Soit
Aq :^= abc . . ./■/
Tune des permutations des n lettres a, b, c, , , . /', /; si l'on eflace la lettre a qui occupe la première place, et qu'on l'écrive à droite de la dernière lettre /, on formera la nouvelle permutation
Aj == ^c. . ./7^?,
et la substitution par laquelle on passe de la permutation Ao à la permutation A| sera
(Ai'v f bc. . . Kla AqJ ~ \ahc, . .//
3ÛO COURS DAIGLBRE SUPF.niKUHe.
Pour effectuer cette substitution, il sufTit évidemment de diviser la circonrérence d'un cercle eo n parités égales, décrire au\ points de division successifs les lettres de U permutalioD Ag et de remplacer chaque lettre par celle qui vient prendre sa place quand on fait tourner le cercle autour de son centre, dans un sens convenable, d'un angle égal à la n'*"»' partie de quatre angles droit». C'est pour cette raison que la substitution dont nous nous occupons est dite circulaire.
Il est évident que l'ordre d'une substitution circulaire est ("gai au nombre n des lettres qu'elle dê/ilace. En elTet, cbaque fois que le cercle dont il vient d'être question tourne d'une quantité angulaire égale à la n"** partie lie quatre angles droits, ta substitution s'elTectue une lois. Or, pour ramener les choses à ce qu'elles étaient à l'origine, il faut que le cercle tourne, toujours dans le même sens, de n fois la n'""' partie de quatre anglei droits,et à ce moment la substitution a été eflecluéen Tois; donc l'ordre de la substitution est égal à n.
On représente habiluellemenl une substitution circulaire en écrivant entre parenthèses l'une quelconque des permutations dont les lettres rangées en cercle sont lellftment disposées que chacune d'elles remplace U précédente par l'eflel de la substitution. Ainsi l'on a
ila\
IJéconiffatition d' une substitution fjuelcontfua an cyclf-s.
40S. Théorème 1. — Toute substitution, si ette a'eri pas circulnire, est te produit de plusieurs substitutions circulaires effectuées sur des lettres différentes.
En effet, soit S une substitution quelconque; cxécu-
SECTION IV. CHAPITRE I. sSl
tons cette substitution. Soit a Tune des lettres qu'elle déplace et qu'elle remplace par une a^utre lettre b ; b ellemême se trouvera remplacée par une troisième lettre c, et, en continuant de cette manière, on tombera nécessairement sur une lettre/* qui se trouvera remplacée par a. Or il est évident que les lettres que l'on a ainsi rencontrées ont subi la substitution circulaire (a, bj c, . . . y/). En prenant une des lettres restantes, et opérant de la même manière, on formera un nouveau groupe de lettres qui auront subi une substitution circulaire, et l'on pourra continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les lettres que déplace la substitution S.
Si l'on désigne par Co> C|, C29 • . • les diverses substitutions circulaires que nous venons d'obtenir, on aura
d — ViQ Vi| Vi| ■ • • f
formule qui exprime la valeur de S décomposée en feu:leurs circulaires. Ces facteurs sont dits les cycles de la substitution S. Les cycles qui ne contiennent que deux lettres prennent le nom de transpositions (n° 235). Considérons, par exemple, la substitution
g fhkdfbjageci\ \a bcdefgh i jk)'^
en opérant comme nous Tavons indiqué, on trouvera
Lorsqu'une substitution S ne déplace pas quelques-unes des lettres du système que l'on considère, ces lettres ne figurent pas dans la valeur de S réduite à sa plus simple expression, ni dans les facteurs circulaires dont S est le produit. Si cependant on veut mettre ces lettres en évidence, on le pourra eu introduisant dans S des cycles formés chacun avec une seule des lettres dont il s'agit.
232 COURS d'alGÈBRR SCP^RlRUaR.
Cl qui représentent évidemment des substitutions identiques; ainsi y dans le cas d'un système de six lettre* n, by r, r/, /?,y, la substitution
tl c h a e/^^ ah C€l ej
pourra s'écrire
409. Théorème II. — JJ ordre d* une substitution quelconque est égal au plus petit multiple commun des nombres qui expriment les ordres des cycles de la substitution.
Soit
la substitution S décomposée en cycles. Si v désigne Tordre de S, on aura
S* — î ou
car il est évidemment permis d'intervertir Tordre des facteurs circulaires de S**. Pour que la précédente égalité subsiste, il faut et il suffit que Ton ait
or, si «0 désigne Tordre du cycle Co, les seules puissances de Co qui se réduiront à i ont pour exposants «0» îi^o» 3«o» ••• • donc V est un multiple de sr^. On voit de même que Tégalité S* = i exige que v soit divisible par les ordres «i, ûto» ••• des cycles C|, Ca, Cj, ..., et comme cette condition est d'ailleurs suffisante, Tordre de S est précisément égal au plus petit multiple commun des nombres «o» ^n ^2
SECTIOn IV. CHAPITRE I. a53
410. Une substitution est dite régulière, lorsqu'elle est circulaire ou composée de facteurs circulaires d'un même ordre. Toute substitution qui n'est pas dans ce cas est dite irrégulière.
Théorème III. — La puissance fi'^'^^ d'une substitution circulaire S d'ordre v est elle-même circulaire si [x est premier à v. 3 fais, si les nombres [letv ont un plus grand commun div^iseur 0 supérieur à i , S** sera une substitution régulière composée de 6 cj des d'ordre -•
En effet, disposons, comme nous l'avons déjà fait plus haut, les v lettres de la substitution circulaire S aux points de division d'une circonférence partagée en v parlies égales. La substitution S^ aura pour effet de remplacer chaque lettre par celle qui en est éloignée d'une quantité égale à fx fois la v**™* partie de la circonférence. Si donc, partant de l'un quelconque des points de division et marchant dans le même sens jusqu'à ce qu'on soit revenu au point de départ, on considère les points de division de [à en p, les lettres placées à ces différents points devront subir par l'effet de S** une substitution circulaire. Or le nombre x de ces lettres doit être tel, que le
produit de |ui — ^ para* soit le plus petit multiple possible
de 27r, ou, en d'autres termes, tel que [xx soit le plus petit des nombres divisibles par v; si donc 6 désigne le plus
grand commun diviseur des nombrespet v, on aurax::^ - •
11 résulte évidemment de là que la substitution S"* est le produit de 6 substitutions circulaires renfermant chacune
- lettres. Si fx et v sont premiers entre eux, on a 0 =z i
et la substitution S** est circulaire.
ft54 cons d'algcbee srpéinErmE.
ExcKPU. — Considérons la siibstîtuli<Hi cncolaire éa
sixième ordre
S= tf. 6, e, d,e,f^
les puissances de cette substitution seront
41 1 . Théoeèmb IV. — Réciproquement, touie jv&strtution régulière est une puissance d'une subsiUuiiam euculaire.
En eflct, soit la substitution régulière
composée de B cycles d*ordre - ; il est éWdent que, si Too fait
C— «l'jflj. • . ., <ii, ^1, ^t, • . ., ^:. ' tgx^gt .^i),
on aura
Décomposition d'une substitution donnée en facteurs
primitifs,
il 2. Les propriétés qu'il nous reste à établir dans ce Chapitre sont dues pour la plupart à Cauchy, qui les a fait connaître dans le tome 111 de ses Exercices d'Analyse et de Pin si(/i4e mathématique.
Soit S Tune quelcon(|ue des substitutions que lou
SECTCOM IV. CHAPITRE I. a55
peut former avec n lettres. Décomposons l'ordre v de S en facteurs premiers, de manière que Ton ait
a, ô.ff ... représentant des puissances de nombres premiers inégaux. Désignons par )/ le quotient de v par a, c'esl-à-dire le produit 6y . . . , et par |tx un entier quelconque positif ou négatif. Les nombres a et v' étant premiers entre eux, on pourra trouver deux entiers positifs ou négatifs x et jx' tels, que Ton ait
a =z vx -h Ku' ou - = \- -r\
pareillement, si Ton désigne par i/'le quotient de v' par o, on pourra trouver deux entiers j^ et [i!' tels, que
'..vV + ep- ou ^ = r+^.
on aura par suite
et il est évident que, si le nombre v" est égal à i, on pourra faire (a^'=o. En continuant ainsi, on mettra la
fraction *- sous la forme y
a jr Y Z
X, j> , S, . . . étant des entiers. Uégalité précédente a lieu, quel que soit |i; et en faisant |u( = i, on aura
D'après cela, la substitution donnée S pourra s'écrire
cl si Ton fait, pour abréger,
s*zi^p, s'i^j, ST=n, ...,
La substitution S étant d'ordre v, on voit que P est de l'ordre a, Q de Tordre o, R de Tordre y, et ain^i de suite, D'ailleurs x, r, z, , . . sont premiers respectivement à cf, c, y y ... ; donc P', Q^, R*, . . . sont respectivement des ordres «, 6, y, . . . .
La formule précédente donne ainsi la valeur de S décomposée en facteurs qui ont respectivement pour ordres les puissances de nombres premiers dont Tordre de S est le produit, et il est évident qu'on peut écrire ces facteurs dans un ordre quelconque, puisqu'ils sont tous des puissances de la substitution S.
Une substitution est dite primitiife, lorsqu'elle a pour ordre un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. Si une substitution primitive est de Tordre oL-^^p^^p étant un nombre premier, Tordre de l'un quelconque de ses cycles qui est un diviseur de // ne pcul cire que Tun des nombres i, /?, /;', . . ., />^~*. On voil par ce qui précède que toute substitution est décomposable en un produit de substitutions primitives écban- {^eables entre elles.
Exemple. — Considérons la substitution circulaire de
six lettres
l'ordre de S est ici égal à 2X3. On a
eu sorte que S' et S* sont les substitutions primitives
SECTION IV, CHAPITRE t. iSj
dont S est le produit. On a
Des substitutions semblables,
413. Deux substitutions sont dites semblables entre elles quand elles offrent le même nombre de facteurs circulaires et le même nombre de lettres dans les cycles correspondants.
Il résulte de là que deux substitutions circulaires de même ordre sont semblables; pareillement, deux substitutions régulières de même ordre sont semblables lorsqu'elles offrent le même nombre de facteurs circulaires.
Théouèmb. — Si S et S' désignent deux substitutions semblables, il existe une substitution P telle, que
S'P — PS ou S'— PSP-*;
et réciproquement, s'il existe une substitution P telle, que la précédente égalité ait lieu, les substitutions S et S' sont semblables.
Soit
A et B désignant deux des permutations des n lettres a, bj c, . , . y k, l. Supposons que a\ b\ c', . . . , fi\ /'représentent ces mêmes lettres écrites dans un autre ordre quelconque, et soient A' et B' ce que deviennent A et B quand ony accentue les lettres. 11 est clair que toute substitution S' semblable à S pourra être représentée par
Si, en outre, on désigne par P la substitution dont S. — j^lg' sup,, H. 17
258 COURS d'algèbre supérieurs.
Teffet est V accentuation des lettres, on aura éxîdemmenl
11 résulte dp là que
la substitution y , \ doit être eifectuée la première; elle
remplace les lettres de A^ par celles de A, puis la deuxième substitution remplace A par B et la troisième B par If; on a donc
PSP-*=^^i] ou S'— PSP-S et; en multipliant à droite, de part et d^autre, par P,
S'Pr^PS.
Réciproquement, si la précédente égalité a lieu, la substitution S'est semblable à S. En effet, la substitutions
étant toujours représentée par ( j et la substitution P
par ( ) o^ ( o ) ' on a, par bypothcsc,
