m, X /îT*'- Exemple. — Dans le cas de

/l rrr 6 rr: 3 X 2 :i=i 2 X 3,

on pourra former deux systèmes de substitutions conjuguées dont les ordres seront respectivement i . a.3X2' ou 48, et 1 . 2 X 3* ou i8.

432. Théorème IV. — Une substitution quelconque^ étant formée avec n lettres, les diverses substitutions S telles^ que le produit STS~* se réduise à une puissance de T, constituent un système de substitutions conjuguées.

Le nombre des substitutions qui satisfont à Tégalité

dans laquelle i représente un nombre donné premier à Tordre de la substitution T, est égal (n° 421) au nombre M des substitutions échangeables avec S. Si donc on désigne par y le nombre des substitutions S qui satisfont à la précédente égalité, lorsque i cesse d'être un nombre donné, etpar (p(u) le nombre qui indique cora-

bien il y a de nombres premiers à l'ordre [jl de la substitution T, on aura

Cela posé, soient

(l) 1, Si, §2, Sj, • • •) 3y l

les substitutions qui satisfont à la condition imposée par l'énoncé du théorème. Je dis que le produit de deux quelconques des substitutions (i) fait partie de la même suite, et que celle-ci constitue en conséquence un système conjugué d'ordre v. Considérons, en effet, les deux sul> stitutions S|, S2; on a par hypothèse

(2) SiTS7>ri T', ou SiT-:T'S„

(3) S,TS7»rLT>, ou S,T^T>Sjj

en multipliant à gauche par S| l'égalité (3), il vient