Les fonctions entières et linéaires az-^b^ prises

suivant le module premier p^ donnent des substitutions

(les p indices

Le nombre total de ces substitutions est p(p — i\ctîl est évident qu'elles forment un svstème conjugue. Les fonctions rationnelles de la forme

prises suivant le module premier p, peuvent t^trc enh plovcos pour représenter des substitutions de/>-hi i**' dires; les valeurs (ju'il faut attribuer à ces indices sont alors

o, I, 2, . . ., 1/, i;, ce.

et Ton doit toujours regarder deux nombres congrus suivant le module p comme pouvant représenter le même indice. La substitution de l'infini k z se fait d'après les règles de l'Algèbre ordinaire, et lorsque, pour une valeur particulière de z, le dénominateur Qz est congru à zéro, la fonction prend la valeur de oo . C'est là une convention qu'on est libre de faire, attendu qu'elle n'est en contradiction avec aucun des principes fondamentaux de la théorie des congruences.

En résolvant la formule (i) par rapport à 2, il vient

b — b'Qz

à Oz— a

cette formule montre qu'il n'existe qu'une seule valeur de z propre à faire acquérir kQz une valeur donnée, ce qui est nécessaire pour que 6z puisse représenter une substitution.

La congruence

(a) 02=^3 (mod./?;

peut se mettre sous la forme

(3! a! z^ — \^a — b')z — b^n^o (mod./?',

ou

[^a! z — [a — b' )Y^[a -^ b'Y — ^[ab' ^ ba'] ( mod. p).

Elle n'aura aucune racine réelle si la quantité

(4) [a-\^b'Y-^^[ab'-ba')

est non-résidu quadratique relativement à p\ alors, la congruence (2) ne pouvant subsister pour aucune valeur de Zj la substitution Bz déplace tous les indices. Si la quantité (4) est congrue à zéro, la congruence (2) ou (3) a deux racines réelles et égales; par conséquent, la sub-

stitution 6z déplace p indices. Enfin, si Texpression (4) est résidu quadratique de p, la congruence (a) a deux racines réelles et inégales ; en conséquence, la substitution Qz ne déplace que p — i indices.

48U. Désignons par n Tordre de la fonction linéaire Ozy et considérons la suite

Si la congruence Oz-z^z (mod. p) a une racine réelle zo, les termes de la suite précédente se réduiront tous à Zq pour z = Zo\ mais, pour toute autre valeur Zq de z, aucun de ces termes ne se réduira à Zq, Laissant de côté ces valeurs Zq s'il en existe, je dis que les termes de la suite précédente auront toujours des valeurs distinctes; car si Ton avait, par exemple,