution est réduite à sa plus simple expression quand on a supprimé dans ses deux termes toutes les lettres qui y occupaient les mêmes places.

Des produits de substitutions,

405. On nomme produit d'une permutation donnée par une substitution la permutation nouvelle que Ton obtient en appliquant la substitution à la permutation donnée. Ce produit se représente en écrivant la substitution à gauche de la permutation donnée. Considérons, par exemple, la substitution

si on rapplique à la permutation Aq, on produira la permutation A|, et nous écrirons en conséquence