Soit, comme précédemment

az '\- h

Oz = — , —j

et posons en outre

368 COURS d'algèbre SUPÉBIECnC.

si l'on fait, pour abréger, comme au n° 461,

(12) o.t — ^[a -h ^' )* — 4 [ab' ~ ba' ),

( p^— (a + ^' H^arj^'-f- [a -^ b' — ar)*», (i3) I (^+.^,'^. ^.^]m/a^^' 20*"

on aura les équations déjà considérées

n rrz: , £>-, .'=: c> j

, Q/n ,' r>//i— '« — '^'îQ

et qui sont comprises dans les formules

Désignons par A le déterminant ab' — bd de la fonction Bz et par ù^m celui de B'^z] posons en outre

(16) 1t„, r^ sl[a^ -4- O' — 4 («^/« ^m - ^««Lij i

on aura, par les formules (i4) ou (i5),

On voit que, dans le passage de la fonction 0z à sa ^ième puissance B'^z, les rapports des quantités a — b\ b, a\ t à Tune d'elles restent invariables et que le déterminant se trouve remplacé par sa //i**™'' puissance; cette dernière propriété résulte d'ailleurs de ce qui a été dit plus haut.

Les formules (i4) montrent que B"^ z ne peut jamais être une fonction entière autre que z, à moins que 0^ ne soit elle-même entière; car, si a! n'est pas nul, a]„ n^ peut s'évanouir que dans le cas où Ton a Q„ = o, ^^ alors on a i;w :r:= o et Um = b',^.

Pour satisfaire à la congruenec (6), il faut et il suffit que Ton ait

(i8) Qn = o [mod.p);

mais, pour que n soit efTeclivement l'ordre de la fonction Ozy il faut en outre que pour toute \aleur de ?n inférieure à n la quantité Q,« soit différente de zéro ; nous faisons ici abstraction du cas oxiOz est du premier ordre, c*est-à-dire du cas oiiOz se réduit à z.

Nous nous proposons d'étudier les fonctions linéaires 6z au point de vue de leur ordre. Il convient dans cette recherche de distinguer trois cas, suivant que la quantité t^ est congrue à zéro suivant le module p, résidu quadratique de ce module, ou non-résidu quadratique.

468. Examinons d'abord le premier cas où la quantité t^ est congrue à zéro suivant le module/?; la congruence (i8) devient alors

2/i(a -4- b')'^^^::20 (mod./?).

On ne peut pas avoir a -h b' -nz^ o (mod. p), car autrement la condition ^eizzo [mod. p) se réduirait à

ali' — ba' IZ20 (mod./?);

le déterminant deOz serait nul et cette fonction se réduirait à une constante. La congruence (i8) ne peut donc avoir lieu que si n est un multiple de p, et par conséquent, dans le cas qui nous occupe, l'ordre de la fonction linéaire 6z est toujours égal au module p. La condition t-^i-o (mod. p) donne

a -\- b' Ei^ 2 ^/ 1 (mod.p);

d'où il suit que le déterminant A est résidu quadratique ^e p^ et, par conséquent, la fonction 6z appartient au preiïxier genre.

&• — jii^, sup., II. 24

370 corns D^i.ckBRE supériecre.

On obtiendra toutes les fonctions linéaires d'ordre p en prenant tous les systèmes de solutions distinctes des deux congruences

n -h 0' :l^ 2 \' \ , nlf — ha =3 A ( nioil. p ;

si Ton veut d'abord les fonctions entières, on posera a'=:o, b'=jf ce qui donnera a = ^=^i; on aura donc les /) — i fonctions d'ordre p

(19) Oz:=Z~\-b,

en prenant pour i les valeurs successives i , a, ..., p — t. Pour avoir les fonctions fractionnaires, nous feroo» a' -— 1 et nous poserons

a — ù'=z2g, ce qui donnera

en sorte que Texpression des fonctions fractionnaires d'ordre p. sera

On peut attribuer à la quantité g les p valeurs

et à la quantité y2ï les mêmes valeurs, zéro exccplc. on obtiendra ainsi p[p — i) fonctions fractionnain*s. Il suit de lu que le nombre total N^, des fonctions linéairo> d'ordre p est

(ai) N,,: :{p-^~l'i [p -i;.

Comme tout nombre inférieur i\ /; est premier avec ce nombre, tontes les puissances d'une fonction linéaire d'ordre/; sont aussi de cet ordre; il en résulte que les

SECTION IV. CHAPITRE IV. Sjl

N^ fonctions dont nous venons d'établir Texistence forment/?-f-i groupes renfermant chacun p — i fonctions qui sont les puissances de Tune quelconque d'entre elles. Les p — I fonctions comprises dans la formule (19) constituent évidemment Tun de ces groupes, et Ton obtiendra les p autres groupes par la formule (20) en associant successivement chacune des p valeurs de g* avec le système des p — I valeurs de yfA. Effectivement, si Ton forme, en se servant des formules (i4) ou (i5), la puissance ^ieme jg \^ fonctiou Qz douuéc par Téquation (20), on trouve

expression qui se déduit de celle de ^^ par le seul changement de ^/A en - y/a.

469. Lorsque la quantité t^ est différenle de zéro, la congruence (18), savoir

(23) [a-i-b' -^-2^)'» — (rt-4-ô' — arl" (mod./?;, peut être mise sous la forme

(24) a-^ b' -T- ^trr2i[a -!- b' — 2/) (mod./?),

en désignant par i une racine de la congruence

(25 ) i" =^ I ( mod. p ) .

EIn outre, pour que n soit effectivement Tordre de la fonction Qz, il est nécessaire que i soit une racine primitive de la congruence précédente.

Si, dans la congruence (24), on substitue à f sa valeur tirée de la formule (12), puis qu'on fasse disparaître, par

3^2 COURS D ALGEBRE SCPÉRIEURB.

Télévation au canrc, le radical introduit, il viendra .^6; 7—= — [mod.yj,;

au — tJti i

telle est la condition à laquelle doivent satisfaire les coih stantcs rt, by a', b\ pour que le nombre n soit l'ordre de la fonction Oz^ dans Tli^pothèse où t est différent de zéro. Si Ton pose

'>'■'! a — b' zz^ igy

on pourra, au movcn des formules (12), [^^)cX {t^\ exprimer les quantités a, //, ba' et le déterminant û en fonction des quantités^, t^ i\ on trouve ainsi

à ~ - ~ t — Sf

ba'

Ces formules serviront à construire les fonctions linéaires que nous considérons ; on pourra faire a' z-^ 1 quand celle quantité ^/' ne sera pas nulle. 11 est aisé de former aussi la puissance m»*"*' de Ozy savoir

on trouve, en faisant usage des formules (14) ou (i3) ci en supprimant un facteur commun, ce qu'il est permis de faire,

SECTION IV. CHAPITRE IV. Sjî

en sorte qu'on passe de Texpression de 0z à celle de 9"*z en remplaçant simplement i par i'" sans changer les valeurs de g et de t.