CHAPITRE V

APPLIGATIOiNS DE LA THÉORIE DES SUBSTITUTIONS.

Des valeurs diverses que prend une Jonction de plusieurs variables par les substitutions de ces variables.

489. Je me propose ici d'appliquer les principes établis dans les Chapitres précédents à Tétude des fonctions de plusieurs variables, au point de vue des valeurs diverses que prennent ces fonctions par les substitutions des variables.

11 suffit pour notre objet de considérer les fonctions rationnelles et même les fonctions entières; mais les développements qui vont suivre s'appliquent à toutes les fonctions bien déterminées,

Dési{^nons par V une fonction bien déterminée des Il variables

•''Ot •'^l» "^i* • • •> •''«— l i

formons les N= i.i.'i...n substitutions de ces variables, et exécutons successivement toutes ces substitutions dans la fonction V ; nous obtiendrons ainsi N résultats

Si la fonction V est symétrique, les N résultats (i) seront tous égaux entre eux; au contraire, ils seront tous distincts si la fonction V n'offre aucune symétrie. Ce dernier cas se présentera en particulier si l'on a

toj «i> • • •> ^u-ï étant n coefiicients inégaux.

4l4 COUnS d'algèbre SUPÉRIEUaB.

Désignons généralement par /x le nombre de celles des fondions ( i ) qui sont égales à Y ; alors [x sera le nombre des substitutions que Ton peut exécuter sur V sans changer cette fonction. Soient

CCS [JL substitutions. Comme la fonction Y ne change pas quand on exécute, dans un ordre quelconque, deux ou un plus grand nombre des substitutions (2), il est évident que ces substitutions constitueront un système conjugué.

Nous avons vu (n^ 425) que les N substitutions des n variables peuvent être représentées par

I y b i , S2 * • • • » ^|ft— l »

\ /' Tj, TjSj TjSjf •••» *jSj4 i,

Iv—i, Tv iSi, Tv iSj, •••> TviS,

ifc-i»

donc les N = [JLV fonctions (i) pourront être représentées par

l v„ v;*-, v;«' vfî--'),

\\ drsifrnant généralement le résultat obtenu en exécutant sur V, d'abord la substitution S;, puis la substitution T/; dans le cas dey = o, la substitution Sy doilêf* réduite à Tunité, et nous écrivons Y,- au lieu de Vj*.

Comme les substitutions S ne changent pas Y ou V».on voit que, dans le tableau (4), les termes d'une môme bgï*^

horizontale sont égaux entre eux, et que les seules valeurs distinctes de V sont

490. Lorsqu'une fonction ne sera pas altérée par une substitution, je dirai, pour abréger le discours, que la fonction admet la substitution ; on peut alors énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Les substitutions d'une Jonction de plusieurs variables forment un système conjugué, et l'indice de ce système est égal au nombre des 'valeurs distinctes que la fonction peut acquérir par les substitutions.

Ce théorème entraîne diverses conséquences (n^'-iSG et tti :, parmi lesquelles nous devons signaler les suivantes :

Corollaire I. — Le nombre des valeurs distinctes d' une fonction de n variables est un divnseur du pro^ duit 1.2.3. . .//.

Corollaire II. — Le nombre des valeurs distinctes d ' une fonction de n variables ne peut s'abaisser audessous de n sans se réduire à i ou à 2, le cas de n = ^ ^^^zint seul excepté.

Corollaire III. — Une fonction de n variables, qui a '^^cisément n ifaleurs distinctes, est symétrique par rap- ^t an — I variables, le cas de n =6 étant seul exté.

11 faut remarquer que, si Ton exécute une substitution 4^^ «Iconque sur les v fonctions (5), ces fonctions ne pour- "itque s'échanger les unes dans les autres. Si donc on signe par V une indéterminée, le produit

{v-Vo;(v-v,;...(v-v^.}

4l6 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

sera une fonctiou symétrique. Il en résulte que toute fonction symétrique des fonctions (5) est une fonction symétrique des variables x; nous avons déjà eu Toccasion de faire cette remarque au n** 180.

491. La proposition que nous venons d'établir admet une réciproque que Ton peut énoncer comme il suit :

Théorème II. — // existe toujours des Jonctions qui admettent les substitutions d' un système conjugué donné et qui n'admettent aucune autre substitution.

En effet, soient

les substitutions conjuguées données, et désignons par X une fonction de n variables

clont toutes les N valeurs soient distinctes; on pourra prendre, par exemple,

a^, «1, . . ., 5r,/, étant des nombres inégaux. Soient

Xq. A-i, Xj, • • •! A-i—j

les résultats obtenus en exécutant surX les a substitutions (i), et posons

V '-^- Ay Xj X^ • • . X.x l,

il est évident que la fonction V admet les a subsL»*-*** lions ^i) et qu'elle iradmet aucune autre substitution**

Remarque. — Si Ton pose

V=^/(\y, Xj, Xj, ..., Xj.i}

SECTIOlf IV. CHAPITRE V. 4^7

/"désignant une fonction syniélrîquedeXQ,X|, ..., X,*|, la fonction V admettra les substitutions (i); mais elle peut aussi en admettre d'autres, si la fonction y* a une forme convenable. Si Ton fait, par exemple,

V sera une fonction symétrique des variables Xo, Xi, ...,

Des Jonctions setnblab les .

4i)2. Deux fonctions de n variables sont dites sembla-blés lorsqu'elles admettent les mômes substitutions. Ainsi les fonctions

ToXj -f. jr,.r„ (Xo -h .ri ) ( jr, H- .rj )

des quatre variables x^, .ri, x^y x^ sont semblables, car elles admettent les huit mêmes substitutions:

(.rp, .r,) (.r,, .rj) (j^Of •'•j) (*i» --^î)

(.ry, JTi, .Tj, JTjJ

(jTo, ^i) (X^, JTj) (•^Oî «^JJ -^lî *^l)

qn 1 forment un système conj ugué dont Tind ice est égal à 3 . Lagrange a fait connaître une propriété importante des /onctions semblables que Ton peut énoncer ainsi :

^tant données deux fonctions semblables des n va-

''^^^SIcsXqj X|, X2, . . . , Xn^^i chacune de ces fonctions

est cjcprimable par une fonction rationnelle de l'autre,

dnns laquelle les coefficients sont des fonctions symé^

^'^*^/u,e>sdes n \yariables,

^oiie proposition est contenue dans une autre plus gerit*t*j|]c que nous allons établir;

-*- **ÉORÈME. — Etant données deux fonctions des S. — jé/g. suj/.f U. 27

4i8 COURS d'algèbre supérieure.

n variables jCoy Xt, . . . , x„i, sav^oir :

5i /rt fonction y admet toutes les substitutions de la fonction V, elle est exprimable par une fonction rationnelle de V, dans laquelle les coefficients sont des fonctions symétriques.

En effet, soient

'> S|, Sj, . . . , Sjj-i

les substitutions conjuguées de V, et

les V substitutions par lesquelles on déduîlrespecûvcmcnl de V les v valeurs distinctes que cette fonction peut acquérir ; supposons enfin que Vp et y^ soient les résultais obtenus en exécutant la substitution T^ sur V cl sur j. Nous regardons T© comme égale à i , et, en conséquence, Vo et ro ne seront autre chose que V et^. Si l'on fait

•Xv:--.;v-Vo)(v-v,)(v-v,)...(v-v^,\

on aura, en développant,

P,, Pj, . . ., Pv étant des fonctions symétriques. Ici ^ est regardée comme une indéterminée, et Téqualion

a pour racines

Considérons maintenant la fonction

où m est un nombre entier quelconque ; par hypothèse, cette fonction admet toutes les substitutions de V ; si elle en admet un plus gjand nombre, ces substitutions pourront être représentées par

I, S|, Sj, • • •*> Sjfc^i,

1*9— 1> "e-|Si> Rp|Sî, ..., R^|S^i, et, en multipliant par certaines substitutions

*> Qi> Qi» • • • > Q*— 1>

on formera (n° 425) toutes les i .2.3. . ./z substitutions des n variables. Il résulte de là que les substitutions T sont les produits des substitutions

I, Rj, Rj, . . . , Rp— 1>

qui ne changent pas V'"^', par les substitutions

ï> Qi> Qf> • • • » Q*.-i»

Ainsi, en appliquant à la fonction X'^j les v substitutions T, on obtiendra les X valeurs distinctes de cette fonction, répétées chacune p fois; par conséquent la somme

est une fonction symétrique des n variables x^j Ti, . . . ,

4'2o couns d'algèbre supérieure.

Xft^t . Si donc on donne à m les valeurs successives o, i,

2, . . . , (v — i), et que Ton pose

(3) j yIjo -^ y\yx H- v;r,-f- ...-+- Vî., y^, =. r„

\ v;-»ro -H v;-> j, 4- + v;;i|^^,= /^„

fo, /i, ... seront des fonctions symétriques.

Ajoutons les équations (3 ), après les avoir multipliées respectivement par les facteurs indéterminés

et faisons, pour abréger,

on aura

j^. j ro?;Vo)-f-Ji?(Vt)-f-...-f-jv-,?(V,,)

et si Ton veut la valeur dej^'^ par exemple, il î^uffira de déterminer les facteurs Xo, X,, ..., de manière que l'on ait

excepté ç(Vp) =^ o; alors Téquation (5) donnera f ^ 'o^'o "^ ^1 ).| -t- . . . -4- /v tÀv j-i- r,|

et il ne restera plus qu'à trouver les valeurs de Xq» ^ i

ce que l'on peut faire très-aisément de la manière suivante.

Les équations (6) qui délerminent ces facteurs expriment que Inéquation

a pour racines Vo, V|. ..., V\,, excepté V^; mais l'équation (i)

a ces mêmes racines, y compris V^; et comme, d'ailleurs, les plus hautes puissances de V dans cf (V)el dans<|/(V) ont pour coefficient Tunité, on aura identiquement

OU, en développant le quotient de «{«(V) par V — V^,

V'-»-4-...-t-Pv,