DES SUBSTITUTIONS
Sur les fonctions linéaires de la forme —. — -r-, • •^ ^ a X -f- V
461 . Les développements que je me propose de présenter ici nous conduiront à des conséquences intéressantes au point de vue de la théorie des substitutions, et ils trouveront en outre plus loin leur application dans la théorie des équations.
Soit posé
a y b, d y V étant des quantités quelconques données; faisons aussi
il est très-aisé d'avoir Texpression générale de 6'*x. Soit
en
effet
on pourra écrire, d'après la loi de formation des fonctions 6^»r, 6'a:, . . . ,
— rt'r/,„«, -+-^^/^j,
-iah„,^ -f- h //^,,
fL
Pour tirer de ces équations les valeurs de a;„,a„,A;„, il,, en fonction des quantités connues a, a', i, i', désignons
par z une quantité telle, que Ton ait les équations (3) donneront
d'où Ton tire
Eln outre, l'équation (4), qui est du deuxième degré, a deux racines, et si l'on désigne ces racines par :; et z' ^ on aura encore
( a^-^ az' =' a->t- a! z'Y",
Les équations (5) et (6) déterminent les valeurs de «,»,
En faisant, pour abréger,
(7) 2^--- siV^'-^b'Y^^^'ab'^n;^']^
et
ip^ — (rt-f- //-h 2^;/'' -h (rt4-// — 2^)
on trouve aisément
tn ^tn
358 COURS d'ai.gèdre supÉRiscns.
équations dont on déduit
en sorte que, si Ton a
on aura aussi
402. On connaît donc les coeflicients de la fonction 6"' a- en fonction des quantités connues a, A, tf', b'. A la vérité, notre analyse semble en défaut si t est nulle, car, dans ce cas, les racines ;; et z^ étant égales, les équations (6) ne différent pas des équations {3 ; mais, comme les équations (8) et (9) ont lieu quelque petite que soit ly il en résulte qu'elles subsistent pour £ = o : on a, dans ce cas,
et, par suite,
ma
ni 2'"~
mb a -i- ///"-»
Ici los quantités a y i, «', // doivent vérifier l'équation
(I2J (ci-^-b';-=z^[ab' -bii'\
SKCTIOW IV. CHAPITRE IV. BSp
et Ton peut écrire la valeur de B'^x comme il suit :
On voit que, si l'on fait croître indéfiniment le nombre m, ù'^x converge vers la quantité
(a — b']x -\- lb
là X — \^a — b' ^
, ,, , a — b' — 'yb qui a pour valeur 1 une des constantes ,-> 77»
lesquelles sont égales entre elles en vertu de la relation (12).
463. Proposons-nous maintenant de trouver la condition nécessaire et suffisante pour que Ton ait identiquement
(i3; Qv-x^x,
c'est-à-dire
On voit immédiatement qu'on doit exclure le cas particulier où Ton aurait
caries équations (11) montrent que, pour satisfaire aux équations (i4); î' faudrait que Ton eût
par suite,
ah' — bà —- o,
et alors la fonction ôxne dépendrait pas de x. Cela étant, on voit par les équations (9) que, pour satisfaire aux équations (i4}y il ^^^ nécessaire et suffisant que l'on ait
Z6o COURS D^ALGÈBBE SUPÉEIEURE.
OU
On tire de là
\ îi. 'X '
et
en désignant par X un nombre entier qu'on doit supposer premier avec yi pour qu'il faille effectivement exécuter |x fois sur X l'opération désignée par Q avant de reproduire X.
La comparaison de cette valeur de 2 1 avec celle qa*on tire deTéquation (7) donne
(16) (^-4.^';î 4w,^'^,a')cos»^" —o;
tx.
ce qui est la condition nécessaire et suflisante pour que Ton ait
Si Ton suppose que les quantités a, b, d^ V soient réelles, Téquation (16) montre que la quantité ah' — hâ doit être positive, le cas de jtxi^ 2 élrnt excepté. Et comme on peut, sans changer la fonction ôx, multiplier les constantes <7, i, (j! y h' par un facteur quelconque, on voit que, sans altérer la généralité de la solution,, on peut supposer
• (17) «//— ha =1^ l;
alors Téquatîon (16) donne
(18) a -\- b' ziz 2COS --•
Nous ne mettons pas le signe zh devant le second membre, parce qu'on peut, si on le juge à propos, changer les signes des quatre quantités a, b, a, b\
Des équations (17) et (18) on tire
3Gi
h'=: — la — 2 CCS — \ t
bz=z —
2acos h I
et la fonction dx a pour valeur
