S,S,T-. S.TAS

Ci, en élevant l'égalité (2) à la puissance y,a on

Si TS7» . Si TS7» ... S, TS7» ^ T'>,

c'estrà-dire

(5) S,T>S7»=:T'>, ou *SiT>r^ T'>S,;

en vertu de celle égalité (5), la formule (4) donne (G) StS,T--.P>SiS,. ou (S,S,)T(SiS,)-» = T'V,

d'où il suit que la substitution S| S2 fait partie de la suite (i), comme on l'avait annoncé.

433. Soient e l'un des nombres premiers à u, et 6 l'exposant auquel e appartient relativement au module fz. Au lieu de former la suite (1) avec toutes les substitutions S, qui satisfont à l'égalité

STS-» = T'

S. — Jlg. sup.f II. if)

2()o couits d'algèbre supérieure.

où i a une valeur quelconque, si Ton prend seulement les substitutions S qui satisfont à la même égalité en imposant la condition que i soit congru, suivant le module fc, à une puissance de e, les substitutions de la suite (i) formeront encore un système conjugué. Effectivement, si l'on suppose que dans les égalités (a) et (3) i et/ désignent deux puissances de e, le produit ij sera lui-même une puissance de e, et, en vertu de Tégalité (6), le produit S| Sj appartiendra à la suite (i). On peut donc énoncer le théorème suivant :

Tuf^onÈME V. — Une substitution quelconque T, d'ordre n, étant formée ai^ec n lettres, si l'on forme toutes les substitutions S telles, que le produit STS"' se réduise à une puissance de T, dont l'exposant soit congru, suii^ant le module p, à une puissance d'un nombre donne e appartenant à l'exposant ô, par ra/hport au module |x, les substitutions S constitueront un système conjugue d'ordre 6M, Lorsque le nombre ft admet des racines primitives^ 6 peut être un dis^iseur quelconque de ç ( |t^ ) .

Ce théorème V compiMînd le théorème III comme cas particulier; il se confond avec celui-ci quand on fait6 = i et, par suite, e-^i. Mais il ne comprend pas le théorème IV, parce qu'il n'existe pas en général de racines primitives pour un nombre composé. Cette extension du théorème 111 a été indiquée par M. C. Jordan, dans un Mémoire qui fait partie du XXXVIll* Cahier du Journal de Vl'Jcole Polytechnique.

Corollaire I. — On peut former, auec n lettres, des systèmes da substitutions conjuguées d'ordre w^(/j) ft

d'ordre — ^- — -> t étant un diviseur convenable de n. En e

particulier, si n est un nombre premier, on peut former

SECTION IT. CHAPITRE II. Spl

Min système de substitutions conjuguées dont l'ordre soit égal à n[n — i) ou au quotient de ce nombre par un diviseur quelconque de n — i .

Ce corollaire résulte immédiatement des théorèmes IV et Vy en supposant que T y désigne une substitution circulaire d'ordre n.

Corollaire II. — On peut former, avec n — i lettres données, un système conjugué d'ordre ç(n) ou ^ — ■•

Considérons en effet le système conjugué qui contient

n<f{n) ou ^ substitutions de n lettres, et dont il est

question dans le corollaire précédent. Pour former ce système, on part d'une substitution circulaire T, d'ordre /i, et l'on prend les substitutions S qui satisfont à une égalité de la forme STS""* = T*. Or, du mode de formation de ces substitutions S, il résulte que, pour chaque valeur de I, il existe une substitution unique S, qui ne déplace pas une lettre donnée a. Donc le système que nous consi-

dérons renferme y (w) ou ^-^—^ substitutions qui ne déplacent que 71 — I lettres ; il est éviden t que ces substitutions constituent un système conjugué.

434. Dans le cas de nz=i6j si l'on choisit d'abord pour Tune substitution régulière formée de deux cycles du troisième ordre, on pourra former, par le théorème IV, un système de substitutions conjuguées dont l'ordre sera i . 2 X 3^ X 2 ou 36. Si Ton prend en second lieu, pour T, une substitution circulaire du sixième ordre, on pourra former, par le théorème V (corollaire I), un système conjugué d'ordre 6 x ^(6) ou 12. Soit

294 COURS D*ÀLtïÈB1tE SUPÉRIEUmV.

Corollaire I. — Si les substitutions S ef T d'ordres respectifs [i et v sont échangeables entre elles et n^omi aucune puissance commune autre. que l'unité, on for" mer a un système d'ordre fxv en multipliant les yi puis~ sances de S par les v puissances de T.

En effet y dans Thypothèse admise , les deux systèmes conjugués

remplissent les conditions exigées par renoncé du théorème précédent.

CorollàtreII. — Si plusieurs substitutions S, TfU y,, .f d'ordres respectifs p, v, p, . . . , sont échangeables entre elles deux à deux, et si V égalité

ne peut avoir lieu que pour i=:[Xy j = Vy k= py . . . , on formera un système conjugué d'ordre yLvp . . . e/i mu/tipliant les puissances de S par celles de T, puis les résultats obtenus par les puissances de U, et ainsi de suite.

Remarque. — Si Ton pose

Q = (^0» ^o> • • • 1 /o) («I» ^t» •••»/!)•.• («f-i» ^e-i» • • • , yf-i)t

pour que S et T soient des substitutions échangeables entre elles et que ces substitutions niaient aucune puissance commune autre que Tunité, il faut et il suffit (n® 417) que Ton ait

S = P, T^Q, ou

SBCTIOH IV. CHAPITRE II. ^q5

V et Q^y V" et Q'', . . . désignant des substitutions formées de la même manière que P et Q, mais avec des lettres diflférentes.

Considérons, par exemple, le cas de six lettres. Si Ton fait

on obtiendra un système conjugué du quatrième ordre qui se composera des quatre substitutions