S'^US

On a donc, quel que soit n,

ou

§/« xS" = P/, S'" US" = P„

TS« = S-"» P/, US" =:.: s-'» P,-,

m et I ayant des valeurs convenables. Il résulte de là que tout produit de la forme PyS* peut être ramené à la forme S'' Pa; en effet, Py est un produit composé de facteurs T et de facteurs U, et, d'après ce qui précède, on peut faire avancer successivement S* d'un rang vers la gauche, en modifiant chaque fois convenablement l'expo-

34'> coL'tis d'alcIdre SUPÉniEI

sanlv; après avoir répété celle opéralion plusieurs fob, il est clair que PyS' se trouvera remplacé par une expression de la forme S''P^. Le système des substitutions F it celui des puissances de S étant échangeables entre eu\. on obtiendra, en les multipliant l'un par l'autre, un sjs lème conjugué d'ordre 34 X 5 ^^ lao ou d'indice G.

Il importe de remarquer aussi que le système dont nous venons de prouver l'existence comprend des substitutions du premier genre et des substitutions dudeuxîème genre en nombre égal. En conséquence, les substitutions du premier genre constitueront un système conji d'ordre 60 et dont l'indice sera égal à

Des systèmes transitifs de substitutions conjiiffuèes.

433. Lorsque les substitutions d'un système conjugué permettent de substituer successivement l'une des lettres à chacune des autres, le système est dît transiiij. Il est inlransiri/ dans le cas contraire. Celte distinction des systèmes conjugués en transitifs et întransitifs est due À Cauchy ; elle a une très-grande importance dans la théorie qui nous occupe.

Plus généralement, si les substitulions d'un système conjugué permettent de substituer m des lettres ilonnc«s àwi lettres quelconques, nous dirons que le système cslwi fois transitif.

Si un système de substitutions conjuguées est m fois transitif, les substitutions du système permettent de substituer m lettres quelconques à m lettres quelconque. En

effet, le système prnpost

étant su

ppoi

I fois transitif.

il y a m lettres a,, a^, ■ . ■. a„ qu'on peut substituer i m autres quelconques £,, &,, ..., An. distinctes ou non des premières. Réciproquement, les substitutions du système permettent de remplacer fii, a^, ■ ■ ■, fin> par ^n

SECTION IV. CHAPITRE lll. 34 1

^29 "'9 ^my et, en conséquence, elles peuvent substituer ces dernières lettres à fti lettres quelconques.

Il est évident que le système de toutes les substitutions formées avec n lettres est// — i fois transitif, et que le système qui comprend toutes les substitutions du premier genre formées avec les mômes lettres est w — 2 fois transitif.

On voit aussi qu'un système de substitutions conjuguées formées avec n lettres est transitif, quand il renferme une substitution circulaire d'ordre n ; mais cette condition n'est pas nécessaire. En général, un système conjugué de substitutions de n lettres est m fois transitif, quand il renferme m substitutions circulaires des ordres respectifs n, n — 1 , . . . , /z — m 4- 1 . Par exemple, le système d'indice 6, dont nous nous sommes occupé au n** 452 et qui est composé de 120 substitutions conjuguées de six lettres, est trois fois transitif, car il admet trois substitutions circulaires des ordres respectifs 6, 5, 4-

4o4. Théorème I. — L^ ordre d^un sjstème m fois transitif, de substitutions conjuguées de n lettres, est un multiple de n{n — i ) . . . ( /i — m -h \); end ^autres tenues, l 'indice du sjsthne est un di\^iseur du produit

En effet, soient Ao, A|, Ao,... les 72 (w — i )...(/? — w-j-i) arrangements m à m que Ton peut former avec les n lettres données, et

celles des substitutions du système proposé G qui remplacent les lettres de l'arrangement A/ par celles qui occupent respectivement les mêmes rangs dans Ay. Désignons, en outre, par T Tune des substitutions de G qui

34 2 couns d'algèbee supÉiiiEvaB*

remplacent les lettres de Ay par celles de A/^, il est clair que les p substitutions

ll^Q, J.l^|« ta)], • • •« -t*^*— 1

remplaceront les lettres de A/ par celles de A/^. Le nombre

des substitutions qui remplacent A/ par A;^ ne peut donc

être moindre que le nombre de celles qui remplacent A/

par Ay, et réciproquement ce dernier nombre ne peut

être inférieur au premier.

Il résulte de là qu'il y a, dans le système proposé, un

même nombre p de substitutions qui remplacent Farran-

gement donné A/ par chacun des arrangements Aq, A|,

An, .... Si donc on appelle /x l'ordre du système G, on

aura

11=1 n[fi — 1 ) . . . (/i — /n H- I ) X p,

et rindice du système sera

Cet indice est, en conséquence, un diviseur du produit 1.2.3. . .[n — m) et Ton voit en outre qu'il est égal à l'indice du système conjugué formé par IcsjO substitutions qui remplacent Tun des arrangements A/ par lui-même. De là résulte la proposition suivante :

Corollaire. — Si tin s) sterne G de suhstifiifions con^ j liguées est in fois transitif y celles des substitutions de G qui laissent immobiles m lettres choisies à volonté forment un système conjugué G' dont rindice est égal à [indice de G.

4S5. Théorème II. — Un système de substitutions conjuguées dont V indice est supérieur à i ne peut être m fois transitif s'il renferme une substitution qui ne dé-

place que i lettres j le nombre i étant supposé égal ou inférieur à m.

EneiTet, supposons que le système proposé G renferme une substitution S qui ne déplace que i lettres ; le nombre m étant au moins égal à i, et le système G étant m fois transitif, ce système renferme une substitution T qui remplace les i lettres contenues dans S par i lettres choisies arbitrairement ; par conséquent, il renferme aussi la substitution TST~*, qui est une substitution quelconque semblable à S.

La substitution S étant décomposée en cycles, soit

et formons la substitution semblable

d — L< V>| Lia • • • ,

le produit

appartiendra au système G. Si Tordre yi du cycle C est supérieur à 2 et que Ton ait

nous ferons

et nous aurons

SS'— ( «0» ^î» ^ij-

Le cas de itji= 3 est compris dans ce qui précède : on a alors C' = G; mais, si u. = 2 et que Ton ait

comme il y a au moins une lettre a^ non contenue dans S,

nous ferons

Cl I

344 COURS d'algèbee supéeiedrb*

et nous aurons encore

Ainsi, dans tous les cas, G renferme une substitution circulaire du troisième ordre ; donc, si m est égal ou supérieur à 3, G renferme toutes les substitutions circulaires de troisième ordre, et en conséquence son indice est égal à I ou 2 (n» 430).

Le cas de m = 2 échappe à cette analyse ; mais, dans ce cas, le système G contient par hypothèse une des transpositions formées avec les lettres données ; donc il les renferme toutes et son indice est égal à 1 .

CoROLLAiEE. — Un Système de substitutions conjuguées doublement transitif, dont V indice est supérieur à n^ne renferme aucune transposition; pareillement^ un sj'stème triplement transitif dont T indice est supérieur à 2y ne renferme aucune transposition et aucune substitution circulaire de trois lettres,

456. Théorème III. — Si V indice d^un système m fois transit^ de substitutions conjuguées formées avec n lettres est supérieur à 2, cet indice est un multiple du produit 1.2.3. .. 7/2 .

En effet, soient

"Oi ^1» ■"î» • • •• Aji

les

M = 1 . 2 . 3 . . . ^Ai

permutations formées avec m des lettres données choisies arbitrairement, et

'» M, Tj, . . ., Tu i les M substitutions de ces mêmes lettres. Soient aussi

SECTION IV