I, S, T, ST
436. Examen d^un cas remarquable qui rentre dans LES THÉORÈMES V ET VI. — Le cas dont il s'agit ici est celui du système de n[n — i) substitutions conjuguées dont il est question dans le corollaire I du théorème V, lorsque le nombre n des lettres est premier.
Soient
ÛQJ ^t» ^î» • • • > ^n—V
les n lettres données, et supposons, comme au n® 416, que anq^ désigne la même lettre que ar. Le système que nous considérons sera formé de toutes les substitutions S qui satisfont à une égalité de la forme
STS-» ^ T'
dans laquelle T désigne une substitution circulaire d'ordre n. Soit
cette substitution. Le nombre n étant premier et i désignant un nombre quelconque non divisible par te, T*' sera une substitution circulaire d'ordre /z, et l'on aura, par nos conventions,
OU;; en faisant passer une lettre quelconque aj^i à la pre-
296 COUnS D^LGEBEE SUPÉ&IEU&B.
micre place,
T^' '[^kh ^(k+\)i ^{n-l)i9 ^Of ^i^ ••• 1 «(*-!:/]•
Cela posé, chaque substitution S doit se former en prenant pour numérateur la permutation qui constitue le cycle de T' et pour dénominateur la permutation qui figure dans le cycle de T. Désignons par C cette dernière permutation, par Cet C'Mes permutations qui constituent le cycle de T' lorsqu'on met à la première place «0 et a/(i respectivement. L'expression générale des substitutions S sera
On a évidemment
„ I - [r^o, a^.f, a^f-i^ . . . , a^„^x)ki] - T^';
quant à la substitution \p]t elle ne renferme pas la lettre «0 et l'on a
Cette substitution a pour eiïet de multiplier par i les indices des lettres a\ soitr une racine primitive pour le nombre premier /i, posons
et désignons par U la substitution qui a pour cflet de multiplier par r les indices des lettres a : il est clair que la puissance v**"'" de U multipliera ces indices par r' ou 1; on aura donc
on voit en outre, à cause de r"~* ^^ i (mod. w), queUcsl
SECTlOn IV. CBAPITIIE II. ÎQJ
une substitution circulaire de Tordre n — i dont l'expression est
Il résulte de là que, si Ton désigne par // un nombre teU que Ton ait Ii::^ki{mod, /i), la substitution S aura pour valeur
(i) Szi^mr;
enfin, deTéquation
STS-» --:= T'
on tirj d'où
ST*S-» --.- T^'^— T'' z= SU-%
et
Les formules (i) et (a) fourniront donc la même valeur de S, si les exposants A et Ar satisfont à la relation
Chacune de ces mêmes formules donnera toutes les substitutions du système que nous considérons en attribuant kh ou à A' les 72 valeurs o, 1,2, . . . , n — i, et à vies mêmes valeurs, zéro excepté, ou, ce qui revient au même, n — i excepté. En d'autres termes, le système dont nous nous occupons s'obtiendra en multipliant les substitutions
à droite ou à gauche, par les substitutions
Exemple. — Considérons le cas de w = 3. Comme 2 est ici racine primitive, on pourra former un système de
apS COURS d'algèbre supéRtsimB.
vingt substitutions conjuguées en multipliant entre eDes les puissances des deux substitutions
il est facile de vérifier sur cet exemple que la formule
a lieu quels que soient les nombres Ar et v.
437. Théorème VII. — Étant donné un sy^stème de n lettres, soient n^ un nombre entier égal ou inférieur à tiy et y^zzm^n^ un multiple de n^ contenu dans n. Soient encore 712 un nombre égal ou inférieur à mi^ei m2 ^2 un multiple de n^ contenu dans nti . Soient partir lement /I3 un nombre égal ou inférieur à m^f et m% n% un multiple de n^ contenu dans m^y • • • • On pourra tour jours, avec v lettres arbitrairement choisies parmi les n lettres données, former un sj stème de sidfstitutiom conjuguées dont r ordre sera nUl'^nJ^* nj^* • . •..
Ce théorème a été démontré par Cauchy, dans le Mémoire que nous avons déjà eu l'occasion de citer.
Prenons v = /W| /ï| lettres parmi les n qui sont données, puis distribuons-les en ///| groupes ou arrangements composés chacun de /i| lettres, et que nous nommerons groupes de première espèce. Prenons ensuite ces inj arrangements pour composer les cycles de nti substitutions circulaires d'ordre /i|, que nous représenterons par
Parmi les mi groupes de première espèce, prenons-en ma 722 et distribuons-les en /712 groupes de deuxième espèce, lesquels seront ainsi formés par la réunion de «a groupes de première espèce. Avec les ii| n^ lettres de chaque
8scno:Ei rv. — chapitrx u. agp
groupe de deuxième espèce, formons une substitution ayant pour eiTet de déplacer circulairement les groupes de première espèce contenus dans le groupe de deuxième espèce^ et soient
les m^ substitutions ainsi obtenues. Si C, C, G' , ... désignent les arrangements ou groupes de première espèce qui composent un groupe de deuxième espèce, chaque substitution (2) sera de la forme
(cc'c...) ou (^'^:^:.::);
elle a pour effet de remplacer chaque lettre de C par celle qui occupe le même rang dans C^ celle-ci par celle qui occnpe le même rang dans C, et ainsi de suite. Il résulte de là que les substitutions Q sont régulières et que chacune d'elles est formée de /i| cycles d'ordre /ij.
Parmi les inj groupes de deuxième espèce, prenons-en mj Ut et distribuons-les en m^ groupes Ae troisième espèce, lesquels comprendront ainsi /I3 groupes de deuxième espèce. Avec les /i| n^n^ lettres de chaque groupe de troisième espèce, formons une substitution ayant pour effet de déplacer circulairement les groupes de deuxième espèce contenus dans celui de troisième espèce, et soient
(3) Ri, Rj, Rj, ..., R^,
les nit substitutions ainsi obtenues. En reproduisant le raisonnement que nous avons fait à l'égard des substitutions Q, on prouvera que chacune des substitutions R est régulière, et qu'elle est formée de /i| /I2 cycles d'ordre 119. On peut continuer ainsi tant que l'on n'aura pas rencontré l'unité dans la suite des nombres /^i, ms, ma, .... Dans chacune des suites (i), (2), (3), . . ., deux substitutions quelconques n'ont aucune lettre commune, et.
I 3oo conns n'AinfesnE supÉniETidr.
par suite, elles sont échangeables enlre elles. On obtiendra donc un sjistètne de substitutions conjuguées P d'ordre n"'> en multipliant entre elles les nit suites qui sont formées chacune par les n, puissances de I'odc des substitutions (i), PareiHcmenl, on obtiendra de 1» même manière des sjslènies conjugués Q, lî. - . . , donl les ordres soronl respcciivement it"i, nj*'. . . . , au moyeu des substitutions (a), {?•), ...
Je dis en oulre que deux quelconques des systèmes ainsi formés sont échangeables entre eux. A cet effet, représentons les lettres contenues dans chacun des diveis arrangements ou groupes d'une espèce quelconque par un même caractère a ou b, ou c. . . . alTecté d'un indice variable; alors celles des substitutions P, Q, K, . .. qui ont pour elTel d'échanger circulaircmenl les groupes d'espèces moins élevées contenues dans l'un des groupes qae nous considérons pourront se déduire de celles qui se rapportentà un autre groupe, en changeant la lettre que nous sommes convenus d'affecter d'indices, mais en conservant les mêmes indices. Si donc A et B désignent deux arrangements de i""' espèce formés respectivement de deux lettres a, b, affectées des mêmes indices, et si l'une des subsliiutions P, Q, ... change A en A', l'une de ces substitutions changera aussi B eu D'îles indices dpi dans B' se succédant dans le même ordre que les indices de a dans A'.
Cela posé, soit V une substitution de l'une de5 suites (3), (3\ . . . qui déplace circulaircment les groupes
A, B, C, D K de t""' espèce, contenus dons on
groupe ABCD. . .L de (('-H i'""* espèce. Soit en même temps U l'une des substitutions (i),(a),(^).... qui M produisent de déplacements de lettres que dans l'un det arrangements A, H, . . . , dans C par exemple. SuppOMO) que U change C en C; d'après ce que nous venons BS
SECTION IV. CHilPITRE II. 3oi
dire, le système auquel U appartient renfermera une autre substitution U' changeant aussi D en D^ Appliquons successivement les trois substitutions U, V, U'""*
à Tarrangement
