DES INDICES DES SYSTÈMES CONJUGUÉS

Indice d^un système conjugué. — Limite inférieure des

indices supérieurs à a.

444. Pour abréger le discours, je nommerai indice d'un système de substitutions conjuguées formées avec n lettres le quotient obtenu en divisant le produit N = 1 . 2 . 3 • • • n par le nombre qui exprime Tordre du système. Si m désigne Tindice d'un système conjugué

d'ordre ^f on aura

Tordre et l'indice d'un système conjugué relatif à n lettres sont donc deux diviseurs correspondants du produit I . 2.3. . . 72.

L'indice m peut avoir les valeurs i et a, quel que soil le nombre n des lettres, et il serait intéressant de connaître en général les plus petites valeurs qu'il peut avoir quand il est supérieur à 2.

Rufmi, dans sa théorie des équations, a considéré pa^ ticulicrcment le cas de cinq lettres, et Ton peut conclure de ses recherches que :

Dans le cas des cinq lettres, si l'indice d^un système conjugué est supérieur à 2, il est au moins égala 5.

Cauchy, dans un Mémoire qui fait partie du X* Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, a démontré en-

SECTION IV. — CHAPITRE lit. 3l5

suite un théorème plus général duquel il résulte que :

L'indice d ^un système de substitutions conjuguées y formées ai^ec n lettres, ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur au plus grand des nombres premiers qui ne surpassent pas n,

Ety dans le cas où n est un nombre premier, on a ce théorème :

L'indice d'un système de substitutions conjuguées j formées avec n lettres^ n étant un nombre premier, ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur à n,

Cauchy donne à entendre, dans son Mémoire, qu'il chercha à étendre le précédent théorème au cas où n est un nombre composé, mais il ne put d'abord y parvenir que dans le cas de n = 6. Il a, en efiet, démontré que :

L'indice d'un système de substitutions conjuguées, formées avec six lettres, ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur à 6.

M. Bertrand s'est occupé ensuite avec succès de cette même question, et il est parvenu à démontrer généralement, et pour la première fois, que :

L'indice d'un système de substitutions conjuguées, formées avec n lettres, ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur à n (*).

Toutefois la démonstration de M. Bertrand repose sur un postulatum qui semble absolument étranger à la théorie, et, à ce point de vue, elle n'est pas complètement satisfaisante. Le postulatum dont il s'agit a été démontré au n° 4()3, et il consiste en ce que :

«Si /'o/i a 7ï > 7, il y a au moins un nombre premier

n compris entre - et n — 2.

(*) Journal de l'Ecole Poljrtechnitiue, XXX* Cahier*

3i6 COURS d'algèbre supêriecav.

Le raisonnement dont M. Bertrand a fait usage conduit à cet autre théorème démontré auparavant par Abel, dans le cas de /i = 5.

Si l'indice d'un système de substitutions conjuguées, formées ai^ec n lettres, est égal à n^ le système conjugué se compose des i . a. . . (/i — i) substitutions de n — i lettres.

Dans une Note qui fait partie du XXXII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique, j*ai fait voir que si,

entre n — 2 et -> il n'y a aucun nombre premier, le

théorème de M. Bertrand subsiste, pourvu que - soit un

nombre premier. La démonstration n'est en aucune façon modifiée ; seulement on ne peut plus conclure ce corollaire, que, si l'indice d'un système conjugué est égal au nombre n des lettres, le système est formé par les 1 . 2 . . . (tz — I ) substitutions de /i — 1 lettres.

Cette remarque a quelque importance, car il en résulte que le théorème de M. Bertrand comprend celui deCauchj pour le cas de /t = 6, et rend, par suite, inutile la démonstration un peu compliquée qui se rapporte à ce cas particulier. Eln effet, si /i = 6, il n'y a aucun nombre

premier entre n — 2 et ~; mais - ou 3 est un nombre * 7, 2

premier.

M. Bertrand a démontré aussi, dans son Mémoire, le théorème suivant :

Si l'indice d'un système de substitutions conjuguées, formées ai^ec n lettres, n étant ]> 9, est supérieur à rit cet indice est au moins égal à 2 /i .

Plus tard, dans un Mémoire que j*ai présenté àTAcadémie des Sciences, en 1849, j'^^ démontré, sans avoir

SECTION IV. CHAPITRE III. ilj

recours à aucun poslulatum, les théorèmes suivants [*):

I ^ L* indice d'un système de substitutions conjuguées, /armées at^ec n lettres, ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur à n^ à moins que n ne soit égal à 4-

2® «Si l'indice d'un système conjugué est précisément égal au nombre n des lettres, le système est formé de toutes les substitutions de n — 1 lettres, à moins que n ne soit égal à 6.

3° *Si / 'indice d'un système conjugué est supérieur au nombre n des lettres, il est au moins égal à un, powvu que n soit ^ 8.

4* Si l'indice d'un système conjugué, relatif à

n lettres, est supérieur à un, il est au moins égal à

— ^ -9 poun^u que n soit > 1 2.

Lesdémonstrationsquej'ai données de ces propositions ne laissent rien à désirer sous le rapport de la rigueur. Cauchy, de son côté, avait repris la question et il avait obtenu d'autres démonstrations des mêmes théorèmes; ces démonstrations reposent sur des notions nouvelles qui ont une grande importance dans la théorie dont nous nous occupons, et que nous ne pouvons passer sous silence. Mais nous croyons devoir rappeler d'abord les considérations dont rillustre géomètre a fait usage, dans son premier Mémoire, pour établir la première des propositions énoncées dans cet aperçu, ainsi que l'analyse ingénieuse et élégante par laquelle M. Bertrand est parvenu à démontrer son théorème.

445. Théorème de Cauchy. — L'indice d'un syslime de substitutions conjuguées, formées avec n lettres ^

(•) Journal de Mathématiques pures et appliquées, i" série, t. XV.

3l8 CODRS d'algèbre SUPÉniBURB.

ne peut être en même temps supérieur à a et inférieur au plus grand des nombres premiers qui ne surpassent pas n.

En efict, considérons un système G d'ordre fx de substitutions conjuguées formées avec n lettres, et soient

I) Si, Sj, 83, . . > S|fc— 1

ces substitutions. Si on les multiplie à gaucho, pour fixer les idées, par les diverses puissances d'une substitution circulaire quelconque T, dont Tordre p soit un nombre premier égal ou inférieur à /i, on formera le tableao suivant :

TS

TS,

• ■ • , l-^n II

• . • . JL ^M .. 1 f

(jui comprendra up substitutions. Si l'indice — du système G est inférieur à />, on aura up '^> N, et, en conséquence, on trouvera nécessairement deux substitutions égales dans le tableau précédent. Soit donc

T*Sr T'Sy;

• los exposants ot et 6 doivent élrc supposés inégaux, car, si Ton avait S :^ «, il s'ensuivrait Sy ==; S, ou j :^ i. De Tégalilé précédente on tire

T«-*: SyS-> ou TTr SyS7»;

le produit Sy Sf* étant une substitution du système G, distincte de l'unité, on voit que ce système renferme néccs-

SECTION IV. CHAPITRE III. Sip

sairement une puissance Tf de T; il contient donc toutes les puissances de T^. Mais Tordre de la substitution circulaire T étant un nombre premier, cette substitution fait partie de la suite des puissances de Tf, et en conséquence elle appartient au système G.

Le système G renferme donc toutes les substitutions circulaires d'ordre /?, et il s'ensuit (n** 430) qu'il com-

prend N ou ~ substitutions; en d'autres termes, son

indice est égal à i ou à 2.

446. Théorème de M. Bertrand. — L'indice d'un système de substitutions conjuguées , formées ai^ec n lettres, ne peut être en même temps supérieur à !k et inférieur à n.

Ainsi que nous l'avons déjà dit, M. Bertrand admet ce postula lu m : Si nest^ ^^ il y a au moins un nombre

n premier compris entre -et n — 2.

Cela posé, considérons un système G composé des substitutions conjuguées

formées avec 71 lettres, et supposons que l'indice - de ce

système soit inférieur à n. Désignons par p un nombre

premier compris entre - et /i — 2, et prenons arbitraire-

ment/?-r- 2 lettres parmi les n lettres données; formons avec p de ces p 4- 2 lettres une substitution circulaire T d'ordre /?, et avec les deux lettres restantes une transposition U. Cela posé, multiplions les substitutions du système G à gauche, par exemple, par les p puissances de T, puis les produits obtenus par les deux puissances de U;

on formera de cette manière les deux tableaux :

I, Si, 2>2t • • •» **;âr-i»

T, To|, ^S], • • •« Tbj4 i,

T/^1, T^-1 Sj, T^-« S„ .... T^-» S^„

u, us„ us, us^„

UT, UTS„ UTS„ ..., UTS^i,

UT/>-», UT''-» Si, UT^->S„ ..., UT/-*S^.„ dans lesquels on trouve 2/?fx substitutions. Mais, par

hypothèse, p est au moins égal à - et fA est lui-même

N supérieur à - *, donc le nombre de nos substitutions surpasse N, et, en conséquence, il est nécessaire que deux d'entre elles soient égales.

Si ces deux substitutions égales appartiennent au même tableau, on aura, par exemple,

T* Si - T* Sy , ou UT- S, r-r UT« Sy , a et S étant deux exposants inégaux, et il en résultera

T*-r-SyS7-;

la substitution T*~' appartient donc au système G, ^^ Ton en conclut, comme dans le précédent théorème, qi^^ la substitution T fait elle-même partie de ce système.

Si les deux substitutions égales n'appartiennent p-^^ au même tableau, on aura

T«S, -UT*Sy T^USy,

car on peut intervertir l'ordre des substitutions U et ^

qui n'ont pas de lettres communes. De cette égalité on lire, à cause de U~* = U,

d'où il résulte que la substitution T^'^'U appartient au système G, et il en est de môme du carré

de cette substitution. La dilTérence a — 6 peut être nulle, et alors la substitution U appartient au système G ; si a — 6 n'est pas nulle, la substitution T*^*-^' appartient au système G, ainsi que toutes ses puissances, parmi lesquelles figure T, comme dans l'hypothèse précédente. Dans ce dernier cas, T et T"~*U appartiennent au système G, il en est de même de U.

On voit en résumé que Tune au moins des deux substitutions T et U appartient au système G.

Supposons maintenant que Tindice du système pro«

posé ne se réduise pas à i , ou que l'ordre de ce système

ne soit pas égal à N. Alors, parmi les transpositions que

Ton peut former avec les n lettres données, il y en aura

au moins une qui ne fera pas partie des substitutions du

système G ; nous prendrons pour U cette transposition,

^^j d'après ce qui vient d'être établi, toute substitution

circulaire T d'ordre/?, formée avec celles des n — a lettres

données qui ne figurent pas dans U, appartiendra au sys-

^etne G. Celles des substitutions de G qui ne déplacent

P^s les deux lettres de la transposition U forment évidem-

■^eoi un système conjugué G', et, puisque ce système G'

^ï^ferme toutes les substitutions circulaires d'ordre p,

*on ordre est égal à i . 2 . 3 . . . (w — 2) ou à la moitié de

^^ nombre (n" 430). Mais le premier cas ne peut avoir

^^^u, car autrement, Tindice de G étant supérieur à 1,

S. — Alg, sup,. II. 21

3a2 COURS d'algèbre supérieure.

cet indice serait au moins égal à n [n? 441 , Corotfaire), ce qui est contre Thypothèse. Donc l'ordre de G' est

-j et, par suite, l'indice de ce système est

égal à 2.

Le système G' n'a ainsi que des substitutions du premier genre, et, en conséquence, le système G ne renferme aucune des transpositions que l'on peut former avec les lettres relatives à G'. Désignons par U' l'une quelconque de ces transpositions et par T' une substitution circulaire d'ordre p qui ne contienne aucune des lettres de U, mais qui, au contraire, renferme les deux lettres de U, ou au moins l'une d'elles. Comme la transposition U^ ne se trouve pas dans G, la substitution T' appartiendra à ce système, comme on l'a vu plus haut, d'où il suit que le système G renferme toutes les substitutions circulaires d'ordre p que Ton peut former avec les n lettres données;

il contient donc les - substitutions du premier genre que

l'on peut former avec ces lettres. Il est évident d'ailleurs que le système G ne peut renfermer d'autres substitutions puisqu'il ne possède pas les substitutions du deuxième genre formées avec les n — 2 lettres relatives à G'; donc

l'ordre de ce système est égal à - et son indice est éçal

417. La démonstration précédente subsiste quand il n'existe pas de nombre premier entre - et // — i, pourvu

(') Ou nuiail pu tirer imimrdialrnirn! crtlo conclusion des pro|»o*i" tioiis établies aux n**' 440 et 441 ; mais il nous a paru convenable (ler<^(^ sener dans son inti'jjrite le ruisonncment par Icqurl M. Berlrand a e^^b^ son tlH'urèiiie.

que - soit un nombre premier^ dans ce cas, on peut

poser p =^ - ; tel est le cas de n = 6. Mais, quand il existe

un nombre premier p e(rcclivemcnt compris entre - et

n — 2, le raisonnement que nous avons développé peut servir à démontrer une proposition nouvelle fort importante. Effectivement, pour établir que le système G possède Tune au moins des substitutions T et U, il n'est pas nécessaire de supposer, comme nous Tavons fait, que Tindice de G soit inférieur à w ; la même chose a lieu encore

quand cet indice est égal à //, pourvu que Ton ait /?]> ->

et l'on arrive toujours à cette conséquence que Tindice de G' est i ou 2. Cet indice ne peut être égal à 2, car il en résulterait, comme on Ta vu, que l'indice de G serait lui-même égal à 2, ce qui est contre l'hypothèse; l'indice de G' est donc égal à i ; mais alors (n° 4il, Corollaire) l'indice de G ne peut pas être égal à /i, à moins que ce système ne soit formé par les substitutions de n — ï lettres. De là résulte le théorème suivant :

Théorème. — Si l'indice d'un système de substilulions conjuguées est égal au nombre n des lettres, le svsthine se compose des 1.2. 3. . .[n — i) substitutions formées as^ec n — i lettres.

La démonstration ne s'applique pas aux cas de "=^3, 4> 5> 6. 7. Le théorème a été démontré par Abel pour 7i= 5 [OEuvres complètes, 1. 1*% p. 19), et il a lieu *^ssi pour les cas de 72 = 4> 5, 7, comme on leTerra plus ^^ïn. Le .seul cas de /^ = 6 fait exception; nous établirons qu'il existe effectivement un système de substitutions conjuguées de 6 lettres dont l'indice est égal à 6 et qui renferme des substitutions circulaires des ordres 4, 5,6.

3a4 COmS D*AI.G£B11E SUPERIEURE.

Démonstration nouvelle du théorème relatif à la limite inférieure des indices plus grands que a.

448. Je vais faire connaître actuellement la démonstration par laquelle je suis parvenu à établir directement le théorème de M. Bertrand ; j*ai publié cette démonstration pour la première fois dans le tome XV du Journal de Mathématiques pures et appliquées (i"^ série), et je l'ai reproduite dans la précédente édition de cet Ou\Tage. Mais, en la présentant ici, je profiterai des secours que m'offrent les propositions établies dans le Chapitre précédent, ce qui me permettra d'apporter quelques simplifications; la démonstration dont il s'agit sera fondée sur deux lemmes que nous établirons d'abord.

Lemhe I. — Soient G un système de substitutions conjuguées formées a\fecn lettres ^0, ai , ^2, . .. , «/,», ^0» 4ii et G' le système conjugué formé avec celles des substitutions de G qui ne déplacent aucune des deux lettres bof bf Si les systèmes G et G' ont un même indice fi supérieur à ly on pourra construire as^ec les n — a let^ très rtj, «1 , > . », a„^3 un système de substitutions conju-

uérs dont l'indice sera -\ d'oii il suit que le nombre u

rr

est toujours pair.

Dt5signons par v et p les ordres respectifs des systèmes G et G'. Les indices de ces svstcmes seront —^-^'~ — '-^ el

j comme us sont égaux, par liypolhèse,

on aura Posons

G ~ - ï t 5|, oj, ^)3, • . . f ^p— 1» • • • » 2S»|,

O ' — I, î>i, Oj, Oj, • • • t ^f— i»

Si l'on représente par T, , To, . . . , T.,„i des substitutions des n — 2 lettres a, le système des |:zp = i . 2 . 3 . . . f/i — 2) substitutions des n — 2 lettres a pourra (n** 42o) être représenté par

T|» Ti Si, Tj Sj, •••1 »i^?— 1>

et je dis que le système des f/v = i . 2. . ./i substitutions des n lettres est compris dans le nouveau tableau

I, Si, Sj, • • • > S„__ij

*i» TiSj, Tj Sj, •.•t Ti Sy i. J2j < Tj, TjSi, T2S2, .., rjSy—i,

^j*— Il Tji^jSi, Tji i bj, .••» T,t i Sy|,

où les substitutions T sont les mêmes que dans le tableau (i). Il suffît de prouver que ces \tv substitutions sont distinctes. Si Ton avait

on en conclurait

or les facteurs T sont indépendants de io et i|, donc le produit Sy S^', qui est Tune des substitutions Sa du système G, ne contient pas i© et i| ; il en résulte que S^ fait partie du système G'. D'ailleurs l'égalité précédente devient

Tr==T/SA,

ce qui n'est pas possible, d'après la manière doni les substitutions ï ont été choisies pour former le tableau (1).

326 COURS D*ALCÈBRE SUPÉRIEURE.

Le tableau (2) renferme donc toutes les substitutions dos n lettres; or, si Ton applique ces substitutions à une permutation quelconque, il y en aura évidemment 1.2.3. . .(/i — 2) qui transporteront deux lettres quelconques données à deux places déterminées ; d'ailleurs, les substitutions T ne contenant pas i© et, i|, il est évident que toutes les fx substitutions contenues dans une même colonne verticale du tableau (2) donneront à b^ et à h^ les mêmes places; il y aura donc, dans la première ligne horizontale du tableau, c'est-à-dire dans le

1.2.3. . .1/7 — ■ 2 ) système G, — — — — ' ou p substitutions qui trans*

porteront &o et &i à deux places quelconques et qui, en conséquence, substitueront ces lettres, dans la permutation primitive, à deux lettres quelconques, parmi lesquelles &o et i| peuvent se trouver; en particulier il y aura précisément p substitutions qui échangeront ft# et h^ entre elles. Si Ton pose

ces p substitutions seront de la forme

us;, us',, us', us;j.

S',, S',, . . ., Sp i étant des substitutions indépendantes de ho et de i|. Aucune de ces substitutions S' ne peut se réduire à Funité, ou plus généralement à l'une des substitutions du système G'; car, si S\ appartenait à G', et par suite à G, comme US^ est aussi une substitution de G, il en serait de même de U. Je dis que cela ne peut être; en effet, on a vu que les substitutions S/ de G peuvent substituer Z>o et A| à deux lettres quelconques, et inversemeni substituer deux lettres quelconques à i© et A| ; d'après cela, si U appartenait à G, il en serait de même de toutes \vs substitutions de la forme S/US"*, c'est-à-dire de

toutes les transpositions; l'indice de G serait alors égal à I , ce qui est contre Thypothèse.

Cela posé, prenons dans le système G les p substitutions de G' avec les p précédentes, il est évident que les ic substitutions obtenues, savoir:

j us;, US',, us'„ ..., us;^„

formeront un système conjugué. En effet, les produits S/Sy et US' X VS'j = S\Sj appartiennent à G, et, comme ils sont indépendants de bo et de 6|, ils font partie de la première ligne du tableau (3); pareillement le produit S/XUS} = UxS|S), appartenant à G, fait nécessairement partie de la seconde ligne du tableau (3). On peut conclure de là que les substitutions

. ,^ l ïi Si, Sj, . . ., Sj^i,

\*i ) c' vi' c' c'

forment un système de 2p substitutions conjuguées de

72 — 2 lettres ; l'indice de ce système est égal à -5 comme ou l'avait annoncé.

449. Lemme II. — Soient G un système de substitutions conjuguées, formées avec n lettres ao^aif an, . . . , ^n-m^-iy bo, b^j . . . , bm^^j et G' le système composé de celles des substitutions de G qui ne déplacent aucune des ni lettres b. L'indice de G ne peut être inférieur à l'indice (x de G', et, si on le représente par p -f- i, on pourra former un système G| de substitutions cojijuguées de n — m lettres, dont l^ indice /jt| sera égal ou inférieur à^, et dont toutes les substitutions seront contenues dans le sjstème G.

33o COURS d'algèbre SUP^.niF.URE.

liplie ses substitutions par X substitutions convenablement choisies, les produits obtenus

comprendront les i.a.3...(/z — m) substitutions qui ne déplacent pas m certaines lettres f je désignerai par ^'#> ^'. » • • • > '^/i-i ces 771 lettres, et par a\,a\, . . . , <^'„«--i les 71 — 771 autres. Soient

les Ci substitutions de G qui ne déplacent pas les m lettres i', on obtiendra le système de toutes les

substitutions des lettres a\ en multipliant G| par certaines substitutions indépendantes des lettres b\ qui feront évidemment partie des facteurs i, U|, Uj, ••.,

Ux i, et que Ton peut représenter par

alors on aura

|X| p, = I . SI . 3 . . . ( /^ — m \

ci le nombre fx, , égal ou inférieur à 1, exprimera Tindice (lu système G| dont toutes les substitutions sont contenues dans G.

AoO. Ces lemmes établis, nous passons à la démonstration des théorèmes que nous avons en vue.

TnÉORÈUB I. — Le nombre n étant impair, si l'indice d'un système de substitutions conjuguées , /armées ai^cc n lettres, est plus grand que a, cet indice est égal ou supérieur à n; et, quand il est égal an, le système conjugué est composé de toutes les substitutions que l'on peut former ax^ec n — i lettres.

Le théorème est évident dans le cas de // = 3 ; car, l'indice du système étant supérieur à a, il est nécessairement égal ou supérieur à 3. En outre, si cet indice est égal à 3,

l'ordre du système est — rr*— ou 2, qui est un nombre prc-

mier. Le système est alors formé des deux puissances d'une substitution circulaire du deuxième ordre, c'està-dire d'une transposition.

Il résulte de là que, pour établir le théorème énoncé dans toute sa généralité, il suffît de prouver que, s'il a lieu pour // = n'y il subsiste aussi pour w = w'h- 2. En d'autres termes, nous pouvons admettre que le théorème a lieu quand on remplace, dans son*énoncé, n par /? — 2, le nombre n étant un nombre impair, au moins égal à j.

Soient G le système conjugué donné dont nous supposons l'indice supérieur à 2, et G' le système conjugué composé de celles des substitutions de G qui ne déplacent pas deux lettres choisies arbitrairement parmi les n lettres données. D'après ce que nous admettons, l'indice de G' ne peut être en mcme temps supérieur à 2 et inférieur à n — 2; cet indice sera donc l'un des cinq nombres

ou bien il sera supérieur à «, auquel cas l'indice de G sera lui-même plus grand que n. Nous allons examiner successivement ces cinq hypothèses.

i** L'indice de G' est 1 . — Comme, par hypothèse, l'indice de G n'est pas i , cet indice est égal (n"* 4i0 et 441 ,

33^ COURS d'alGÈDRE SUPéRlEDRE.

Corollaires) à l'un des nombres /?, -^ -y nln — i^,

et en outre, si cet indice est égal à /i, le système G est composé de toutes les substitutions de /i — i lettres.

2** V indice de G' est 2. — Dans ce cas, Tindice de G, qu*on suppose diflTérent de 2, est Tun des nombres an, n{n — i), 2/i(/i — i) (a°*440et 441); il est donc supérieur à n,

3** L'indice G' est n — 2. — Dans ce cas, Findice de G ne peut être égal à n — 2, d'après le lemme I (n" 448), parce que n — 2 est un nombre impair. Si Tindlce de G est égal à n — i ou à /?, on pourra former, d'après le lemme II (n"449), un système conjugué de substitutions de 71 — 2 lettres, dont l'indice sera i ou 2 et dont toutes les substitutions seront contenues dans G; on rentre dore dans Tune des deux hypothèses précédentes, quand Tindice de G n'est pas supérieur à n,

4" L'indice de G estn — i . — Dans ce cas, l'indice de G ne peut être n — i ; car, si cet indice était /i — 1, on pourrait former, d'après le lemme I, un système conjugué de

substitutions de n — 2 lettres, dont l'indice serait -»

Or, si n est^-S, le nombre est supérieur à 2 et

il est inférieur kn — 2; nous admettons d'ailleurs que rindice d'un système conjugué relatif k n — 2 lettres ne peut être en même temps supérieur à 2 et inférieur ù n — 2; donc Thypollièse que nous discutons en ce moment est inadmissible quand n est supérieur à 5. Mais elle l'est aussi lorsque /i = j, car dans ce cas l'indice de G ne peut pas être supposé égal à n — i = 4« puisque 4 n*cst pas un diviseur du produit 1.2. 3.

L'indice de G, s'il n'est pas supérieur à /i, est donc égal à n\ mais alors, d'après le lemme II, on pourra foriuor

un système conjugué de substitutions de n — 2 lettres, ayant i pour indice et dont toutes les substitutions seront contenues dans G. Ou rentre ainsi dans la première des liypothèses que nous venons d^examiner.

S® Ij indice de Gf est n. — Dans ce cas, l'indice de G est nécessairement supérieur à n\ car, d'après le lemme I, cet indice ne peut être égal à /i, puisque n est un nombre impair.

On conclut de là que rindice de G supposé plus grand que 2 ne peut être en aucun cas inférieur à /i, et que si cet indice est égal à w, le système G est formé par les substitutions de /i — i lettres.

45i. Tméobème II. — Le nombre n étant pair, si l'indice d'un sj sterne de substitutions conjuguées formées ai^ec n lettres est plus grand que ^j cet indice est égal ou supérieur ii n, le cas de n ■=> ^ étant excepté. Et, si l^ indice du système est précisément égal à n, celuici est composé de toutes les substitutions formées a^ec n — I lettres, le seul cas de n = 6 étant excepté.

Soient G le système conjugué donné, et Gq le système conjugué formé parcelles des substitutions de G qui ne déplacent pas une lettre choisie arbitrairement parmi les lettres données. Nous supposons que l'indice de G est supérieur à 2 ; quant à Tindice de Go qui se rapporte à n — I lettres seulement, il ne peut, d'après ce qui précède, être en même temps supérieur à 2 et inférieur k n — i, puisque /2 — i est un nombre impair. Cet indice de G© sera donc l'un des nombres

ou bien il sera supérieur à n, et, dans ce cas, Tindice de G sera lui-même plus grand que n. Nous allons examiner les quatre hypothèses précédentes :

I** L'indice de Go est i. — Dans ce cas, Findice de G est égal à n (n**440, Corollaire)^ puisqu^on suppose cet indice différent de i .

•i? L'indice de G© estTL, — Dans ce cas, Tindice de G est égal à aw (n** 440), puisqu'on le suppose diflercnt de 2.

3* L'indice de G© estn — i . — Dans ce cas, comme n — I est impair, lesvstèmeGo (n"4o0) est formé par toutes les substitutions de /z — i lettres, et son indice, qui est plus grand que i , est égal (n°* 440 et 441 ) à l'un

des nombres /î, — --> n[n — i), pourvu cependant

que 71 soit p 4 (*)• En outre, cet indice ne peut être égal à n que dans le cas où G renferme toutes les substitutions de n — I lettres.

4** L indice de Go est n, — Alors l'indice de G est égal ou supérieur à /z ; il nous reste à examiner le cas où cet indice est précisément égal à n.

Remarquons d'abord que la première partie du théorème énoncé se trouve établie par ce qui précède, savoir: Si le nombre pair n est supérieur à 4, l'indice d'un système conjugué, relatif à n lettres, ne peut être à la fois supérieur à i et inférieur à n. Dans ce qui va suivre, nous supposerons n — O- î> cl, par suite, //]; S. Désignons par GMe systcnie conjugué formé par celles des substitutions de Gq qui ne déplacent pas l'une des n — I lettres relatives à Go, lettre qui peut d'ailleurs éln' choisie à v()h)nté. L'indice de G' ne peut être à la fois supérieur à a et inférieur à// — 2, d'ailleurs il n'est pas supérieur à n\ donc il a pour valeur l'un des cinq

r*) Nous avons vu (n° ilV.I} qu'on jxhiI former avec quatre lt>Ur«>4 in 6\ft(ènie (le «ulislitutionsi conju(;uèc& dont l'ordre rst 8 et dont l'indicect cunhét|uemincnt è[;al à 3.

SECTION IV. — chapithe III. 335

nombres i, a, n — 2, /i — i, n. Le cas où cet indice serait l'un des nombres 71 — 2, n — i se ramène immédiatement, par le lemmelly au cas où il serait i ou 2; or je dis que ce dernier cas ne peut avoir lieu ; car, si rindice de G' est i ou 2, Tindice de Go sera nécessairement Tun des nombres i, 2, [n — i), 2(w — i) (n**440) dont aucun ne peut être égal à n. L'indice de G' est donc égal à n ; mais alors, d'après le lemme I, on pourrait former un système conjugué de substitutions de // — 2 lettres, dont rindice serait -■> ce qui est impossible, puisque

l'on a

Donc notre dernière hypothèse est inadmissible, si le nombre n est supérieur à 6. Elle peut au contraire avoir lieu quand n =:^Gy ainsi que nous allons l'établir ; mais elle est impossible quand n=^^, puisque, 4 n'étant pas un diviseur du produit 1.2.3, l'indice de Gq ne peut pas être égal à 4« Ainsi le cas de /z = G constitue la seule exception à la deuxième partie de notre théorème.

Du système conjugué d'indice 6 qui comprend 1 20 substitutions de six lettres, et qui n'est pas formé par les 120 substitutions de cinq lettres,

452. Il résulte de la démonstration précédente que, si un tel système existe, celles de ses substitutions qui ne déplacent pas deux lettres quelconques forment un système conjugué de substitutions de quatre lettres, dont l'indice est 6, et dont Tordre est, en conséquence,

' ' '^ OU 4' Ce système d'ordre 4 ne peut renfermer, outre l'unité, que des substitutions circulaires du qua-.

33() cotns uAiGÈeiiK sti'ÉaiELBe,

trièmc ordre, des substitutions régulières du deuxième ordre formées de deux cvclcs, ou des irausposît ions. Mais il ne saurait y avoir de transpositions, car le système entier des substitutions des six lettres n'en saurait contenir, comme on l'a vu dans la démoustralion du lemnie du a" 448, lemme qui embrasse le cas que nous considéroos ici. Si le système d'ordre 4 dont il est question n'est pas composé des quatre puissances d'une substitution circulaire du quatrième ordre, il comprendra, outre ruDÎtê. les trois substitutions régulières que l'on peut former avec les quatre lettres; donc on y trouvera, dans tous les iuLstïtulion régulière formée de deux transposi-

tions. Et, I

rue il

jaquit

e combinaisons de six lellre*

quatre à quatre, le système conjugué G dont nous nous occupons doitcomprendrequinzesubstitutionsréj^ulièrcs formées chacune de deux transpositions. Or deux substitulions de cette espèce qui auraient uu cycle commun et une troisième lettre commune ne peuvcnl figurer dans G. car le produit de deux telles substitutions est évidemment une substitution circulaire du troisième ordre; donc, si l'on distribue les quinze transpositions des six lettres en cinq groupes de trois transpasilions, de Iclle manière que les six lettres figurent dans les trois transpositions d'un même groupe, on obtiendra les quinte substitutions régulières de G, en faisant tes produits deux à deux des transpositions contenues dons un même groupe. Toute autre substitulion régulière de la même espèce a nécessairement un cycle commun et une troisième lettre commune avec l'une des quinze dont nous venons de parler, et par conséquent elle ne peut pas être contenue dans G; ainsi ce système ne renferme pas les trois substitutions régulières formées avec les quatre mêmes lettres, ci. par suite, il contient une substilutiou ciiculaiic de ces quain lettres.

Soient

les lettres données, et supposons que le système G renferme les puissances de la substitution circulaire

Le même système doit renfermer une substitution circulaire U|, formée avec les quatre lettres a, i, c, <?; on peut supposer que a soit mis au premier rang dans Ui; mais alors c ne pourra occuper la troisième place, car, si cela avait lieu, le produit des deux substitutions régulières U^ et UJ, qui auraient un facteur (a, c) commun, ne contiendrait que deux transpositions ayant une lettre commune i, et il se réduirait à une substitution circulaire du troisième ordre, laquelle ne peut figurer dans G. Il faut donc que c occupe dans U| la deuxième -ou la quatrième place, et alors'il occupera dans UJ la quatrième ou la deuxième. J'appellerai U| celle de ces deux substitutions dans laquelle c occupe la quatrième place: on aura donc

pareillement, le système G renferme deux substitutions circulaires du quatrième ordre dont chacune est le cube de l'autre, et qui sont formées avec les quatre lettres a, i, c, f\ je désignerai par Uj celle de ces substitutions dans laquelle c occupe la deuxième place, et Ton aura

Uj — (rt, c, / 6) ou \S^—[a,c,b,f],

Mais, si l'on prend la première valeur de U|, il faudra prendre la deuxième valeur de Ua, et inversement, car autrementU' etUJ auraient une transposition commune, et leur produit se réduirait à une substitution circulaire du troisième ordre. Rien ne distinguant jusqu'ici les Ict-

S. — Alg, sup,, II. 33

très e et y, nous ferons

Cela posé, en appliquant successivement les substitutions Ll, U|, Ua à une permutation quelconque, on trouve

UiU= (n,e, c, fi, 6),

On voit donc que le système G renferme les trois substitutions circulaires

Urrr («, b,C,d), T = {a,€,C,fi, b), S=(/7,|., b,C,dJ)

(les ordres respectifs 4> 5, 6 ; ce système s'obtiendra donc en multipliant à droite ou à gauche, mais toujours de la même manière, les puissances de U parcelles de T, puis les résultats obtenus par celles de S. En opérant ainsi, on formera bien 6x5x4 ou 120 substitutions distinctes, car il est évident que deux produits, tels que S*T^U', S^'T^U'', ne peuvent être égaux, à moins que l'on n'ait Â^ = A , / =y, a = i. Mais il reste à faire voir que ces 1 20 substitutions constituent réellement un système con-

En premier lieu, les systèmes conjugués formés l'un avec les puissances de U, l'autre avec les puissances de T, sont échangeables entre eux. On a efiectivement

c'csl-à-dire

et, en élevant à la puissance p,

U^Ti^U-^ = Ti^«\ d'où U^Ti^r=1>«*l]^

ces deux systèmes fournissent donc, parla multiplication, un système conjugué de uo substitutions relatives à cinq

SECTION IV. CHAPITRE III. SSp

lettres; en mettant ao^a^ a^^a^ya^ au lieu dee, c, d^ bf a, on ferait coïncider ce système avec celui que nous avons rencontré au n® 436.

En second lieu, le système conjugué

dont nous venons de parler, est échangeable avec le système conjugué formé par les puissances de S. D'abord, il est facile de vérifier que, quel que soit/z, on peut trouver un entier m tel, que chacune des substitutions