VI * I
4<7 -+- 3. Les autres sont les puissances du degré- —
des fonctions d'ordre p-,- i; leur nombre est - /Wy; — i .
et elles appartiennent au premier ou au deuxième genre
suivant que est pair ou impair, c'est-à-dire suivant
que /; a la forme 4<7 ~'- 3 ou la forme 4^ -H i . On voit que le nombre total des fonctions du deuxième ordre est égal à p'^. Dans ce cas de // = a, où l'on a / = — i, la congruence ('>.()) se réduit à a -r- J' - o (mod. p\ ; il en résulte que Texprcssion générale des fonctions du deuxième
ordre est
az ''- b
on arrive au môme résultat au moyen de la formule (io\ puisqu'une fonction du deuxième ordre est égale à son inverse.
t73. On voit, par les développements qui préccdenl. que, pour former les dilfércnls groupes qui conticnncn! les puissances d'une même fonction linéaire pour le module premier /;, il sutlira de connaître une racine primitive de chacune des congruenccs
I, //■+-'i^i I mod. y? .
Les racines de la première ne sont autres que les racines primillNCs du nombre premier/;, et Ton a vu aun"3T* comment on peut obtenir les racines primitives do '•* deuxième congruence. Veut-on, par exemple, former ici
fonctions linéaires d'ordre p-{- i pour les modules 5, 7, 1 1 , il sufïira de trouver une valeur de A" pour chacun de ces modules. Or les racines primitives i sont données, pour ces différents cas, par les congruences
' ' "lo (mod. 5),
"O (mod. 7y,
/iî,)(/î,) ,
' ^ ' 1.— o (mod. Il ,
ou
/" — /-+-i^-o (mod. 5),
/' iti 4 ' "*" ' ^=^ o ( mod. 7 ) , /■- di Cw" -T- I rz: o ( mod. i i ) ;
on a donc /• = 'i pour le module 5, / ~ ih: 2 pour le module jy clh =^ — i pour le module 1 i.
Des /onctions analy tiques propres à représenter les
substitutions.
474. Dans la plupart des cas où Ton a à considérer les substitutions de plusieurs quantités données, il convient de représenter ces quantités, comme nous avons déjà eu Toccasion de le faire, par une même lettre affectée d'un indice variable z susceptible de prendre un nombre de valeurs distinctes, égal au nombre n des quantités données. Alors les substitutions qu'on doit exécuter portent sur les indices.
Attribuons successivement 'd zlcs n valeurs dont cet indice est susceptible, et supposons qu'une fonction donnée f{z) de z prenne en même temps les mêmes valeurs, abstraction faite de Tordre ; on exécutera sur les quantités données une certaine substitution en y rem-
384 cocRs d'algèbrb supérieubs.
plaçant chaque indice z ^btJ'^z), Cette substitution pourra être représentée par
OU plus simplement pary(^).
Toute substitution peut ainsi être représentée analvliquemcnt par le mojcn d'une fonction; supposons, par exemple, que les valeurs de l'indice z soient les n nombres
et que ces mômes nombres soient dans un ordre différent.
a, 0, Cy - . . , /*;
si Ton fait, pour abréger,
et qu'on désigne par F'(c) la dérivée de F (5), la fonction entière
a?'z\ hV^ X-F's^
prendra les valeurs a, b, c, . . . , A', quand on donnera à z les valeurs o, 1, :2. . . . , [n — i): en conséquencOr elle sera propre à représenter une substitution.
475. Lorsque le nombre n des quantités données est égal à un .nombre premier/;, il y a souvent avantage à prendre pour indices un système de /; nombres entiers quelconques incongrus suivant le module />, et à regarder deux nombres congrus suivant le module comme pouvant indifféremment représenter le même indice. Alors la fonction représentée par V{z) au numéro précédent
se réduit ù
t Ton a
F'(z)==— I (mod.p).
In même temps l'expression des fonctions entières y*(z), ropres à représenter les substitutions, devient
. ^ a(zP--.z) b{zP-z) A'izP-^z) . , .
u, en effectuant les divisions,
(z) =— alzP-^ — i) — ^(z/»-» -+■ zP'^-h . . . -f- s) j
— r(s''->-4- izP-^-\-. ..-\-iP-^z) \ (mod./?).
lomme on a
«-i-^-4-cH-...-f-/'==o (mod. /?),
n peut écrire, en ordonnant par rapport à ::,
'(z)=^/--[^ + 2/'-'c-f-.. -ir [p — l]P-'i l,]z
(mod./?).
— [6 -f- 2C H "4- (/^ — \)li]zP-^
476. Dans un article qui fait partie du tome LVII des Comptes rendus de V Académie des Sciences, M. Herlîte a démontré que les polynômes f{z) dont nous ^cons de donner l'expression possèdent une propriété ui peut servir à les caractériser. On a effectivement ce ^écréme :
Théoïième. — Soient f[z) une fonction entière de r, Coefficients entiers et du degré p — 2, et fm{z) la fonçait entière obtenue en rabaissant au-dessous de /?, à ^ide de la congruence zPn^z (mod. /?), le degré de la ^issance m'*"*' du polynôme f[z). Pour que la fonction S. — j4lg, sup,t II. 25
386 COURS d'algèbke supÉaiEiniE.
f[z) soit propre à représenter une substitution dep in» dices incongrus suiv^ant le module premier p^ il faut et il suffit que, dans chacune des fonctions
le coefficient de zP' * soit congru à zéro suivant le mo' dule p.
En effet, soit
(i) /(3)=:Ao-hAtr-}- A,2'H-...H-Ap,3/^»;
élevons ce polynôme à la m**"* puissance, et réduisons ensuite par le moyen de la congruence
z^zi^z [mod.p]\
on aura un résultat de la forme
(2) [/f3)r=A.(3)=:Ar»-i-Ar-3-f-... + A;î:!,3i-» (mod./»). Posons en outre
(3) [/(o)r -^ [/(!)]- H-...-:.[/(;.~î)r=S«: si Ton donne à z, dans la formule (2), les valeurs
o, I, 2, 3, . . ., p — i\ et qu'on ajoute les résultats, il viendra
(4) S,„ = -A;-\ (mod./.);
car r^"'*cst congru à zéro ou à i, suivant que z est nul ou différent de zéro, et la somme i**-h 2'' 4-... -H [P^^f est congrue à zéro si fx est inférieur k p — i .
Cela posé, supposons que/ (25) soit propre à repr^ senlcr une substitution. Alors la formule (3) se réduit
o"*-:- r"-h2'"-h.. .-+- [p — iI^'eziS^ (mod. />), et par suite S^ est congrue à zéro suivant le module /N
SECTION IV. CHAPITRE IV. ZSj
pour toutes les valeurs de m inférieures à p — i ; on a donc, par la formule (4)»
;5) A^^-V^o [mod.p].
En second Heu, supposons la fonction y(s) telle, que la congruence (5) ait lieu pour les valeurs 2, 3, . . . , {p — 2) de 7/1. On aura par la formule (4)
S;„==:o (mod./»),
pour les mêmes valeurs de m ; cette congruence subsistera aussi pour m= i, d'après la formule (1), et pour m=pj puisque zP^nz quel que soit z. On voit alors, en se reportant aux formules de Newton, que la congruence
[Z~/(o)][Z~/(i)]...[Z-/(/.-i)] = o [moà.p]
a la forme
Z/'— c'.Z^^o (mod.yj),
ou même la forme
Z/' — Z ^13 o ( mod. p ] ;
effectivement, toute valeur de a autre que i ou zéro ne laisserait subsister qu'une seule racine réelle Z qui ^^rait égale à zéro ; la valeur a = o donnerait p racines ï^ulles, ce qui est inadmissible, car la congruence
/(3)r=o (mod. /^),
^lantdu degré/; — 2, ne peut avoir plus de p — 2 racines. Il résulte de là que, si Ton donne à z les valeurs
*^ fonction y (z) prend successivement les mêmes va- *^urs, abstraction faite de Tordre^ elle est donc propre * représenter une substitution.
388 COURS d'algèbre supérteitre.
477. Si la fonction entière y(z) représente une substitution de p indices incongrus suivant le module premier /?, il est évident que la fonction
représentera aussi une substitution. Or on peut disposer de rindé terminée et y de manière à réduire à Tunité le coefficient de la plus haute puissance de z\ l'indéterminée 6 permet ensuite de faire disparaître la puissance de :: immédiatement inférieure; enfin on peut disposer de y de manière à faire évanouir le terme indépendant de z, La fonction Oz aura alors la forme
V étant égal ou inférieur à /? — 2.
M. Hermite a donné aux substitutions de la forme Or le nom de substitutions réduites; il est clair que ces substitutions en fourniront d'autres plus générales, y(r> au moyen de la formule
où a, 6, y désignent des indéterminées. Il faut ^ema^ quer que les suhslilulions réduites ne déplacent pas Tindice zéro.
Le lliéorèmc du n° 476 prend une forme plus simple quand on l'applique aux fonctions réduites. Eflectivenicnt, si Ton clùve la fonction Qz à la puissance de degré ///, et qu'on réduise au moyen de la congruence zP ^ . z (mod. /;), on n'introduira aucun terme indépendanl de z\ si donc on remplace ensuite zP^^ par i,le cocfficicnl de zP^^ deviendra le terme indépendant de r. On peut alors énoncer comme il suit le théorème établi plus haut :
Pour que la fonction réduite Qz puisse représenter
une substitution, il faut et il suffit qu'en élevant 6 z aux puissances 2, 3, . . ., (/> — 2) ^ et en réduisant les résultats par la congruence zP"^^ i (mod. p), les termes indépendants de z soient congrus à zéro.
Les fonctions réduites 6z sont encore susceptibles d'une réduction ultérieure, car, si Ton pose
0(3) z=aO[oLz),
on pourra disposer de Tindéterminée « de manière à réduire à Tunité le coefficient de la plus haute puissance de z, dans Q{z), et il restera une indéterminée a dont on pourra disposer à volonté. Ces considérations trouveront plus loin leur application.
478. Lorsque le nombre n des quantités données est égal à une puissance p" d'un nombre premier, on peut choisir pour indices, avec Galois, les p'* valeurs que peut prendre l'expression
dans laquelle / désigne une racine d'une congruence
irréductible
F(.r) £E=o (mod, p)
du degré v. Si la fonction irréductible F(x) appartient à l'exposant p" — i, i sera une racine primitive pour la congruence
x''"-* — I ^s G ( mod. p )
et les indices autres que zéro seront représentés par les puissances
i, r, . . ., iP
Enfin, lorsque le nombre n est un nombre composé,
3gO COURS d'atGEBRE SUPÉBIEURE.
/?, ^, /% ... étant des nombres premiers, et y, fz, X, ... des exposants quelconques, il peut être avantageux de représenter les quantités données par une même lettre affectée de plusieurs indices a, 6, y, . . . , en nombre égal à celui des nombres premiers />, y, r, . . . , et de prendre pour valeurs des indices les fonctions entières composées respectivement avec une racine des congiuenres
Fi [x] r^o (mod. p)y F, (x) ^o (mod. q\,
F3 (x) iz^o (mod. r],
F| (x), F2 (x), F3 (x), ... désignant des fonctions cdtières des degrés v, p., X, . . . , irréductibles relativemeol à leurs modules respectifs /?, 7, /', ....
Des substitutions rationnelles et linéaires,
