tn

457. Théorème IV. — Vu système de substitutions conjuguées den lettres j dont l'indice est supérieur à 2,

ne peut être plus de - fois transitif ( * ).

En effet, quand Tindice fx d'un système m fois transitif de substitutions formées avec n lettres est supérieur à 2, cet indice est en même temps un multiple de 1.2... met un diviseur de i.2.3...(/i — m). On ne peut donc pas

avoir

m^ n — m ou m>> -•

On peut même ajouter que : Si n est supérieur à 6, il n^ existe point de système de substitutions coujuguées formées av^ec n lettres dont Vindice soit supérieur à 2,

et ijui soit - fois transitif

En effet, si un tel système existe, désignons-le par G et soit T Tune de ses substitutions. Supposons que la substitution T remplace les - lettres

par

(') Ce théorème a été démontré par M. Émilc Mathieu dans un Mémoire qui fait partie du tome V du Journal de Mathématiques pures et appliquées (3* s rie); M. Mathieu a également démontré le ihcorème U dans ^e Mémoire.

348 COURS D*ALGÈB11E SUPÉllIEUne.

le système G renferme une substitution U qui remplace ces -dernières lettres par

b étant une lettre diflférente des - lettres a dont est formé

le premier arrangement ; la substitution UT = S ne se réduit pas à Tunité et elle ne déplace pas les lettres a^, a^, .,,j a„ ; donc le système G renferme une sub-

s ti tut ion qui ne déplace que — i- i lettres.

Décomposons cette substitution S en cycles, et soit

siTdésigneunesubstitutionquelconquedeG,TST~'=S' sera une substitution de G semblable à S ; posons

»J — VI Ll| Vi^ f • • • •

Comme S et S' ne renferment que — h i lettres, on peut choisir T de manière que Ton ait

on aura alors