CHAPITRE IL
PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES DE SUBSTITUTIONS COlIJUGUiES.
Des systèmes conjugués,
424. Étant données plusieurs substitutions formées avec n lettres , si, en les multipliant une ou plusieurs fois les unes par les autres ou par elles-mêmes, dans un ordre quelconque, on n'obtient jamais que des substitutions comprises dans la suite des substitutions données, celles-ci constituent ce que Cauchy a nommé un système de substitutions conjuguées, ou simplement un système conjugué. Il est évident que tout système conjugué comprend la substitution égale à Tunité.
h^ordre d'un système conjugué est le nombre des substitutions qu'il renferme.
Il résulte de ces définitions que les Nrr^i.a.../i substitutions que l'on peut former avec n lettres constituent un système conjugué d'ordre N, et que les puissances d'une substitution quelconque d'ordre vconslituenl un système de substitutions conjuguées d'ordre v.
425. TnÉouÈME. — Si toutes les substitutions d'un sjsfcme conjugué F d'ordre u sont comprises panni les substitutions d'un autre système conjugué G d'ordre m, le nombre (x sera un di\nscur de m.
En elfel, désignons par
\l] I, Sj, Sj, S3, ..., Sji i
les fx substitutions du système F ; ces substitutions appartiennent à G, par hypothèse, et l'on a m]>a. Soit T| Tune des substitutions de G qui n^appartiennent pas au système F, c'est-à-dire à la suite (i); si l'on multiplie, à droite, par T| les termes de cette suite, les produits
(2; Ti, SiTj, SjTi, . . ., Sn jTi,
que Ton obtiendra, seront compris parmi les substitutionsfdu système G; d'ailleurs, deux quelconques de ces substitutions (2) sont évidemment distinctes et aucune d'elles ne saurait appartenir à la suite (1). Pour établir ce dernier point, il suffît de remarquer que Tégalité S/T| = Sy entraînerait T| = S^*Sy, ce qui est impossible, car le produit S~*Sy appartient nécessairement au système r, tandis que, par hypothèse, T, ne fait pas partie de ce système : il résulte de là que Ton a m = 2/x, ou rn^' 2[x . Si m est égal à 2/!Ji, le théorème est démontré; soit doncm^ 2//, et désignons par T2 l'une des substitutions de G qui n'appartiennent à aucune des suites (i) et (2). En multipliant à droite par T2 les substitutions (i), on obtiendra ^ substitutions nouvelles,
(3J Tj, SjTj, S2T2, ..., 8,4^1 Tj,
qui appartiendront au système G; elles seront distinctes entre elles et distinctes des substitutions (i); en outre, elles sont distinctes des substitutions (2), car l'égalité S/T2 = SyT| entraînerait Ta =^ S7"^SyT<, ce qui est contre l'hypothèse, car le produit Sf*Syï< fait évidemment partie des substitutions (2). Il résulte de là que m = iiJL ou /n}> 3^. Il est clair que Ton peut poursuivre de cette manière jusqu'à ce que l'on ait épuisé toutes les substitutions du système G, et que Ton aura en conséquence
q désignant un nombre entier.
280 COURS d'algkbre supérieure.
Remarque. — Le système conjugué G a 6té ainsi partagé en q suites de substîtulions,
I, S>i, Sj, • • • 1 ^1—1»
1;, Oj F;, Oj igt • • •» ^ji— I ^2»
dont la première seule constitue un système conjugué. Pour former ce tableau, sur lequel repose notre raisonnement, nous avons successivement multiplié, à droite, parles substitutions T|, To, . . . , T^«i les substitutions du système F; mais il faut remarquer que Ton aurait pu procéder d'une autre manière, et que la démonstration aurait pu être faite en employant des substitutions U|, U2, , U^^i du système G, comme multiplicateurs, à gauche, des substitutions du système F. En procédant ainsi, on aurait décomposé le système G en q suites formées chacune, comme les précédentes, de fi substitutions et qui sont
I, S|, 3j, • • • f ^ji— 1>
chaque substitution U étant choisie parmi les substitutions de G qui ne font pas partie des lignes horizontales déjà formées.
426. Le théorème que nous venons d'établir conduit à des conséquences importantes, qui sont contenues dans les corollaires suivants :
CohOLLAiRE I. — L'ordre d'un s) stcniedc sul>slilnlions
SECTIOlf IV. CHAPITRE II. 28 1
conjuguées formées auec n lettres est un dli^iseur du produit N = 1 . 2.3 . . . /^.
En effet, les substitutions du système proposé appartiennent au système conjugué de Tordre N qui comprend toutes les substitutions.
Corollaire II. — L'ordre d^un système de substitutions conjuguées est un multiple de l'ordre de l'une quelconque des substitutions du système.
En effet, les puissances de Tune des substitutions d'un système conjugué appartiennent toutes à ce système ; d'ailleurs, ces puissances constituent un système conjugué dont Tordre est égal à celui de la substitution ; donc cet ordre est un diviseur de Tordre du système proposé.
Corollaire III. — Le nombre n des lettres étant supposé premier, tout système conjugué d'ordre n se compose des n puissances d'une substitution circulaire d'ordre n.
En effet, Tordre d'une substitution quelconque du système doit diviser n\ il se réduit donc à i ou à n.
Corollaire IV. — Si deux systèmes conjugués offrent des substitutions communes j celles-^i constituent un système conjugué et leur nombre est en conséquence un diinseur commun des ordres des deux systèmes donnés.
En effet, soient
V* ) ï> Sj, Sj, . . ., Ojv^j
toutes les substitutions communes à deux systèmes conjugués. Toute substitution S, obtenue en multipliant les précédentes entre elles ou par elles-mêmes, appartient à la fois aux deux systèmes proposés ; et, comme ceux-ci n'ont que les fx substitutions communes (i), il
28a COURS d'algèbre supérieurs.
est évident que la' substitution S se trouve comprise parmi elles; ces substitutions communes constituent donc un système conjugué.
Des systèmes semblables et des systèmes échangeables
entre eux.
