Considérons la série indéfinie

(5) z, Oz, f/^z, OH, ...,

formée par la variable z et les diverses puissances de la fonction linéaire 03 pour le module premier /?• Comme le nombre des fonctions linéaires est limité, la suite précédente ne pourra jamais offrir qu'un nombre fini de valeurs distinctes suivant le module p, et, parconséquent. quelques-uns des termes de cette série se trouveront nécessairement reproduits une infinité de fois. Supposons que Ton ait identiquement

^74-///, ^^mj OU 6'»ô'»z— O'^z (mod./?),

on pourra écrire z au lieu de 6'"r, et l'on aura identiquement

(6) ^^z^.ziiz (mod. />], d'où l'on conclut aisément

quels que soient les entiers positifs X et p. On peut convenir d'étendre cette formule à toutes les valeurs positives, nulles ou négatives de jO, en sorte que l'on aura en particulier

(7) C^z^zzBz (mod. 77)

et

(8) 0-^ z ~ 0'*-^ z (mod./;).

Si n désigne le plus petit nombre tel, que la congruence (6) ait lieu identiquement, la série (5) ne comprendra que les n termes distincts

(9) 3, Oz, Ô'z, .. ., O^-^c,

et deux quelconques de ces termes seront effeclivcmenl incongrus suivant le module p, au moins tant que s

restera indéterminé; le nombre n sera dit V ordre de la Ibnction linéaire Qz pour le module p.

Si e est un nombre premier avec n et inférieur à /z, la fonction 6*z sera, comme 9z, de Tordre /i; car, si Ton suppose les termes de la suite (9) rangés en cercle et qu'on les compte de e en e à partir du premier z, c'està-dire en suivant Tordre

il est clair qu'on ne reviendra au point de départ qu'après avoir rencontré les n termes. Au contraire, si les nombres n ei e ont un plus grand commun diviseur d supérieur à 1, on se trouvera ramené au point de départ

après avoir rencontré - termes, et Tordre de la fonction O^z sera égal à -•

La fonction 6~* z, définie par la congruence (8), sera dite Yins^erse de 05 ; on peut obtenir immédiatement sa valeur; car, si l'on remplace z par Gr^z dans la congruence (i), il vient

d'où

en sorte que les fonctions Qz et 6~* z se déduisent Tune de l'autre en changeant a et V en — V et — a.