SS' = CC

La substitution SS' appartient à G, et l'on peut même choisir à volonté les lettres de C, à Texception d'uuc seule. Supposons que Ton ait

Si I = 9,Cseréduità («0,^1), C'sera delà forme(&o»^«)' en choisissant Tune des lettres Aq, i| parmi celles qui

ne figurent pas dans S ; la substitution SS' ne déplaçant au plus que quatre lettres, on a nécessairement (n^ 455)

-23 ou /i^6.

Si 1 est > 2, on peut faire

C' = i<lo> *» ^/-i» ^/-l» •••» ^i]'y

on n'est pas libre du choix de & ; si cette lettre diflFère de a^y le produit SS' ou CC est [a^^ i) («i, a^)» et l'on conclut, comme précédemment, que n est au plus égal à 6. Si la lettre b n'est autre que a^ on a

ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas de /i = 4, où l'indice du système deux fois transitif est 2.

Des ex /cessions susceptibles de représenter l'indice

d'un sj sterne intransitif.

4o8. Soient G un système intransitif de substitutions conjuguées den lettres, et

les a lettres que a^ peut remplacer par les substitutions de G. Si ai et aj désignent deux quelconques de ces lettres, le système G renfermera deux substitutions telles que

or le produit de la deuxième substitution par Tinversc de la première a pour ellel de remplacer la lettre aj par ai : donc les substitutions de G peuvent transporter l'une quelconque des lettres « à la place d'une autre lettre quelconque du même groupe. Réciproquement, toute lettre susceptible de remplacer une lettre aj par les subsli-

35o COURS D* ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tutions de G appartient au même groupe; car, si la lettre a peut remplacer ay, par une substitution de G, cette substitution, combinée avec Tune des précédentes, permettra de remplacer a par a^ et, conséquemment, la lettre a fait partie du groupe considéré.

Soit &i Tune des lettres données non comprises dans le groupe précédent ; le raisonnement que nous venons de faire prouve que b^ fait partie d*un deuxième groupe de lettres

qui ne peuvent que s'échanger entre elles par les substitutions de G, et, en continuant ainsi, on voit que les n lettres données peuvent être partagées en divers groupes

^1» ^f* • • • » ^a« ^ii ^fi • • •» ^e»

de telle manière que les substitutions de G ne puissent

qu'échanger entre elles les lettres de chaque groupe. Eo

d'autres termes, chaque substitution S de G sera de la

forme

A, B, C, . . . étant des substitutions qui ne déplacent respectivement que des lettres a, des lettres b, des lettres c, etc.

Il est évident que les substitutions A forment un système transitif relatif à a lettres, et de même les substitutions B, C, . . . forment des systèmes transitifs relatifs à 6 lettres, à y lettres, etc. Désignons par X l'indice du système conjugué formé des substitutions A, et par ij fiodice du système G.

11 peut arriver que les substitutions A soient en même

SSCTIOIf IV. CHAPITRE ITf, 35 1

nombre que les substitutions de G, et, dans ce cas, on aura

d'où

Mais, si Tordre /x du système A est inférieur à l'ordre v de G, il y aura nécessairement dans ce dernier système des substitutions telles que AT, AT', composées d'une même substitution A et de deux substitutions T, •T' indépendantes des lettres r/, .... Le produit de Tune de ces substitutions par Tinverse de Tautre ne déplace pas les lettres a et, en conséquence, le système G renferme un certain nombre p de substitutions

If It» 1;» •••» i|

qui ne dépendent pas des lettres a et qui forment un svs* tème conjugué que nous désignerons par G'. Maintenant, soit Aj T' Tune des substitutions de G qui renferment le facteur A|, ce système contiendra les p substitutions

A|T, A|TT|, AiTTj, ..., A|T Tp i,

<fiaîs il ne contiendra aucune autre substitution renfer- Qiant le facteur A| ; car une telle substitution peut se 'netire sous la forme A, T'0, et, si elle figurait dans G, ^ y figurerait aussi. Comme A| désigne Tune quelconque oesfi. — 1 substitutions du système A, distinctes de Tunité, ^■^ Voit que G contient up substitutions^ ainsi Ton a ^^"^l^p, ou, en désignant par Ç* Tordre du système G',

• ff

35^ COURS d'algèbre SVPÉRIEUnff.

ce qui donne

{i) g= : î-:J?.li^'' ^ j^c{.

Si Ton suppose que le système G/ se réduise à la seule substitution égale à i, on aura

en sorte que Ton peut regarder la formule (i) comme comprise dans la formule (2).

On peut raisonner sur le système G' comme nous l'avons fait sur le système G, et Ton aura en conséquence

^ ~ (i.2.3...'sy[iV2~; . .;/i^ « — «)"] ^^y '

iil> étant l'indice d'un système transitif relatif à S lettres, et Ç'^ rindice d'un système relatif kn — a — o lettres.

On peut continuer ainsi jusqu'à ce qu'on rencontre dans la série G, G', G'', ... un système conjugué qui ne soit plus intransitif et qui se rapportera alors au dernier des groupes de lettres données; les formules précédentes donneront

(3) Ç— K.c^ifi,C...,

en posant

^i .2.3. . .a) ^i .2.3. . .6)(i .2.3. . -y)... avec

La formule (3), qui a été indiquée par Cauchy, nous fait connaître l'expression des nombres susceptibles de représenter les indices des systèmes intransitifs.

4o9. Il faut remarquer que la formule (a) peut s'écrire

et, comme a ne peut avoir que les valeurs i , 2 , . . . , n — T , le premier facteur de cette expression de Ç est Tun des

nombres

dont le minimum est n. D'ailleurs JL et ^ sont des entiers, donc Ç est au moins égal à n. On voit même que, pour avoir Ç = /i, il faut que Ton ait

et alors le système proposé G est évidemment composé cfes 1 . 2 . 3 . . . ( /i — I ) substitutions de n — • i lettres. La formule précédente montre encore que, si Ç est su-

P^r^eur à /i, cet indice est au moins égal à la plus petite

de^ valeurs

Sic y la limite des indices supérieurs à 2, dans le cas

des systèmes transitifs.

4^0. Nous présenterons ici avec quelques modifications la démonstration que Cauchy a donnée du théorème de M. Bertrand, dans un Mémoire inséré au tome XXI des Comptes rendus de V Académie des Sciences.

I^'après ce qui précède, l'indice d'un système intransî-

l» ne peut être inférieur au nombre des lettres; donc,

p<^ur établir le théorème que nous avons en vue, il suffit

^^ considérer les systèmes transitifs.

^e dis que l'indice d'un système transitif G relatif

s — Alg, sup.f 11. a3

354 COURS D*ALCÊBRB SUPÊRIEUKB.

à n letires ne peut être en môme temps supérieur à a cl inférieur à n, à moins que n ne soit égal à 4- Pour cela nous distinguerons trois cas.

1 ° Le système G est simplement transitif. — Dans ce cas le système G', qui comprend celles des substitutions de G qui ne déplacent que n — i lettres, est in transitif et son indice est égal ou supérieur kn — i . Cet indice est aussi celui de G, et je dis qu'il ne peut pas être égal â n — 1 si n est > 4» En effet, si G et Gravaient n — i pour indice, le système G'(n** 459) serait formé par les substitutions de /2 — i lettres, et ces substitutions feraient partie de G ; or le système G ne peut pas contenir toutes les substitutions de n — i lettres, car autrement il ne serait pas transitif, ou il serait composé de toutes les substitutions des n lettres, et alors son indice serait égal à 1 . Cela étant, si n est ^: -4^ on ne peut pas admettre que le système G, d'indice n — i, renferme toutes les substitutions de 71 — a lettres; car, si cela avait lieu, l'indice

de ce système serait égal à l'un des nombres ' %

n{n — i) (n° 441, Corollaire)y ce qui implique contradiction. Donc, si n est " > 4> l'indice de G' ou de G est au moins égal (n° 4o9) au plus petit des deux nombres

2 (« — I ) , • Par suite cet indice est supérieur à 72.

2® Le système G est deux fois transitif — Alors le système Cest simplement transitif, et si Ton a n — 1>4» l'indice de ce système, qui est aussi celui de G, sera au moins égal au plus petit des deux nombres

lesquels ne sont pas inférieurs à 72, quand n est supérieur

à 5. Nous nous référons pour le cas de nir=^5 slu théorème du n** 415.

3° Le sjstèmc G est au moins trois fois transitif. — Soient a^y a^ . . . , a;,.| les lettres donaées et

les substitutions de G. Désignons aussi par T/ la transposition [a^ai). Si l'on multiplie la droite, pour fixer les idées, par

■■•Oï * Il • • • » *■ n — 1

les substitutions de G, on obtiendra n^t. produits qui seront distincts, si l'indice de G est supérieur à 2 ; car si Ton avait

on en conclurait

Tr'T,=SA-',

et par conséquent la substitution Tf * Ty ferai t partie de G. Or ce produit est une substitution circulaire de trois lettres, à moins que Tun de ses facteurs ne soit égal à 1 , et dans ce cas elle se réduit à une transposition. D'ailleurs, dans notre hypothèse, le système G ne peut renfermer une telle substitution (n** 455, Corollaire)', donc les //a produits que nous avons formés sont distincts, ce qui exige que tî/i ne soit pas supérieur à 1.2...//, c'est-àdire que l'indice de G soit au moins égal à n.

35r> COURS d'algèbre supérieure.