c, = 0J*3, (mod./?), en posant

il en résulterait

C*3, ===3, (mod./?);

ce qui est impossible, car, v étant inférieur à /i, on ne peut avoir identiquement

O^z^z (mod./>);

d'ailleurs, par les formules du n® 467, la précédente congruence n'est autre chose que

Oz==z (mod./!?),

et, en conséquence, elle n'admet pas la racine z^.

On peut conclure de là que la fonction linéaire Oz représente une substitution d'ordre /i, et, d'après la classification que nous avons établie, on voit que le système

SECTION IV. CHAPITRE IV. SgS

des substitutions linéaires ne comprend que des substitutions circulaires, dont Tordre est Tun des nombres p-hif Pj p — I avec les puissances des mêmes substitutions.

Le nombre total des substitutions linéaires est (p -h i)p{p — i), et parmi ces substitutions il y en a

^ ^ dont le déterminant est résidu quadratique du module. De là résulte la proposition suivante :

Théorème. — L'ensemble de toutes les substitutions linéaires, relatives à un module premier p, constitue un système conjugué trois fois transitif d'ordre {p-T- ^)p{p — *)• ^^ outre, les substitutions linéaires dont le déterminant est résidu quadratique forment lin système conjugué deux fois transitif d'ordre

Effectivement, le premier de ces systèmes renferme des substitutions circulaires d'ordre p-h i, d'ordre p et d*ordre ;; — i . Quant au second système, il renferme des substitutions circulaires d'ordre p avec des substitutions

régulières d'ordre ? et parmi ces dernières on en

peut toujours trouver une qui remplace un indice donné zq par un autre indice donné Z|.

Dans le cas de p = 5, on retrouve immédiatement le système triplement transitif de substitutions de six lettres dont nous nous sommes occupé au n° 452.

De quelques propriétés des substitutions linéaires.

481. Théorème I. — Si Ez désigne généralement les p{p — i) substitutions linéaires et entières, relatif

vement au module p, et que cps soit une fonction linéaire quelconque donnée, les substitutions de la forme y~*E(p-z formeront un système conjugué d'ordre p[p — i) qui ne déplaceront pas V indice z pour lequel la fonction (fz est infinie.

En effet, en premier lîeu, les substitutions ç~*Ecpz forment un système conjugué semblable à celui des substitutions Kz (n° 427). En second lieu, soit z^ Tindice que les substitutions (f''^E(fz laissent immobile; on aura