P» = Q'PQ

il suflira de multiplier Q par la substitution dont les deux termes sont respectivement les arrangements qui constituent P' et P; on voit de suite que cette substitution est

0= >i, «3) (bi, h^) (cj, C3),

et Ton a

Q'.-.-eQ— [iiQ, h^, Co, «2, ^2,^2) («1, b^y c,) (^3, ^^1,^3).

Réduction d'une substitution quelconque à un produit

de transpositions,

422. Toute substitution est équivalente à plusieurs transpositions. En effet, comme nous l'avons déjà dit au n° 235, si, par l'effet de la substitution S, la lettre a doit prendre la place qui est occupée actuellement par b, il est évident que la substitution S équivaut à la transposition (a, &), jointe à une substitution S' qui ne déplace que les lettres i . . . ; en d'autres termes, on a

on peut raisonner sur S' comme on vient de le faire sur S, et, en continuant de la même manière, on décomposera S en un produit de transpositions.

On peut réaliser une substitution S de plusieurs

manières différentes, par le moyen de transpositions

successives; mais, quelle que soit la marche que l'on

aura suivie, le nombre des transpositions employées

S. — jiltç. Slip,, II. 18

sera toujours le même à un multiple de a près. Cela va résulter du théorème suivant :

Théorème. — Si <7 désigne le nombre des cycles d'une substitution S, relative an lettres, le produit TS ou ST, obtenu en multipliant entre elles la substitution S et la transposition T, sera une substitution dans laquelle le nombre des cycles sera a =h i , savfoir : a -I- i si les lettres de T appartiennent à des cycles différents de S, et G — I dans le cas contraire.

Soit

et supposons que les lettres a^^ 6| appartiennent à deux cycles différents de S, savoir :

C = (<7|, nj, . . ., ai), C = (^i, ^1, . . ., bj). Si Ton exécute la substitution S sur rarrangement

on obtiendra le nouvel arrangement

et, si Ton applique à celui-ci la transposition T, on

obtient

a^ a^ . . . a, bi h^ b^, . , bj a^ ;

en comparant cet arrangement à celui d'où Ton est parti, on trouve

TCC'= («1, flj, ... «/, ^1, ^t, . . ,, bj)\

la substitution TS renferme donc un cycle de moins q«c la substitution S, et la même chose peut se dire de ST qui est semblable à TS.

Supposons maintenant que les lettres ^i, &i fassent partie d'un même cycle C de S, et soit

C = (ai, «t, . . ., «^, ^i, ^j. . . ., bj).

Si l'on applique la substitution S à Tarrangement

on obtient

A] a» . . . a^ b^ b^b^, , , bja^

eif en faisant la transposition T, il vient

a^ a^. » . Ht a^b^b^, , » bj b^ ,

d'où il suit que Ton a

TC-= («I» «2, . . ., o,) (^1,^1, . . ., bj)\

donc la substitution TS renferme un cycle de plus que la substitution S, et la même chose a lieu, en conséquence, à l'égard de la substitution ST.

Remarque. — Il est évident qu'il faut tenir compte, pour l'exactitude du théorème, des cycles qui se réduisent à une seule lettre.

Corollaire. — Si o désigne le nombre des cycles d'une substitution S formée avec n lettres, et que cette substitution puisse être obtenue en multipliant entre elles et daiu un certain ordre v transpositions égales ou inégales, on aura

v= [n — 0") -h 2^, k étant un nombre entier.

En effet, la première transposition peut être regardée comme une substitution formée de ti — i cycles, l'un du deuxième ordre et les ti — 2 autres du premier ordre ; donc, en la multipliant par la deuxième transposition, on

2y6 COURS D*ALGÈBEE SOPÉRIECRB.

obtiendra une substitution qui sera formée de n — i =!r i cyclesr; ce premier produit, multiplié par la troisième transposition, donnera un nouveau produit dans lequel le nombre des cycles sera n — iztidzi, et ainsi de suite; en sorte que, après avoir exécuté la multiplication des V transpositions, on se verra conduit à Tégalité

(Tzz^n — i±:iii:i=h...z!ii,

dans laquelle le nombre des unités positives ou négatives ajoutées à n sera égal à v. Or, si Ton donne le signe — à l'une des unités qui doit avoir le signe -f-, on diminue de a unités le second membre de notre égalité. II s'ensuit donc que Ton a

(T^^n — v-\-iA ou v=z[n — ff)-f-ait,

et, en conséquence, le nombre des transpositions successives par lesquelles on peut eflcctuer une substitution donnée S est toujours de même parité, quelle que soit la marche que Ton suive pour former les transpositions.

423. On peut, d'après cela, distinguer en deux genres les Nr= I .a. . . /i substitutions formées avec n lettres. Le premier genre comprendra les substitutions qui équivalent à un nombre pair de transpositions, tandis (|ue celles qui équivalent à un nombre impair de transpositions constitueront le second genre.

Soient

les substitutions du premier genre, parmi lesquelles figure l'unité, et

1^0» ^1» Tj, T3, ...

celles (lu deuxième genre. Il est évident que ces dcax suites se changeront l'une dans l'autre, si on les multiplie

par une transposition (a, b) ; par conséquent, il y a -

substitutions de l'un et de l'autre genre.

On peut aussi énoncer les résultats suivants :

Une substitution circulaire est du premier ou du deuxième genre, suivant que son ordre ou le nombre de ses lettres est impair ou pair.

Le produit de plusieurs substitutions est du premier ou du deuxième genre, suivant que le nombre desfaC" teurs du deuxième genre est pair ou impair.

Les puissances paires d'une substitution quelconque appartiennent au premier genre*

278 COURS D^IGÈBEE SDPÉKIEURB.