TC(M-I

OÙ S['^ désigne généralement des substitutions qui ne dépendent pas des m lettres contenues dans les arrangements A. Le produit de deux quelconques de ces substitutions appartient au système G ; d'ailleurs il est de la forme T, S', S' étant indépendant des m lettres contenues dans A; donc il fait nécessairement partie du tableau précédent; il en résulte que les MjO substitutions de ce tableau forment un système conjugué. On voit en outre que les substitutions S, qui figurent comme facteurs

34â COURS d'algèbue supÉmEURS.

dans deux substitutions de ce système, ne peuvent être égales entre elles ; en effet, il est évident que, si ]== i, on ne peut trouver dans notre tableau les deux substitutioDS Ty S et T/S, et la même chose a lieu s\j est différent de i, car autrement on trouverait aussi (Ty S) (T,S)~* ouTyTf*, ce qui est impossible d*après le théorème II (n® 455), puisque cette substitution ne déplace que m lettres an plus. En conséquence, les MjO facteurs S du précédent tableau, savoir:

S^if

si".

c{M-l) c^.M-i) o(M-l) q(II-1\

constituent un système de MjO substitutions conjuguées formées avec n — m lettres ; l'ordre M p de ce système est donc un diviseur du produit i.2.3...(/i — //i), et Ton a

Or, par le théorème I (n° 456), le premier membre de celte égalité est précisément J'indice du système G : cet indice est donc un multiple de 1.2... m.

Remvrque. — Le théorème que nous venons d'établir comprend, comme cas particulier, la proposition que nous avons présentée au n° 4i8 à litre de lemmc. On peut effectivement conclure de ce qui précède le corollaire suivant :

Corollaire. — Si un s) stème de substitutions conju^ guées formées av^ec n lettres est m fois transitif y et t/uô

V indice fx de ce système soit supérieur à ^, on peut former un système de substitutions conjuguées de n — m

lettres dont Vindice est