E y ry E^ 3o ( mod , p], d'où
Eç»3o^?-o (mod./?\
Il résulte de là que les substitutions E;; ne déplacent pas rindice cpzo) on a donc
Corollaire I. — // existe /? H- i systèmes conjugués d'ordre p[p — i ) dont chacun est composé de substitutions linéaires qui toutes laissent immobile un même indice.
Corollaire II. — Chaque système d'ordre p{p — i] s'obtient en multipliant l'un par l'autre les systèmes formés respectivement par les puissances de deux substitutions linéaires qui ne déplacent pas un mente indice z«, et qui sont l'une d'ordre />, l'autre de l'ordre p — 1.
Car soient
les svstt^'mcs formes par les puissances des substitution.' Oz ci(fz des ordres respectifs /> cl /> — i, qui ne déplacent pas un indice Zo- I-c nombre des produits (^^O^z élanl
SECTION IV. CHAPITRE IV. * SqS
p{p — f), îl suffît de montrer que ces produits sont distincts. Or, si l'on avait
on en conclurait
ce qui exige que Ton ait [j! = ^, v'= v, puisque la substitution c!pz d'ordre p — i laisse deux indices immobiles, tandis que Qz déplace y:; indices. Notre proposition est donc établie.
Corollaire III. — Le système des [p -^ ^)p(p — 0 substitutions linéaires s'obtient en multipliant l'un des systèmes d'ordre p[p — i ) , dont les substitutions laissent un indice immobile, par le système des puissances d'une substitution linéaire d^ ordre p -\-i.
Soient et
z, 03, O^s, . . ., QPz
les deux systèmes dont il s'agit. Les produits ^^Q'*z étant au nombre de [p -^ ^) P\P — 0> ^' suffît d'établir qu'ils sont distincts. Or, si fx' et v'ne sont pas égaux respectivement à fx et V, on ne peut pas avoir
car il en résulterait
ce qui est impossible, puisque la substitution 6 déplace un indice que les substitutions ^ laissent immobile.
482. Théorème II. — Soient Oz une substitution li^ néaire d^ ordre p qui ne déplace pas l'indice Zq, et ç-j
une substitution linéaire quelconque» Pour que Von puisse a\^oir
il faut et il suffit que la substitution (fz ne déplace pas l'indice Zq.
En effet, la congruence
OzqEsZq (inod«p}
entraine
O^Zq==Zq (mod. /?;.
Si donc on a
il viendra, pour z = Zq,
Ofz^^fZo (mod.p],
et, puisque la substitution 9z déplace tous les indices à Texception de Zq, on a
y5^,==Zo (mod. pj,
ce qui exprime que la substitution cpz laisse Zq immobile. Réciproquement, si f z ne déplace pas z», il en sera de même de la substitution y"*0(j)5; celle-ci est d'ailleurs (lu même ordre que ôz. Donc les deux congruenccs
Oz^z, f^^Ofz^z (mod. p)
ont Tune et Tautre la môme racine unique z©; il en résulte, d'après le mode de formation des fonctions linéaires, que les fonctions y~* 0:f z et 9z font partie d'un même groupe de puissances, et l'on a
11 faut remarquer que Tordre /i de ^ z est égal à p ou à un diviseur de /; — i. Mais, si le premier cas a lieu, f^ n'est autre chose qu'une puissance de Oz.
SECTION IV. CHAPITRE IV. 3gj
Corollaire I. — Une substitution linéaire d* ordre p n^est échangeable avec aucune autre substitution li-
neaire, si ce n est av^ec ses puissances.
En effet, si la substitution ôz est d'ordre p et que (fz ne soit pas une puissance de 6z, Tégalité
^l) $fZ=:fOz OU '^-^OoZ=:Oz
exige, comme nous venons de le dire, que Tordre de 95 soit un diviseur de p — i . Alors la congruence
(a) ozEi^z [mod. p)
a une racine Z| distincte de Zq, et l'égalité (i) donne,
pour Z=-:i Zfy
Ozi ^Eç^zi (mod. /?),
d'où il suit que la congruence (2) a la racine Ozi. Or les racines de cette congruence sont Z| et Zq = ÔZq ; donc il faudrait que Ton eût
Ozi^^Zi ou OZi^OzQ,
et, par suite, Zi = tq, ce qui n'a pas lieu.
Corollaire IL — Soient 6z une substitution linéaire d'ordre p et c^z une substitution linéaire dont l'ordre n est un diviseur de p — i. Si les substitutions 6z et c&z laissent immobile un même indice Zq, on obtiendra un système de substitutions conjuguées d'ordre np en multipliant le système des puissances de Bz par celui des puissances de (fz. En outre, ce système d'ordre np renfermera toutes les substitutions linéaires d'ordre n qui ne déplacent pas l'indice Zq,
Il est évident qu'on obtiendra un système conjugué d'ordre np en multipliant l'un par l'autre les deux sys-
tcmes
En outre, ce système d'ordre np renferme toutes les substitutions d'ordre n de la forme Ô""'(]p0'z, et, comme î peut avoir l'une quelconque des valeurs
on trouvera p systèmes formés chacun par les puissances d'une substitution d'ordre n qui ne déplace pas l'indice Zq. Or il n'existe pas un plus grand nombre de tels systèmes : il suffît donc d'établir que ceux dont nous venons de parler sont distincts. Je dis que l'égalité
est impossible, car, si elle avait lieu, il en résulterait
mais on a y""* Ooz = B^z, et, par conséquent,
^->0>^2 — Oi*>5, OJ^z = f9^z :
on aurait donc
ce qui exige k = i, u =^ i. Mais, si l'on avait a = i, les substitutions Oz el(fz seraient échangeables, ce qui n'a pas Heu.
i83. Théorème III. — Soient Oz une substitution linraire d'ordre p± i, et (fz une substitution linéaire distincte des puissances de Oz, Pour que l'on puisse
a^oir
il faut et il suffit que 9 z soit une substitution du deuxième
ordre et que les racines réelles ou imaginaires Zqj Zi de la congruence
Ozc^z [mod,p) soient telles, que l'on ait
Dans le cas où l'ordre deOz est p — i , les racines Zq^ Zt sont réelles et la dernière condition exprime que la substitution (fz transpose les deux indices que Bz laisse immobiles.
Si l'égalité (i) a lieu, le système des puissances de ç,-< 9'^r, savoir
(a) z, t^'^Ooz, f-^O^yz, ...,
coïncide avec le système
(3) 5, Oc, 6-5, . . .
des puissances de 9z. Chacun des systèmes (2) et (3) renferme une substitution du deuxième ordre, et alors ces deux substitutions doivent être égales; on a ainsi
(4) ?~*^ * fZz=0 * Z OU 0 * (jtZ^jO
Réciproquement, si cette égalité (4) a lieu, les systèmes (2) et (3) étant du même ordre pzïz i et ayant une substitution commune, ils coïncident nécessairement.
Si Ton remplace z par Q ' oz, Tégalité (4) devient
t; * oz ci fz ont donc le même carré, et il en résulte que ces fonctions sont du deuxième ordre. En efict, si le contraire avait lieu, les deux substitutions dont il s'agit
appartiendraient Tune et Fautre au groupe des puissances d'une même substitution linéaire ^z; on aurait
d'où
et par suite les fonctions f et d feraient partie du même groupe de puissances, ce qui est contre Thypothèse. Ainsi Ton a
(5) y*z = s, 0 « yO~*~ <fz z=z z,
et réciproquement ces égalités entraînent la formule (4)- Cela posé, soient Zo et ^i les racines réelles ou imaginaires des congruences
03Ei=z, 6~î~«==3 (mod. />), l'égalité (4) donnera
ç>-»0 * ^3o^S(j, y-*0"~^ yz, =^«1 (mod. /?\ ou
d'où il suitquecfZoetoci ne sont autre chose que z» et 2i<
Mais si l'on a '^Zq^Zq, (fz^^n^z^y les fonctions Ç5 et P±i\ Q~^ Zy qui sont du deuxième ordre, coïncideront; donc
on a
(6) y5o==-i» ?-!=^2o (mod. /?).
Réciproquement, si ces congruences (6) ont lieu, les congruences du deuxième degré
f-^0 «y3=:^s, Oîs£=« (mod. /?),
auront les mêmes racines, et, comme leurs premiers membres sont des fonctions du deuxième ordre, ces premiers membres seront égaux entre eux.
CoROLLAir.E I. — // existe p ±1 substitutions du deuxième ordre cj^^ telles, que l'on ait
savoir : p-hi si 6z est de l'ordre p-\~iy et p — isi Oz est de l'ordre p — i .
En effet, Zq el z^ désignant comme précédemment les racines de la congruence 9z^^z (mod. p)^ si Ton a
la fonction linéaire du deuxième ordre <fz sera
m(3— Tq — 3, ) -4- a ZqZ^ a z — a
cette expression renferme une indéterminée — à laquelle on peut attribuer les /> -h i valeurs
toutefois, quand Zq cl z^ sont réelles, il faut rejeter les
deux valeurs -^ =-o> ; = -i pour lesquelles Texpres-
sion de y c se réduit à une constante. Donc le nombre des substitutions oz est toujours rgal à Tordre de Qz.
CoROLLAiiiE II. — Si Oz est une substitution d'ordre pzzz i et que f^z soit l'une des p dz i substitutions du deuxième ordre telles, que
-»(?33 = fJ-^Z,
on obtiendra un système de '2[p±i) substitutions conju-
S. — jilg» sup., II. 26
4oa cou us d'algèbre sup^.rieuiib.
guées, en joignant aux puissances de ôz leurs produits var (fz. En outre y ces pdzi produits seront précisément les p±i substitutions du deuxième ordre qui satisfont à la précédente égalité.
D'abord il est évident qu'on obtiendra un système conjugué, en multipliant Tun par Tautre, à droite ou à gauche, les deux systèmes
Z, Oz, 0-2, . . ., 9 ' Z,
Ensuite, si Ton considère un des produits obtenus,
comme l'égalité
entraîne
ff-^O^r^Z —G^^Z,
on aura aussi
'^z — fj>0'" z.
Les formules (i) et (2) donnent cela exige que Ton ait
.ri , — .
car autrement les fonctions ij/ et (p appartiendraient ao groupe des puissances de 0, ce qui est contre rhypothèsc. Les produits Q^c^z sont donc tous du deuxième ordre. L'égalité (i) donne
Q'z = -^yz,
et il en résulte que toute substitution linéaire ôzesi\t produit de deux substitutions du deuxième ordre.
Remarqi}e. — On obtient un système conjugué d'ordre 2/î si, en posant pzh i = mn, on multiplie l'un par l'autre les deux systèmes
CoROLLAiiiE III. — Pour que deux substitutions linéaires qui ne sont pas des puissances d 'une même substitution soient échangeables, il faut et il sujjit quelles soient toutes deux du deuxième ordre, et que les indices [réels ou imaginaires) que l'une des substitutions laisse immobiles soient transposés par l'autre substitution.
En eflet, soient cp et ^ deux substitutions linéaires qui ne sont pas des puissances d'une même substitution. Si ces substitutions sont échangeables, aucune d'elles ne sera d'ordre p (n° 482); ^z sera donc une puissance d'une substitution Bz d'ordre p ± i. L'égalité
ne peut avoir lieu que si le groupe des puissances de o^*9(fz coïncide avec celui des puissances de 9z; cela exige que r^z soit du deuxième ordre. Le même raisonnement prouve que^-s est aussi du deuxième ordre; alors, d'après le théorème qui précède, si Zo el Zt désignent les racines de la congruence cpr. ==- r (mod. p), les conditions pour que (^z cl^z soient échangeables sont
•}3o^3,, |zi^Zo (mod./?);
il est évident que l'une de ces conditions entraîne l'autre.
484. Théorème IV. — Soient Bz une substitution linéaire d'ordre p-hiy pour le module p, etuz une substitution linéaire quelconque. On pourra satisfaire à
aC.
4o4 corBs d'algèbre supébibubb.
l'égalité
ou Ez désigne une substitution linéaire et entière, en attribuant à l^un quelconque des nombres met n l'une quelconque des valeurs o, i, 2,3, • . ,y p; la valeur de l'autre nombre sera alors déterminée.
En cfTct, la substitution 9z étant d'ordre p-^iy les puissances
prendront dans un certain ordre les valeurs
quelle que soit la valeur que Ton attribue à z. Cela étant, posons
Si le nombre n est donné, la première de ces formales détermine Zq, la deuxième donne ensuite -^i, et alors le nombre m est déterminé par la troisième formule. Si au contraire le nombre m est donné, la troisième formule détermine r,, après quoi la deuxième donne 2^ = 0**^1 et le nombre n est ensuite déterminé par la première formule. D'après cela on a
c'cst-à-dirc que la fonction linéaire 0"'nO''z devient infinie pour c = 00 , et par conséquent elle est entière.
Corollaire. — Si le déterminant de la substitution tJest résidu quadratique du module p, que r désigne une racine primitive pour ca module et que les entiers ni, « soient tels, que ta substitution
soit entière; si l'on pose en outre
ia substitution
sera entière et son déterminant sera résidu quadratique de p.
En effet, suivant que m et n sont pairs ou impairs, la substitution dont il s'agit a Tune des formes
