Considérons un système de substitutions conjuguées
on a vu que TST""* et S sont deux substitutions semblables, quelle que soit la substitution T, et que, pour former la substitution TST""*, il suffit d'effectuer la substitution T dans les cycles de S ; il en résulte que les substitutions
(2) I, TS.Ï-S TS,T-». ..., TS^^jT-'
constituent un système conjugué. On peutaussi vérifier immédiatement ce fait, en remarquant que le produit d'un nombre quelconque de substitutions prises dans la suite (i) est de la forme TS,Sj . . . S^T~*, et par suite de la forme TS/Ï~' , puisque les substitutions ( i ) forment, par hypothèse, un système conjugué.
Les systèmes conjugués (i) et (a) seront dits 5emhlablcs (*) ; il peut arriver que ces deux systèmes coïncident, et alors ou a, quel que soit i,
TS, T- » = Sy ou TS, — Sy T ; par conséquent, on obtient les mêmes résultats en mul-
(*) M. Rotti a donné aux substitutions (j) le nom de dérivéet dct tob- Ktitutiont corrcspondantos (i); T «si la dérivante, et le »yt»tème (1} tA alors le dérivé par T du système (1;.
SECTION IV. — CHAPITRE II. a83
tipliant les substitutions (i) par T, soit à droite, soit à gauche.
Considérons maintenant deux systèmes de substitutions conjuguées,
I , Oj, bj, bj, . . . , tJp^
'» ^1» *2> *i» • • •> Tv i ;
nous dirons que ces deux systèmes sont échangeables entre eux lorsque tout produit de la forme TyS/ sera en même temps de la forme SivTyv, Si Ton a / = 7, quels que soient i et y, le premier des deux systèmes proposés coïncidera avec le système semblable que Ton en déduit en multipliant ses substitutions à gauche par Ty et à droite par T^"*. Si Ton a en même temps i'= iff=jf quels que soient ieljy deux substitutions quelconques, prises dans les deux systèmes proposés, seront échangeables entre elles.
Du problème général qui fait l'objet principal de la
théorie des substitutions.
428. Le problème général que Ton a en vue dans la théorie des substitutions peut être énoncé dans les termes suivants :
Quels sont les systèmes de substitutions conjuguées que l'on peut former av^ec n lettres données?
La solution de ce problème serait, pour T Algèbre, de la plus haute importance ; aussi Lagrange et, après lui, plusieurs géomètres éminents se sont-ils occupés de cette question difficile. Mais, malgré leurs efforts, ils n'ont pu atteindre le but proposé, etlr Science ne possède aujourd'hui sur ce sujet qu'un petit nombre de propositions générales que nous allons établir ici.
284 COURS d'algèbre supérieurs*
Parmi les systèmes de substitutions conjuguées que Ton peut former avec n lettres données, nous connaissons : I® le système qui comprend les N = i .a. . «n substitutions ; 3^ les systèmes que Ton forme en prenant toutes les puissances d^une substitution quelconque. Nous les rappelons ici, afin de présenter un ensemble complet des résultats acquis.
429. TnéonÈME I. — Parmi /e5 N = i . a . . • n substitutions que fon peut former avec n lettres données^ celles qui équivalent à un nombre pair de transpositions
constituent un système conjugué d'ordre—^ et il n'existe aucun autre système conjugué du même ordre - •
La première partie du théorème est évidente. Nous avons vu, en effet, que si Ton multiplie entre elles plusieurs substitutions du premier genre, c'est-à-dire plusieurs substitutions don^hacune équivaut à un nombre pair de transpositions, on obtient pour résultat une substitution du premier genre.
Pour établir la seconde partie, soit
(1) 1, Sly S,, S,, . . ., S,^
N un système conjugué d'ordre -• Multiplions à gauche et
à droite les substitutions de ce système par une substitution quelconque T, nous obtiendrons les produits
(2) T, TS|, TS„ ..., TSji ,
et
Si T fait partie du système (i), les suites (2) et (3) formeront des systèmes conjugués identiques à (i); mais, si T n'est pas compris dans le systèifte (i), chacune des suites (2) et (3) se composera, comme on Ta vu précédemment, des - substitutions qui n^appartiennent pas
au système (i). Dans tous les cas, les suites (2) et (3) offrent les mêmes substitutions, et Ton a, en conséquence, quel que soit i, pour une certaine valeur dey,
TS, = SyT ou TS,T-»rz.Sy;
d'où il résulte que le système (i) renferme toutes les substitutions semblables à Tune quelconque de celles qui y sont contenues. Ce système ne renferme donc aucune des transpositions ; car autrement il les renfermerait toutes, et son ordre serait égal à N, ce qui est contre Thypothèse. Supposons que T désigne maintenant une transposition, les suites (i) et (2) comprendront toutes les N substitutions des «lettres, et ces substitutions ne feront que s'échanger entre elles, si on les multiplie par une transposition U. Or il est évident, d'après ce qui précède, que, par cette multiplication, la suite (i) se transformera dans la suite (2) ; donc à son tour la suite (2) se changera dans la suite (i), ce qui montre que la substitution Uï fait partie du système (1). Ce système comprend ainsi toutes les substitutions que Ton obtient en multipliant deux transpositions entre elles, et il renferme, en consé-
N quence, les - substitutions qui équivalent chacune à un
nombre pair quelconque de transpositions.
Corollaihe. — Le système conjugué d'ordre— ren-
Je
ferme toutes les substitutions circulaires d ^ ordre impair, et iln^en renferme aucune d'ordre pair.
a86 COURS D*4LG£BnE SUPÉRIEUIIE.
En effet, toute substitution circulaire d'ordre p équivaut à p — 1 transpositions; on a
(«01 «I, «2» •••» ^p-\] = {^0^ ^p-t) (^0» ^i>-j)---(«Of «j) (^» «il-
430. Théorème II. — Si un système conjugué renferme toutes les substitutions circulaires dont l'ordre
est un nombre donné p égal ou inférieur à n, V ordre
N du système conjugué est N ou - • Cet ordre est toujours
égal à N si p est pair.
Le théorème est évident, dans le cas de/?= a; carie système proposé contient toutes les transpositions et son ordre est égal à N. Dans le cas de /' = 3, le système proposé renferme la substitution circulaire
(«Il «ji^a' ~ («Il «3) («ii«j)
des trois lettres données a^ ^2, a^ et il contient aussi U substitution
(«4, flj, ai] = (/Is,Û4)(«l» «i)»
si, le nombre n étant supérieur à 3, ^14 désigne une lettre nouvelle. Le produit de la première substitution par U
seconde est
et ce produit doit figurer dans le système proposé. Donc celui-ci renferme toutes les substitutions qui équivalent à un nombre pair de transpositions, et son ordre est ainsi
au moins égal à — *, d'ailleurs cet ordre est un diviseur
N de N, par suite il est égal à - ou à N.
Le cas de /^ ^ 3 se ramène facilement au cas de p = 3. En effet, soient «i, «a, a^ trois quelconques des lettres données, et post)ns
T -- (^i,tfj, «3; = i^m «3; v^i»«i).
Soit aussi
S= («1, «,, 64, ftj, . . ., 6p, rtj)
une substitution circulaire d'ordre p formée avec les lettres Ai, «a, «3 et ^ — 3 autres lettres données ^4, £5. • . •, &/»• On aura
(«1, «,)S = (rt,) (û,, 64, />5 6^, «3),
et, en multipliant, à gauche, par (ai, as),
TS =: («i, rtj, «,, ^4, 65, . . . , bp).
Par hypothèse le système proposé renferme toutes les substitutions circulaires d'ordre p : donc les substitutions TS et S""* doivent y figurer ainsi que leur produit T, qui est l'une quelconque des substitutions circulaires, formées avec trois des lettres données.
Si le nombre p est pair, le système proposé comprend les produits de transpositions, en nombre impair, qui équivalentauxsubstitutions circulaires d'ordre />> ; l'ordre
N de ce système est donc supérieure -» et, en conséquence, il est égal à N.
431. Théorème III. — Une substitution quelconqueli étant formée auec n lettres, les div^erses substitutions des mêmes lettres qui sont échangeables avec T constituent un système conjugué.
En effet, soient
I, Si, §2, . . • , Sm i
les M substitutions échangeables avec T, parmi lesquelles figure évidemment l'unité. Nous avons vu quç le produit de plusieurs de ces substitutions est lui-même une substitution échangeable avec T; ce produit fait donc partie de la suite précédente, et, en conséquence, celle-ci forme un
système conjugué d'ordre M. Ce nombre M a pour valeur (n° 41i)
M r= ( I . 2 . . . /»i ) ( l . 2 . . . /W, ) . . . ( I . 2 . . . /7I» ) /f7« /ï7« . . . Wj»»,
771/ désignant le nombre des cycles de T qui sont do Tordre /î|. On tient compte des cycles formés d'une seule lettre, en sorte que Ton a
n ■=. /Tïj /ij -+- /Wj /ij -4- . . , -4- /w» /î».
Ainsi en particulier avec un nombre n de lettres égal à 77i| /2i, on peut former, par le précédent théorème^ un système conjugué d'ordre
