Examinons maintenant le cas où la quantité

SECTION IV. CI1APIT1\TÎ IV. 877

Don-résidu quadratique du module p. Alors la quant est imaginaire, et pour que a et V soient réelles, il t, parles formules (28), que la racine i soit elle-même iginaire, ou qu'elle soit égale à — i; dans ce dernier on a nécessairement /i =^ 2. Je dis que généralement lombre /i, qui marque Tordre delà fonction 6^, est l à p -î- 1 ou à un diviseur de y^ -4- 1 . Si Ton a /ï = 2, Toposition est évidente, car 2 divise p-hi; supposons ic w >• 2. Si Ton pose

ongruence (26) devient

) /--- 2//-4- 1 -ro (mod. p).

sait (n*' 372, théorème III) que les racines de la conence irréductible (34 ) peuvent être représentées par/ ^j et, comme le produit de ces racines est congru à i , a

) /■/"*-' = 1 (mod./?);

; peut donc être racine primitive de la congruence (20) ; si n est égal à /? -4- i ou à un diviseur de p -f- i . yaprès la congruence (34)> A' désigne la demi-somme

• deux racines conjuguées i gI -•» et il en résulte que

is attribuerons au radical qui figure dans le second mbre de cette formule celle de ses deux valeurs qui partie de la suite

SjS COURS d'algf.due supérieure.

la seconde valeur du radical sera alors relative à la racine -7 inverse de i. Cela posé, comme l'hypothèse «'-"O

rendrait f^ résidu quadratique de/?, le cas que nous extniinons ne comprend pas de fonctions entières ; on peut donc faire a! m^ i et les formules (28) donneront alors

Ces formules feront connaître les fonctions linéaires qui répondent à la racine 1 en donnant kglfisp valeurs

o, I, 2, . . ., yy — I, et en prenant successivement pour v tous les noc-

rcsidus. On aura ainsi - p(p — T fonctions linéaires

d'ordre n relatives à la racine 1, et il faut remarquer que l'on obtiendrait en même temps les puissances de ces fonctions en remplaçant la racine i par ses diverses puissances. On voit aussi que le nombre de toutes le* fonctions d'ordre n que nous considérons est

çj/(//) désignant, comme précédemment, le nombre Je? racines primitives de la congrucnce (aj . Celte conclu" sîon s'applique au cas de // -^ .> ; alors on n'a que»* seule racine primitive z :^ — i qui donne aussi A = — *•

Les formules (3()) font ainsi connaître - p^ p — i ^^ p[p — I ) 9 ( ^ ) fonctions linéaires du deuxième 0

SECTioir IV. — cnAPiTRE IV. 379

pour lesquelles t^ est non-résîdu quadratique de p. Si Ton suppose n = p-r- i, on obtient l'expression

du nombre des fonctions linéaires d'ordre p-*- \,

Enfin, si N,,+ i désigne le nombre total des fonctions linéaires pour lesquelles L^ est non-résidu quadratique de Pj et dont Tordre est en conséquence un diviseur de /; -; • I , on aura

or l'expression \ 9(^1)» qui s'étend à tous les diviseurs des p -f- 1 autres que 1 , est égal à p ; donc

(37) N;,^! - ly/ ,,.,).

Ces Ny,...i fonctions linéaires peuvent être partagées en

"pip — i) groupes contenant chacun p fonctions, qui

sont les p premières puissances d'une fonction linéaire d'ordre /;-f-i, relative à une racine primitive donnée de p.

Enefict, lesN^4.i fondions dont il s'agit seront données parles formules (36) en employant toutes les racines de la congruence (35), excepté i, et ces racines ne sont autre cbose que les p premières puissances d'une racine primitive i. Or, en employant cette racine primitive, les

formules (36) donneront - f)[p — i) fonctions linéaires

d ordre p -\-i\ d'ailleurs les puissances de ces fonctions ^ déduisent des fonctions elles-mêmes en remplaçant la racine primitive i par ses puissances ; on aura donc toutes

3So couns dVlgèbhe supérieure.

les fonctions linéaires dont nous nous occupons en prenant parmi ces fonctions les -/^(/^ — i) qûî répondent

à la racine i, et en formant le groupe des p premières puissances de chacune d'elles.

Les formules (36) montrent que les quantités ùk et

sont toutes deux résidus quadratiques de /?, ou

toutes deux non-résidus; je dis que ces quantités sont résidus ou non-résidus, suivant que l'ordre n de la fonc-

tîon Oz divise ou ne divise pas On a en effet, par

la congruence (34)»

= '- — , mod. p),

et, en élevant à la puissance ^ —t

' • ' * l'"^') )(mod.;>^;

mais on a

/ s =-î-i ou / « E== — I (mod./ij,

suivant que n divise ou ne divise pas ; on aura donc.

dans les m<}mes hypothèses,

- J £=2-hi ou ( j =—1 (mod./,,

SECTIOIf IV. CHAPITaS IV. 38 1

c'est-à-dire

A>E:3-hi ou A«=3— I [mod. p].

Il résulte de là que les fonctions linéaires d'ordre y? -I- 1 appartiennent au deuxième genre, ainsi que leurs puissances impaires ; au contraire, les puissances paires appartiennent au premier genre. Donc, parmi nos fonctions dont le nombre est N^^.i, il y en a

qui appartiennent au premier genre, et

qui sont du deuxième genre.

472. Si Ton ajoute Tunité et les trois nombres Np, iVy,i, Ny,^i, on doit retrouver le nombre N de toutes les fonctions linéaires prises suivant le module p ; on vérifie effectivement, au moyen des formules (4), {21), (32) et (37), que Ton a bien

si l'on désigne en outre par G le nombre des groupes distincts qui sont formés par les puissances d'une fonction linéaire d'ordre p^ p — i ou p-hi, il est aisé de s'assurer que l'on a

Il convient de remarquer les fonctions du deuxième ordre qui se distribuent dans les deux genres que nous avons distingués. Les unes sont les puissances de degré

^ des fonctions d'ordre p — i , leur nombre est

383 COURS d'alg^dre supéhieo&e.

- /^ (/?-+- 1), et elles apparliennent au premier genre oc

au deuxième genre suivant que est pair ou impair,

c'est-à-dire suivant que /; a la forme 4^ ~^ i ou la forme