SA

(aJ^--^'-

On nomme produit de deux substitutions données le substitution nouvelle qui produit le même effet que les substitutions données appliquées Tune après l'autre à une permutation quelconque. Ce produit se représente en écrivant la substitution qui doit être eflTecluée la première à droite de Taulre substitution. Ainsi le produit de la

substitution S= ( ^ *) par la substitution T =: ( .* )

\Ao/ \Ao/

s'écrira

TS ou

(aJ U)'

^46 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEtllE.

pareillement le produit de la substitution T par la sub-

stitution S s'écrira

ST ou

Si les deux produits ST et TS sont égaux, les substitutions S et T sont dites échangeables entre elles. Il est évident que deux substitutions qui, réduites à leur plus simple expression, n*ont aucune lettre commune, sont échangeables entre elles.

Le produit d'un nombre quelconque de substitutions S, T, U, V, ... est le résultat que l'on obtient en multipliant la première substitution par la deuxième, puis le produit obtenu parla troisième substitution, et ainsi de suite; il sera représenté par . . . VUTS.

Si les substitutions qu'il s'agit de multiplier entre elles sont toutes égales à S, et que leur nombre soit égal à V, le produit est dit la puissance v**"* de S; celle-ci se représente par S*.

Lorsqu'une substitution identique, telle que ( *)i

figure dans un produit, elle peut être supprimée, et en conséquence il est naturel de la regarder comme égale à Tunilé; ainsi nous écrirons

Ao Ao

En outre, si l'on convient de regarder comme égal à Tunité le symbole S*, quand v se réduit à zéro, quelle que soit la subslilulion S, il en résultera que la puissance zéro d\ine substitution quelconque désignera une biibblitution idei)tl(|ue.

Ordre d'une substitution.

406. Soit S une substitution quelconque, la série des puissances de S, en partant de S^ ou i , sera

et, comme le nombre total des substitutions est limité, si Ton prolonge suflisamment la précédente suite, on verra nécessairement se reproduire des substitutions déjà obtenues. Supposons que Ton ait

comme le premier membre de cette égalité est égal à S'. S**, on peut écrire

d'où il suit que la substitution S% appliquée à une permutation quelconque, ne produira aucun déplacement des lettres; en d'autres termes, cette substitution est

identique et Ton a

On conclut de cette égalité, quel que soit l'entier y,

(S*)'^ ou S*^— I,

et, en multipliant par la puissance /**"*• de S,

Il résulte de là que la série des puissances de S est périodique, et que la période se compose des substitutions

I f II), *^ f • . • f |9 .

Si Ton suppose que v soit le plus petit nombre tel que

243 couas d'algèbre supêriediie.

S'= I, les termes de la suite précédente seront effectivement distincts; car Tégalité S^*'"^*' = S""' entraînerait S '= I, ce qui n*a pas lieu, puisque 1/ est inférieur à v. On nomme ordre d'une substitution S le plus petit des exposants v tels que Ton ait S* =.1, En d'autres termes, Tordre d'une substitution est le nombre de fois qu'il faut appliquer successivement la substitution à une permutation pour reproduire cette permutation. On voit que les seules puissances de S qui se réduisent à l'unité sont

Sv Cfv C3v

Nous conviendrons d'étendre l'égalité S^^''^^S'' aux valeurs négatives de /•; changeons donc r en — r, on aura

et cette formule définit ce que nous appelons puissances négatives d'une substitution S, le nombre q étant choisi de manière que vq — r soit positif. Si, en particulier, on pose r = I , on pourra prendre y = i , et l'on aura

Les substitutions S et S"* ont pour produit l'unitr; elles sont dites inverses l'une de l'autre. Si Ton a

on aura évidemment

Si une substitution S est d'ordre v, la puissance /i*"" de S sera de l'ordre -1 fl désignant le plus grand commun diviseur des nombres juiet v. En effet, pour que Ton ail

SECTION IV. CUAPITRR I. 2^Ç)

(S^y= I ou S^=- 1, il faut que fxx soit divisible par v, ou j: par -^ d'ailleurs, cette égalité a lieu en prenant

X = -• Donc le quotient - représente Tordre de S^.

On voit en particulier que si ju est premier à v, S** sera de Tordre v. Dans ce cas, si Ton pose

Si*=T,

la substitution S fera partie de la suite des puissances de T. En effet, si Ton élève à la puissance x l'égalité précédente, on aura

S^r -^ jx ou ^^ ^y - x;r^

^'désignant un entier quelconque. Mais v et (x étant premiers entre eux, on peut faire en sorte que les entiers a: et y satisfassent à l'équation ^^.x — vy = i, et l'on aura alors

Des substitutions circulaires.