BCD... A

que I*on aurait obtenu tout d'abord en appliquant la substitution V à l'arrangement primitif; on a donc

U'-»VUr=: V, d'où VU=:U'V.

Il résulte de là que les systèmes conjugués P, Q, R, . . . sont échangeables entre eux deux à deux. D'ailleurs un produit tel que V. . . HQP, formé avec des substitutions de ces divers systèmes, ne peut se réduire à Tunité à moins que tous ses facteurs ne se réduisent eux-mêmes à l'unité; car, s'il en était autrement, on aurait

ce qui est impossible, puisque la substitution contenue dans le premier membre est impropre à déplacer les groupes de lettres que V~* échange entre eux. On voit donc que l'on obtiendra un système de substitutions conjuguées d'ordre n^* n^*n^», . . , en multipliant entre eux les systèmes P, Q, R, ....

CoaoLLAiRE I. — Etant donné un système de nlet-

3o4 COURS D*ÀLG£BRE SUPÉRIEURE.

439. Théorème VIII. — Si Von a formé un système de substitutions conjuguées de m lettres dont V ordre soit fi, et un sy^stème de substitutions conjuguées de p lettres dont r ordre soit xs, on pourra construire un système de substitutions conjuguées de n =.- mp lettres^ dont l'ordre sera yiPxs.

En elTety distribuons les mp lettres données en p {poupes composés chacun de m lettres^ et que nous représenterons par

^Oi ^\% ^t% •••• ^W—lt

^0» ^1» ^ti • • • » ^m—i>

Soit A un système de p substitutions conjuguées, formées avec les m lettres a qui composent la première ligne de ce tableau. Soient aussi B, C, ..., K les systèmes de substitutions conjuguées que l'on obtient en remplaçant successivement dans A la lettre a par bj c^ d, . ,,y kf sans changer les indices dont la lettre est affectée. Désignons enfîn par

o substitutions conjuguées, formées avec les p lettres ai, bi, . . . , /./; posons

— •"o^t • • • '*/w— Il 1 — - ^0 *1» • • • » ^m—U

Cl nommons Pie système conjugué d'ordre a

dont les substitutions ont pour effet d'échanger entre elles les lignes horizontales de notre tableau.

Les systèmes A, B, ... K sont évidemment échangeables entre eux, et il est aisé de voir que leur produit est échangeable avec le s>slème P. En effet, soient Aune

SECTION IV. CHAPITRE II. 3o5

substitution du système Ay et S une substitution de P; la substitution Â., effectuée la première, déplacera les lettres a et elle remplacera la première ligne du tableau par

après quoi la substitution S déplacera les lignes horizontales du tableau ; seulement, si elle doit amener les lettres b à la place de a, la ligne précédente sera remplacée par

et, pour faire disparaître les accents, il sufïira d'appliquer la substitution B"* , B désignant ce que devient A quand on y remplace a par b. On voit alors que Ton a

B-» PA = P, d'où PA = BP.

Il résulte évidemment de là qu'en multipliant entre eux les p-hi systèmes A, B, C, ..., K et P, on obtiendra an système conjugué dont Tordre sera p^cj.

Corollaire I. — On peut former, ai^ec ;/ = mp lettres, un système de substitutions conjuguées d'ordre (i .2.3. . . m)P,[i .9.. , , p),

II suflit en effet de prendre pour A le système de toutes les substitutions formées avec m lettres, et pour Pie système de toutes les substitutions formées avec p lettres.

Exemples. — Dans le cas de n == 6, on peut faire iî: = 3, ^ = 2, ou /^ = 2, m = 3. On voit alors que Ton peut former avec six lettres deux systèmes de substitutions conjuguées, dont les ordres sont respectivement 72 et 48. Dans le cas de // = 4> ^^ ^ /?/ =: 2, /? = 2, et Ton peut former avec quatre lettres un système conjugué d'ordre 8.

Corollaire II. — Si p est un nombre premier, on peutjbrmery a^^ec n = mp lettres, un système de substi^ tutions conjuguées d ordre (1.2. 3. , .m)P pi^p — i). S. — jilg. tup., II. ao

3o6 couns d'halo ebbe supÉRiEumE.

II suffit en effet de choisir Acomme dans le précédent corollaire, et de prendre pour P le système conjugoé d'ordre p(p — i) dont nous avons reconnu l'existence dans le cas ohp est un nombre premier. Le système dont il s'agit ici se rencontre dans la théorie des équations.

440. Théorème IX. — Si un système de substitutions conjuguées relatif à n lettres renferme toutes les substir tutions circulaires du troisième ordre que Von peut for" mer ai^ec n — i lettres données, et t/u'il ait encore d* autres substitutions, il renferme toutes les substitutions circulaires du troisième ordre que l'on peut former avec les n lettres.

Soient

rtQ. rtj, rtj, ' • • 9 rt;i— 2» ^

les/i lettres données, G le système que l'on considère, cl GMe système conjugué formé avec celles des substitutions de G qui necontîennent pas b. Désignonspar T une substitution de G qui n'appartienne pas à G', et supposons que T substitue b, ai, aj à no, a^, a^, i et j étant deux indices quelconques qui peuvent avoir les valeurs i et a; comme la substitution U:^ [a^, a^, a^) appartient à G, par hypothèse, il en sera de même de TUT""* = \b, ai, aj). Le système G renferme donc toutes les substitutions circulaires formées avec les n lettres.

Corollaire. — Si un système de substitutions

conjuguées relatif à n lettres renferme toutes les

1.2.3...' n — 1 "^ r-7 - substitutions formées ai^ec n — i let-

N très, son ordre est N ou — Si le système proposé ren-

N ferme seulement les — substitutions du premier genre

formées av^ec n — i lettres, son ordre est - ou — •

SECTION IV. CHAPITRE II. Soj

Conservons les notations dont nous venons de faire

usage. Par hypothèse, Tordre de Cest - ou — ; le même

nombre exprimera donc aussi Tordre de G, si ce système n*a que les seules substitutions de G'. Dans le cas con traire , G admettra toutes les substitutions circulaires du troisième

ordre formées avec les n lettres, et son ordre sera N ou ->

savoir : N si G' renferme toutes les substitutions de

N n — I lettres, et— si G' renferme seulement des substi-

tutions du premier genre.

441 . Théorème X. — Si un système de substitutions conjuguées relatif à n lettres ne renferme pas toutes les substitutions circulaires du troisième ordre formées avec n — I lettres y mais qiiil contienne toutes celles que l'on peut former avec n — 2 des lettres données, les substi" tutions du système qui déplacent les deux autres lettres ne peuvent que les échanger entre elles. Le nombre n est supposé supérieur à 4*

Soient

les n lettres données, G le système que Ton considère, et G/ le système conjugué formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent aucune des lettres bo, b^\ par hypothèse le système G renferme toutes les substitutions circulaires du troisième ordre que Ton peut former avec les n — 2 lettres a. Désignons par T une substitution de G qui n'appartienne pas àG'etqui n'échange pas entre elles les lettres b^ et &|.

Si T déplace io pour la substituer à Qq et qu'elle ne déplace pas &i ou que, déplaçant &i , elle la substitue à b^^, soient ai et as les deux lettres qui seront remplacées par

ao.

3o8 COURS d'algèbre supérieure.

deux lettres quelconques données, a/, aj; comme la substitution U =(^0, ai, ai) appartient à G, il en est de même de TUT"* = (io> «i> ^j) î donc le système G renferme toutes les substitutions circulaires du troisième ordre qu^on peut former avec n — i des lettres données, ce qui est contre Thypothèse.

Si T substitue bo et i| à Aq et a^y a, à a^f la substitution U = (aoy ai , ^2) appartenant à G, il en sera de même de TUT~* = ( Jo» ^o ^i)' Or cette dernière substitution remplace ai par^o» et io par i| ; on rentre donc dans le cas précédent, qui est incompatible avec notre hypothèse, comme on vient de le voir,

Il résulte de là que la substitution T ne peut qu'échanger les lettres &«, b^ entre elles; elle sera donc de la (oTmeT = (bof if ).S,S étant une substitution de G'. On voit aussi que le système G s'obtiendra en multipliant entre eux le système G' et le système formé des deux substitutions i, {bo, b^). En conséquence, l'ordre du système G est double de Tordre du système G'.

Remarque. — La démonstration précédente exige que le nombre des lettres a soit au moins égal à 3, et que Ton ait en conséquence /2^4- ^^ théorème ne subsiste pas pour 72 = 4.

Corollaire. — Si un système de substitutions conjuguées relatif à n lettres renferme les

substitutions formées ai^ecn — 2 des lettres données, mai^ qu'il ne renferme pas toutes celles qu^on peut former at^ec n — i lettres, son ordre sera égal au quotient de N

par l' un des deux nombres -^ > n(n — i). Si le s)'y'

SECTioir IV. — CHAPITRE II. Sog

N icme renferme seulement les — ; r substitutions du

premier genre formées auec n — a lettres, mais qu'il ne contienne pas toutes celles que Von peut former avec n — I lettres, son ordre sera égal au quotient de N par l'un des deux nombres n[n — i), 2n(n — i).

N En effet, par hypothèse, l'ordre de & est — ; r

N ou — 7 r> et le même nombre exprimera Tordre

de G, si ce système n'a que les seules substitutions de G/. Dans le cas contraire, toute substitution de G qui n'appartient pas à Cf déplace circulairement les deux lettres non contenues dans G', car autrement G posséderait toutes les substitutions circulaires du troisième ordre qu'on peut former avec n —- 1 lettres, et cela est contre l'hypothèse. Alors, d'après le théorème précédent, Tordre de G est double de Tordre de G'.

Des groupes de permutations,

442. Considérons un système F de substitutions conjuguées de n lettres, dont Tordre soit égal à p; soient

I, Si, Sj, . . . f S,i__i

les substitutions de ce système. Si Ton prend une quelconque des permutations des n lettres données, et que Ton multiplie cette permutation Aq parles fx substitutions de F, on obtiendra fx produits

•*^0i "Il ■'^Si • • «1 Aj|,i,

qui constituent ce qu'on nomme un groupe de permuta-

3lO COURS D*ALGÈBRE SUPÊRIEUaH.

lions. Les substitutions du système F, par lesquelles on passe d'une permutation à une autre, sont dites les sulstitutions du groupe.

Désignons par G, soit le système des N=i.a.3...ii substitutions des lettres données, soit tout autre système conjugué contenant toutes les substitutions du systèmeF. On a vu au n° 425 que, si Ton désigne par m = yiq Tordre du système G, les substitutions de ce système peuvent être représentées de l'une ou de l'autre des deux manières suivantes :

I, S|, S2, • • • f S|ik— 1>

Tit StTi, SjTi, ...,S,a^|T|,

I , Sj , Sj, • • • > S51— 1»

» U^— 1, U^tSi, Uçr jSj, •••9 U^— |Sja__|.

Cela posé, on obtiendra un groupe de m permutations, en multipliant la permutation Ao, prise arbitrairement, par les m substitutions de G ; et, pour eflectucr cette operation, on peut supposer à G Tune ou Tautre des formes

(i)el(s>.).

Employons d'abord la forme (1). La première ligne horizontale est formée des [jl substitutions du système F, cl les produits de la permutation A© par ces substitutions donneront le groupe déjà considéré plus haut, savoir:

Aq, Aj, Aj, . .f A^.j.

Pour multiplier Aq par les subst ilutions de la deuxième

SBCTIOir IV. — CHAPITRE II. 3ll

ligne du tableau ( i), il suflit de faire le produit A^*^ de la permutation A© parTi et de multiplier ensuite ce produit par les substitutions F ; les résultats

a(1) k<^) Ki^) A^*^

qu^on obtiendra ainsi, forment évidemment un deuxième groupe de permutations qui admet les mêmes substitutions que le précédent.

Comme ce que nous venons de dire s^appliqiie évidemment à chacune des lignes du tableau (i), à partir de la deuxième y on voit que le groupe de permutations obtenu en multipliant une permutation Aq par les yiq substitutions du système G est décomposable en q groupes formes cliacun de (a permutations; en outre, ces divers groupes partiels admettent les mêmes substitutions , savoir j celles du système F.

Opérons maintenant delà même manière en employant le système G sous la forme (2). La première ligne du tableau (2) donnera, comme précédemment, le groupe

■"Ot ^i« ^ï» • • • t Aj4 — 1 f

quant aux lignes suivantes du tableau (2), elles donneront pour résultats les produits obtenus en multipliant successivement ce premier groupe de permutations par les substitutions

et, comme ces opérations équivalent à de simples changements dans la notation employée pour désigner les lettres, chacune d'elles transformera le premier groupe en un autre groupe. Il résulte de là que le groupe obtenu en niultipliant la permutation Ao par les [iq substitutions du système G est décomposable en q groupes de fx per- ^nutations tels, qu'on passe d'un groupe à un autre en

3fa COURS d'algèbre supêrirubs.

exécutant une même substitution sur les permutations du premier.

Il peut arriver que les lignes horizontales soient les mêmes dans les deux tableaux (i) et (2). Cette circonstance se présentera nécessairement si les substitutions

forment un système conjugué échangeable avec le système r. Dans ce cas, le groupe de permutations obtenu en multipliant la permutation Ao par lesfiq substitutions du système G est décomposable en q groupes formés chacun de jcx permutations et qui jouissent de cette double propriété, que les substitutions sont les mêmes dans les dii^ers groupes partiels et qiCon passe de l'un de ces groupes à un autre en exécutant une même substitution siu* les permutations du premier,

443. Exemple. — Considérons le cas de quatre lettres a, b, Cj d, et prenons les quatre systèmes de substitutions

conjuguées

Les systèmes G et C sont échangeables, et leur produit G'G, qui est du quatrième ordre, est un système conjufj^ué échangeable avec C; enfin le système conjugi»^ G'' G' G est lui-même échangeable avec G"", en sorte qi* * le produit G"'G^G'G comprend les vingt-quatre subsl- '^ tutions.

Cela posé, multiplions la permutation abcd parle sj^ ^

SECTION IV. CHAPITRE II. 3l3

lème C^CG'G, nous obtiendrons le groupe des vingtquatre permutations, savoir ;

! abcd haàc

acdb i adbc

I cdab I dcba

cabd dbac bdac

dacb bcad cbda

' acbd

abdc

adcb

cadb

bacd

dabc

1 bdac

dcab

cbad

1 dbca

cdba

bcda

Ce groupe se décompose en deux autres ; Tun de ceuxci comprend les permutations des trois premières colonnes, etil admet, comme le second, les douze substitutions du premier genre ; on passe de Tun des groupes partiels à l'autre en exécutant la transposition (i, c).

Le premier de ces deux groupes se décompose luimême en trois autres, formés chacun des permutations contenues dans une même colonne; ici les trois groupes partiels admettent les quatre substitutions du système G'G, et l'on passe d'un groupe à un autre en exécutant une môme substitution de G^^

Enfin le premier de ces trois derniers groupes est décomposable en deux autres qui sontformésyl'un des deux premières permutations, l'autre des deux dernières. Ici chacun des groupes partiels admet la substitution de G, et on passe de l'un à Vautre groupe en exécutant la substitution de G^,

3l4 COURS d'algèbre SUPÉniEURB.