Supposons que la quantité

soit résidu quadratique du module y?. Alors les quantités teii, respectivement défmies parles formules (12) et (24)» sont l'une et l'autre réelles ; par suite, i ne peut être racine primitive de la congruence (aS) que dans le cas où l'ordre n de la fonction 6z est égal k p — i ou à un diviseur de^ — I. Les fonctions linéaires qui répondent à une racine primitive i de la congruence (2j) peuvent être formées immédiatement au moyen des formules (28).

Pour avoir en premier lieu les fonctions entières, on fera a =:=o, i' = i, et Ton aura ces deux solutions :

t := g -- , a =. i Vt t z= — if -rr , rt r=i :■»

qui donneront les 2p fonctions entières iz-^ by -^ z-^b

si l'on attribue à b les valeurs successives o, i, 2, ..., p — I. Mais nous considérerons seulementlesp fonctions fournies par la première formule

(3o) tz-{-b

comme appartenant à la racine î; les p autres seront relatives à la racine primitive T si 72 est ^ 2, et, dans le cas

particulier de /i = 2, elles coïncideront avec celles de la formule (3o).

I^our avoir en second lieu les fonctions fractionnaires,

374 COURS d^lgèbue supérieure.

on fera d =:= i dans les formules ( 28 ) et Ton aura

/ — 1 4 it*

le changement de f en — t dans les formules (3i) équivaut au changement de i en - ; donc, lorsqu'on doit employer successivement toutes les racines i, on peut se

borner à donner à t toutes les - — ■ valeurs

Quant à la quantité gy elle peut recevoir les p valeurs

On obtiendra de la sorte, au moyen des formules (3i),

' '. fonctions fractionnaires relatives à la racine 1,

ce qui, avec les p fonctions enlicrcs, donnera un total de

- {p-hi)p fonctions linéaires. Et cela aura lieu encore

dans le cas de 72 = 2, bien qu'alors la congruence ( aS) n'ait (|iie la seule racine primitive — i, car, cette racine étant é^alc à son inverse, les formules (3i) ne changeront pas par le changement de t en — t,

11 est facile de voir que les -- \P'- »)/' fonctions qui

répond(»nt à une racine 1 sont distinctes de celles qui se

rapportent aune deuxi(>mo racine primitive, en sorte que,

si ç(/i) désigne le nombre des racines primitives de la

congruence (25), il y aura un nombre de Amctions

SECTION IV. CnAPlTRE IV. Zj5

d'ordre n égal à

pour lesquelles la quantité t^ est résidu quadratique de p. En particulier, le nombre des fonctions linéaires d'ordre p — I sera

^{p — i) désignant ici le nombre des racines primitives pour le nombre premier p.

Quant au nombre total des fonctions linéaires pour lesquelles f^ est résidu quadratique de/;, et dont Tordre /î est en conséquence un diviseur de p — i, il sera donné par la formule

l'expression \ cp(7i), qui s'étend à tous les diviseurs n

de p — I , I excepté, est égale, comme on sait, k p — 2; on aura donc

Ces N ., fonctions linéaires peuvent être partagées

en - f/7 -|-i)/7 groupes contenant chacun /7 — 2 fonctions,

qui sont les p — 2 puissances d'une fonction linéaire d'ordre /> — 1 relative à une racine primitive donnée de/;. En eiïet, il est évident que toutes les N^i fonctions que nous considérons seront données par les formules (3o) et (3i), en employant toutes les racines de la con-

gruence

/^~' — I m; G \ raod . /? ) ,

excepté 1 ; et ces racines ne sont autre chose que les

3yG couns d\lgebre supéhieure.

p — 2 premières puissances d^une racine primitive i. Or, en employant celte racine primitive, les équations (3oi

et (3i) donnent-(;:7-|-i)y? fonctions d'ordre/? — i: d'ail-

leurs les formules (29) montrent que les puissances de ces fonctions se déduisent des fonctions elles-mêmes, en remplaçant la racine primitive i par ses puissances; on aura donc toutes les fonctions linéaires que nous considérons en prenant les - {p-h- i)p qui répondent à la

racine primitive donnée i, et en formant le groupe des p — a premières puissances de chacune d'elles.

Les formules (3i) montrent que A et 1 sont en mémo temps résidus ou non-résidus quadratiques de p;\\ s'ensuit que les fonctions dont nous nous occupons appartiendront au premier ou au deuxième genre, suivant que la racine i à laquelle elles se rapportent sera résidu ou non-résidu quadratique de p. Or, pour les fonctions d'ordre p — i , i est non-résidu ; donc ces fonctions et leurs puissances impaires appartiennent au deuxième genre, tandis que les puissances paires appartiennent au premier genre. On voit aussi que, parmi nos N^-i fonctions, il v en a

qui appartiennent au premier genre, et

-7 [p-^^)pip—^] qui appartiennent au deuxième genre.