ATT . /W ATT

c' — 7. a cos 1- 1 sin

, AîT

sm —

. ( m -4- ï ) ).7r . m\it sm ^ rt sm

. a;t sm —

36^ COL'tlS D*ALGkBRE SUPÉRIBUEE.

Des équations ( i y ) et ( 2 1 ) on tire

m\Tz\

(aa)

rnhz

a:,, — 2^»,cos

-hl

/ . >7r . ( w — I ) >7r a^n sm h sin —

/7JA7r

a ^=za

sm —

fl.» — 2rt,„cos - — T- 1 sin --

m Air

sm ^

«m sm —

Ces formules permettent de résoudre Ja question suivante :

Etant donnée une fonction linéaire !"— :r^ » trouver

Âï'

une fonction linéaire Ox = -— 77 telle, que Von ail

identiquement

-,^ et (/:^x =r J-.

On voit que le problème n'est possible que si les quantités données Um, b„,, a,^, V^ satisfont aux équations (aa].

Des fondions rationnelles linéaires prises suivant un

module premier,

404. Nous allons considérer ici, à un point de vue particulier, les fonctions rationnelles linéaires de la forme

dans laquelle z est une variable indépendante. Nous supposerons que les constantes a, A, «', V soient des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, et nous conviendrons, en outre, de prendre les résultats suivant un module premier impair p\ en d'autres termes, nous regarderons comme équivalents les entiers qui sont congrus relativement au module. Les développements qui vont suivre conduisent à des conséquences intéressantes pour la théorie des nombres et qui sont surtout utiles dans la théorie des substitutions ; je les ai présentés, pour la première fois, dans un article inséré au tome XLVIII des Comptes rendus de V Académie des Sciences,

Comme nous faisons abstraction du cas où 03 se réduit à une constante, la différence al?' — ba' ne sera jamais congrue à zéro suivant le module/;; cette différence sera dite le déterminant de la fonction linéaire Bz, On peut» sans changer cette fonction, multiplier les quatre constantes a, i, a', // far un même nombre /; le déterminant se trouve alors multiplié par A^, et il sera, après comme avant la multiplication, résidu quadratique ou non-résidu quadratique de p. D'après cela, nos fonctions linéaires peuvent être classées en deux genres; le premier genre comprendra les fonctions dont le déterminant est résidu quadratique, tandis que celles dont le déterminant est non-résidu constitueront le deuxième

364 COURS d'algèbre supérieobe.

genre. Mais on voit que l'on pourra toujours faire en sorte que, dans le premier genre, le déterminant soit an résidu quadratique quelconque donné, i par exemple, et pareillement que, dans le deuxième genre, le déterminant soit un non-résidu quelconque donné.

L'expression générale de 9^ comprend des fonctions entières et des fonctions fractionnaires ; les premières peuvent être ramenées à la forme

et les dernières à la forme

A désignant dans les deux cas le déterminant de la fonction.

Dans les formules (s) et (3), le déterminant A peut recevoir les p — 1 valeurs

parmi lesquelles il y a autant de résidus que de non-résidus; les constantes y et g peuvent recevoir les mêmes valeurs, et, en outre, la valeur zéro. 11 s'ensuit que le nombre des fonctions entières est/^(/; — i) en comprenant la variable z elle-même, et que celui des fonctions fractionnaires est p^{p — 1 ) ; par conséquent, le nombre total N des fonctions linéaires suivant le module p est

et le nombre des fonctions du premier ou du deuxième genre est - N.

16o. Soient 6z et QtZ deux fonctions rationnelles linéaires prises suivant le module/?; pour abréger le discours, nous nommerons produit de la /onction linéaire

6i z par Oz le résultat Ô9« :; que Ton obtient en exécutant d'abord sur la variable z l'opération désignée par &|, puis sur le résultat 9| z l'opération désignée par Ô ; cette définition s'étend naturellement au cas de trois, de quatre, etc., fonctions linéaires. Le produit de m fonctions linéaires égales à 9z, c'est-à-dire le résultat que l'on obtient en exécutant m fois sur z l'opération 6, sera la m**"* puissance de 02, et nous la représenterons par 6'"z. Le produit de deux fonctions linéaires a pour déterminant le produit des déterminants des facteurs. Si, en effet, on pose

az-\- h n,z -4- h*

on aura

[ftnx-^ hn\]z^ [ab^-h bb\] Az-!-B

^'''~ [a'a,-\b'a\)z^- yT^7ù~b\) "~ Â'T-i-'U''

(AB' — BA') =: [nb' - On ] [a,b\ - b, a\].

On conclut de là que le produit de tant de fonctions linéaires que l'on voudra est une fonction linéaire dont le déterminant est égal au produit des déterminants des facteurs ; d'où il suit que la fonction produit appartiendra au premier ou au deuxième genre, suivant que le nombre des facteurs du deuxième genre sera pair ou impair.

Il est évident que l'ensemble de toutes les fonctions linéaires forme un groupe tel, que le produit de plusieurs fonctions du groupe fait aussi partie de ce groupe. On voit par ce qui précède qu'il en est de même de l'ensemble des seules fonctions linéaires du premier genre, mais non pas de l'ensemble des seules fonctions du deuxième genre.