aO"z, 6-'»CT0'»rz, i- 0-'" nrO" « . ^ 0-'" u^" rz
elle est donc entière. D'ailleurs son déterminant est résidu quadratique dep, car elle est le produit de trois substitutionsy~/3, xr>z^ f^Zy dont les déterminants sont résidus quadratiques.
Exemple. — Supposons p = y, r = 3, et prenons
rr 5 ~~~ «
eu 4* — .9
-6'ciô®z z.
ÔînrO^r. — 43 + 4,
fl'oSSz — z.
-OciO'3c 2SH-G,
Ô»o0»3z = 2S H- 6, ^ 0'cjO"3c ^ 42 4- 4.
«Swr /e^' substitutions de cinq et de sept lettres.
485. Lorsque le nombre premier p est égal à 3, les substitutions des p — i indices z
sont toutes linéaires et entières.
M. Betti a donné pour le cas de cinq lettres Texpres-
4o6 couBs d'algèbee scp^bieues.
sîon analytique des subslîlulîonSy et M. Hermîle mrésola ensuite le même problème à l'égard des substitutions de sept lettres. Nous allons exposer ici ces importants résultats.
Des suBSTiTrTioîis de cisq lettres — Considérons d'abord le cas de cinq indices; d'après ce qui a été dil au n" 477 y les formes réduites des substitutions sont
La deuxième forme doit être exclue, car on en tire
r^sV^i'E^i mod. 5'; la troisième donne
et pour faire disparaître le terme indépendant il faot poser a =0. Toutes les autres conditions se trou^'anl d'ailleurs remplies (n** 477) par l'expression ôr~i r', il en résulte que la totalité des substitutions pour un système de cinq indices sont comprises dans les deux formes
où Ton n'excepte que la valeur de a = o.
480. Des substitutions de sept lettres. — Dans le cas de sept indices, les formes réduites ne peuvent être que les suivantes :
\ [mod. 7 ,
parmi lesquelles on doit rejeter d'abord la deuxième cl la Iroisièiiie, parce que le terme indépendant de :: subsiste nécessairement dans le cube de Tune et dans le carré de l'autre.
Soit
Oz^z^-h fiz^-\- bz (mod, 7);
on voit immédiatement que le terme indépendant dans [Ozy est a; on a donc a^o (mod. y). On trouve ensuite
(z^-h 0z)^=z^^-{-'3hz^-h3h^'z^'{'h^z^ 1
7 (mod. n\
ce qui exige que Ton fasse
3 ^'-4-1^=0, ^^±3 (mod. 7).
Od a ainsi les deux formes
Bz = z' -f- 33, 93 = s*— 33;
mais la seconde se ramène à la première par la transformation indiquée au n® 477, car, si Ton fait
cette formule se réduit à
si Ton suppose
«'=== — I (mod. 7),
c'est-à-dire si Ton prend a non-résidu quadratique de 7. Cela étant, on a la série des puissances qui suit :
Oz—-z 3*-^3s \
[OzYl-jiz^ } (mod. 7;,
\ezYy-3z'-\-z
[OzYi^3z^-{-6z^
en sorte que toutes les autres conditions se trouvent remplies d*elles-mémes.
Soit en dernier lieu
0 z =^ z' -{- a z^ -\- i z'*' -\- c z (mod. 7)3
4o8 COUaS d' ALGÈBRE SUPéBIEDKE.
on aura, en égalant à zéro le terme indépendant de z dans le carré y dans le cube et dans la quatrième puissance
de Oz,
2C -f- fl'ë^O,
b[3 -h6ac -{- ù^]^o, \ (mod. 7).
ah^-h 4^*c*+ 2(20 -+- r*) (i -4- 2ac H- ^')^o )
La deuxième condition est satisfaite en posant
fj^=o (mod. 7), ce qui réduit la troisième à
(2/ï -h r') (r -4- 2^r) ==1=0 (mod. 7' ;
remplaçant c par la valeur a-^i^ia^ { mod . 7 ) , tirée
de la première congruence, on obtient Tidentité
2 (.'/ + r?^ ) ( I — //' ) == 2 (rt — • ^r ] == o (mod, 7) .
On a ainsi cette expression
Oc ==r* + rtz' -h 3rt'2 (mod. 7',
où a reste indéterminé, mais que Ton peut rameneran cas de rt == o et à ceux de « ^ i , ri ==s 3, au moyen de la relation
aO[uz) =^2^^ — n oi^ z^ -{- 3 tt^ 01} z (mod. 7'.
On vérifie facilement que la cinquième puissance df notre expression de Oz ne renferme pas de terme indépendant, en sorte que la dernière condition exigée se trouve satisfaite d'elle-même.
Supposons maintenant que b ne soît pas nul suivant le module 7. La première des conditions écrites plus haut nous donne
€^12 3a* (mod. 7),
ety en substituant cette valeur, les deux autres se réduisent à
3 3rt'-f- ^'^o )
> (mod. «7' ;
il suit de là qu'on a ces deux solutions
et ( (mod. 7^
^' = — I , /> ^ dr. I )
On conclut de là ces nouvelles formes réduites
> (mod. «j;,
a étant ici un non-résidu quadratique de 7 ; enfin, par la transformation déjà employée plus haut, on ramènera ces deux formes aux suivantes :
En résumé, toutes les substitutions des indices
au nombre de
peuvent être représentées par
la fonction Qz prenant successivement ces formes :
z* -f- rt 3* -+- 3 «* 2 ( rt quelconque ) ,
z*-+- tfz'dzz'-i- 3a*z (anon rcsidu de 7].
4lO COrnS D'ALGÈiaB scpériecrb.
-187. M. Hermite a publié d'abord les résultats qui précèdent dans les Annales de M. Tortolini, et il les a romplétés ensuite par des remarques que nous croyons utile de reproduire.
Considérons les deux formes réduites z*-f-3r, ='-f-ar*, qui font partie de celles que nous avons obtenues, et riistinguons les valeurs de z en deux groupes, contenant i*un les résidus quadratiques, Tautre les non-résidus, relativement au module 7. On trouvera
«*-*-33n323 z résidu quadratique de 7 ),
^ 4 ^ ^ non-résidu de 7 \
s' -i- 2 3- ZL- 3 -- z résidu quadratique de 7 ),
=E3 3- ^z non-résidu de 7 ;.
Considérons en deuxième lieu la forme réduîle
z^ -\- z^ ->r Z z y et distinguons les indices en résidus co- Ijiqucs et en non-résidus relativement à 7 ; on aura
c* -h s"* -t- 3 r ^^ — 22 s résidu cubique de 7 ,
HZ- -1 - 25 z non-résidu cubique de 7 ' .
Considérons enfin les deux substitutions c* -+- 3w'— et c^-i- 33'iiz Z' — z. On pourra encore ramener ces subslilufions à la forme monôme, mais d'une nianiôre toute ditrércntc. On a, en eflet,
'^\ni l'on conclut, en faisant £ =^ dz i.
Ces résultats, dit M. Hermite, autorisent jusqu'à un certain point à supposer que, dans l'étude des formes analytiques des substitutions pour un nombre premier/; de lettres, les expressions nommées réduites se ramènent elles-mêmes à d'autres beaucoup plus simples, en considérant les valeurs de l'indice comme résidus ou nonrésidus de puissances dont l'exposant diviserait/? — i, ou bien encore comme divisées en deux séries formées
l'une de nombres inférieurs à-' et l'autre de nombres supérieurs.
488. Par exemple, le nombre premier p étant quelconque, si l'on a une substitution réduite de la forme
( 'lui \ ( rzJ \
il est clair que l'on peut écrire d'une manière plus simple
Oz = 2az^ ; si z est rcsidii de p , 0s = a^z" (si :î est non-rcsidu dep\
C'est à cette catégorie de substitutions qu'appartient, dans le cas de p = y, la substitution réduite
fi - ___ »J> o ■»'
cjui est telle, que l'on a
'e[Oz] E=3
et
?. \ I — ri
0[aO:z] ^h] — iab^O{z-^-"-- -^~ ;fr^iù^\
pourvu que a soit un résidu quadratique de 7.
II résulte de là que, a étant résidu de 7, les substituerons représentées par les expressions
ciz -1- ^, a ^J ^z ^- b] -r C
4f2 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
forment un système conjugué. La première expres,«on donne 3 x3 ou 21 substitutions, la seconde en donne 3X7^ ou 147. Donc il existe un système de 168 substitutions conjuguées de sept lettres ; l'indice de ce système est égal à 80. Cet important résultat a été constaté pour la première fois par M. Kronecker.
8ECTI01( IV. CHAPITRE V. 4^^
