P.-.VJ
-HPjVp»
En identifiant cette valeur de Œ'(V) avec celle donnée par l'équation (4)> on obtient les valeurs suivantes des facteurs X :
).v-, = P, 4- Vp,
)..3 - P, -^ Pi V, -^ VJ, (8) < >,=rP3^P,V,-^P,V5-4-V«,
).o.. — Pv-, -+- Pv-jV,^-^ , . . 4-PtV;
rv 8 . yv-i
Ces facteurs étant tous exprimés en fonction de V^ et des fonctions symétriques, il en sera de môme de j p. On peut
4aa COURS d'algèbre supérieure.
donner à Texpression de r^ une forme très-simple ; si Ton fail, pour abréger récriture,
5v jZ=: f,j * P|/v 3 -f- Pj^, 4 -+- . . . ~\- Pv— j/o,
Jy— 3 ^^^^ *v— 3 "^ » I ^v— i -h . . . -T-"v— 3*0» >
et que Ton désigne par 0( Vp) le numérateur de la valeur de r^, donnée par Téquation (7), on aura
(9) ©(Ve:' = ^oV;-»-hv,v;-*-f-...-h.^-,v,4-.s.,.
Quant au dénominateur de l'expression de j^'^, il est égil àçj'(Vp), c'est-à-dire à la valeur que prend la fraction
^ — ^ pour V= V^: cette valeur est
(10) f[Vp"=.vV;-«4-(v-i:P,V;-'-f-...-i-P..„ ({/' désignant. la dérivée de ^. On a donc
OU
e Vi
en désignant simplement par V Tune quelconque des valeurs \o> V,, ... cl par > la valeur corres|)ondaiUe
de la suite ) „, 1 1
La formule précédente démontre le théorème énoncé, et elle donne Texprcssion de 7 en fonction rationnelle do V . Ajoutons que, par la méthode exposée au n" I8i.
on pourra donner à la formule (12) la forme plus simple
n(V) désignant une fonction entière du degré v — 1 au plus, dans laquelle les coefficients de V sont des fonctions sjrmétriques des variables x.
Sur la formation des /onctions de n variables, qui admettent des substitutions données,
493. Le problème qui a pour objet de former les fonctions de n variables, dont le nombre des valeurs distinctes est égal à un nombre donné Vj se ramène, d'après les théorèmes précédents, à la détermination des systèmes de substitutions conjuguées dont Tindice est égal à v. Effectivement, quand on connaîtra un tel système, on obtiendra sans difficulté, parle théorème du n°491 , une fonction particulière V correspondante, qui aura précisément V valeurs distinctes. Et, quant aux autres fonctions semblables, elles seront toutes exprimables, comme on vient de le voir, par des fonctions entières de V du degré V — I, dans lesquelles les coefficients des puissances de V seront des fonctions symétriques.
Considérons, par exemple, les fonctions qui ont deux valeurs distinctes. Les substitutions de ces fonctions forment un système conjugué dont Tindlce est égal à 2 ; ce système est unique, comme on Ta vu au n"429, et il se compose des substitutions qui équivalent à un nombre pair de transpositions. Les fonctions V dont nous nous occupons sont donc semblables, et si l'on désigne par P l'une d'elles, l'expression générale de V sera
V rir A -f- BP, A et B étant des fonctions symétriques. On peut prendre
424 couns d'algèbre supérieure.
pour P la fonction alternée des n variables Xo,wC|, ..., x„i , dont nous nous sommes occupés au n*'236 et qui a pour expression
11 est évident que les fonctions qui ont deux valeurs distinctes admettent toutes les substitutions circulaires du troisième ordre qu'on peut former avec les variables, et qu'elles n'admettent aucune transposition.
Parmi les fonctions qui répondent à un système donné de substitutions conjuguées, on peut se proposer de déterminer les plus simples, par exemple celles qui, étant rationnelles et entières, ont le plus petit degré. Énonce dans ces termes, le problème qui nous occupe exige des considérations d'un tout autre ordre, et sa solution offre de sérieuses difficultés. Nous n'aborderons point ici l'étude de ce nouveau problème, qui est d'ailleurs tout à fait en dehors de notre sujet ; toutefois, afin de présenter une application de la théorie que nous avons développée dans les Chapitres précédents, nous croyons utile de faire connaître ici un procédé particulier par lequel on obtient facilement les fonctions qui répondent à certains svslèmcs de substitutions conjuguées.
Si un système de substitutions conjuguées est m fois transitif, nous dirons, avec Caucliy, que les fonctions qui admettent ces substitutions sont m fois transiin*es.
Des fonctions doublement transitées de n i^ariahles qui ont i.2.3...(w — 2) valeurs ^ n étant premier,
49i. Les fonctions dont il s'agit ici jouent un rôle considérable dans la théorie des équations algébriques. Elles répondent au système conjugué formé par les
n{n — i) substitutions linéaires et entières de la forme
z désignant successivement tous les indices o, i, 9., ..., (/i — i) des n variables
et les valeurs de «z -h i étant prises, suivant le module «, entre les limites zéro et n — i.
Soit a une racine de Téquation
jr. — I
et posons
il est évident que t est une fonction des n variables (i) qui a 1.2.3.../? valeurs distinctes.
Exécutons, sur la fonction t, la substitution d'ordre n
ainsi que les puissances successives de cette substitution On obtiendra n résultats
ci comme t^ se déduit de / en remplaçant chaque indice :
par z -4- a, on aura
Soit
fx -f- y =13 / ou j^=^i — tx ( mod. // ) ,
i étant compris entre zéro et /i — i, il viendra
OU
ainsi chacune des fonctions (4) est égale au produit de t par une puissance de a, et comme on a
tfine
les fonctions dont il s^agit ont la même puissance ti^' Si donc on pose 6 = t", ou
la fonction ù sera invariable par la substitution circa- ) 9 et il est évident que le nombre de ses valeurs distinctes sera
Maintenant désignons par r une racine primitive pour le nombre premier n, et exécutons sur les indices z des variables x les puissances o, i , 2, ...,('* — a ) de la substitution circulaire, d'ordre n — i ,
on obtiendra ainsi n — i résultats que nous représenl«rons par
(6) Oo, o„ 0„ ..., 0„.,.
On aura généralement
(^t si Ton pose
y/ ' : /, j . .. ir'"*-'* [ mod. n ) ,
I i'iaul compris entre zéro cl n — i, il viendra
d'où il suit que 0^ se déduit de 6 en romplac^anl a f^^
SECTIOir IV. CHAPITRE V. 4^7
~ . Or, si Ton donne à yi les valeurs successives
*"'* prendra toutes les valeurs
vant le module /i, el, par conséquent, Texpressiou ' "^ donnera successivement les n — i racines
Téquation (2). Donc les valeurs des fonctions (6) s'obndronl en remplaçant a par chacune des racines (7) Ds Texpression de 6; on a ainsi
9q = ( jTq -I- a.r^ -h a» j:, -h ... 4- a""» jr„ï j'»,
hacune des fonctions (8) est invariable par la substi- >ri i j, et quand on applique à ces fonctions la
titution I W elles se changent les unes dans les
es ; si donc on désigne par 0 une indéterminée, la 'tion
^,o-0o] ie-0,] [0-0,] ,,[o-o^,)
•retira les substitutions
^ suite, elle admettra toutes les substitutions linéaires
4^8 COURS d'algèbre supérieurc.
et entières
et le nombre de ses valeurs dislinctes sera i .a.3... (n — a). Il esl évident que toutes les fonctions symétriques de V ^1» •••1 ^//-2 admettent les substitutions linéaires et entières; ces (onctions sont donc deux fois transitives.
49o. Si d désigne un diviseur de n — i , que l'on fasse
et qu'on applique à la fonction 0 les puissances de la substitution régulière
qui est de Tordre e, on obtiendra e résultats
et il est évident que la fonction
aura i . a . 3 . . . // — 'i)xd valeurs distinctes.
Des fonctions triplement transitives de n -i- i variables qui ont i . !>.. 3 . . . ( /? — i>. ) valeurs, n étant premier,
496. L'existence des fonctions dont il s'agit est évidente à priori; ces fonctions répondent au système conjugué formé par les (// -h i) n [n — i) substitutions In 1 néairos relatives au module premier ti. La règle que jo vais exposer pour les obtenir ne diffère que dans b forme de celle qui a été donnée pour la première lob par M. Kmile Mathieu.
Le nombre n étant supposé premier, consi<léron> d'abord les n variables
SECTI02« IV. CHAPITRE V. 4*^9
et posons, comme au n** 491,
0, =:(xo-+-Çj-, -f- e»-rjH-...-he«-'.r^t)'*,
ay Sr'/y . . . , w étant les /i — i racines de i'équalîon
Soit i' une fonction rationnelle et symétrique quelconque des n — I expressions (a) : cette fonction p» sera invariable, comme nous Tavons vu, par toute substitution de la forme
Xz étant une fonction entière quelconque de Tindice z. D'après la théorie des fonctions semblables, toute fonction des variables (i) qui admet les substitutions (3) est une fonction rationnelle det' dans laquelle les coefficients des puissances de i^ sont des fonctions symétriques. Désignons donc par Vo une fonction rationnelle arbitraire de la quantité v' et d'une nouvelle variable que je représenterai par x^ ; Vo sera une fonction des n -h i variables
qui sera invariable par toutes les substitutions entières et linéaires ; on peut, si Ton veut, prendre pour V'o la fonction V ellc'^méme.
Cela posé, soit Oz une fonction rationnelle linéaire d'ordre n -j- i pour le module /i, et désignons par V/ la valeur que prend Vq quand on exécute / fois sur cette fonction la substitution
43o coxJHs d'algî:bhb supérieure.
ce que Ton peut exprimer en écrivant, d'après la notation de Caucliy,
Soit encore uz une fonction rationnelle linéaire d ordre quelconque pour le module riy et exécutons sur Vila substitution
on obtiendra un résultat qui peut être représenté par
Or, si y désigne un entier quelconque, comme la fonction 9z est d^ordre /z + i, on pourra effectuer la substitution [ ) ^^ faisant d'abord la substitution ( li
puis la substitution ( j . On peut donc écrire
égalité où chacun des nombres i et J est arbitraire. Mab, d'après le théorème du n** 484, à chaque valeur de foii des nombres /, j correspond pour l'autre nombre une valeur telle, que
OJxsO'
est une substitution entière ; et en outre, quand l'un des nombres /, y reçoit successivement les n -\- i valeurs o, I, 2, . . ., //, Tautre nombre prend aussi toutes ces mêmes valeurs. Si donc i et j sont choisis de manière à réaliser les conditions du théorème que je viens de
SECTION IV. CHAPITRE V. 43l
rappeler, comme Vo est invariable par les substitutions linéaires et entières, on aura
ou, d'après la formule (4)>
Zl °'
et, je le répète, si dans cette formule Tun des nombres i , y prend successivement les /i -t- i valeurs o, i, 2, ..., /i, Feutre nombre prendra aussi successivement toutes ces mêmes valeurs.
La formule (5) exprime cette conséquence remarquable, que les n -f- \ fonctions
forment un système qui est invariable par une substitution linéaire quelconque y c'est-à-dire qu'une telle substitution ne peut qu échanger entre elles les Jonctions du système.
Si donc T désigne une fonction symétrique des expressions (6), que Ton fasse, par exemple,
Vêtant une indéterminée, la fonction T admettra toutes les substitutions linéaires ; elle sera donc triplement transitive, et elle aura i.2.3...(/ï — 2) valeurs distinctes.
Si Ton désigne parT< etT2 deux fonctions semblables à la fonction T, par P la fonction alternée
des 72 4-1 variables, et que Ton fasse
S =z Tj 4- PTj,
432 COURS d'algèbre supérieueb.
la fonction S admettra toutes les substitutions linéaires dont le déterminant est résidu quadratique de n, et qui équivalent en conséquence à un nombre pair de transpositions. S aura donc 2X1, 2, ..{n — a) valeurs distinctes, ainsi que M. Mathieu en a fait la remarque. On peutaussi former les fonctions S de la môme manière que les fonctions T, en faisant usage du corollaire du n^484; mais nous devons nous borner à cette indication.
Sur les fonctions triplement transiti\fes de six variables
qui ont six valeurs distinctes,
497. On peut donner plusieurs formes diverses aux fonctions dont nous venons de nous occuper; nous prendrons comme exemple le cas des fonctions transitives de six lettres qui ont six valeurs distinctes.
Les variables étant désignées par
•^0» •''1» -^î» -^s» •'*4» •'*,»> nous poserons
Vo = •'*« •'-0 -^ -^1 -«^v ^- "^t^t.
et, les indices z étant pris suivant le module 5, nouseffeo lucrons sur Vq la substitution du cinquième ordre
ri ses puissances; on trouve alors les résultats suivants:
V y ~rr .r^ .r^ -f- r, .r^ -f- .rj.rj, V, : ^^J-, -f-.rj.r^ -t-.rj.r^,
^\ " «■« ''i "^ '**''* ■^" ''o-^n ' Vi .-= r^ .r. --}- r,, rj -h r^.r^.
Mnsuitc, si Ton fait
T-;V-V,)(V- Vj) iV-V,) ^V-V.) J-VJ.
SFXTION IV. CHAPITRE V. 4^3
Vêtant une indéterminée, la fonction T sera invariable par toutes les substitutions linéaires et entières, et, comme elle n'est pas symétrique, elle aura précisément six valeurs distinctes. Pour justifier celte assertion, il suffit d'établir que la fonction Test invariable par deux substitutions linéaires. Tune du quatrième ordre, Tautrc du sixième. La substitution du quatrième ordre
laisse V© invariable, et elle change
Vit V,, Vj, V4
en
ensuite la substitution du sixième ordre
change
en
Vo, Vj, Vj, \ 3, "4
M, Vo» V3, V^, V,,
ce qui achève la démonstration de notre proposition.
Méthode de Lagrange pour calculer une Jonction drs racines d'une équation donnée, quand on connaît une autre Jonction quelconque des racines.
498. Parmi les travaux publiés depuis un siècle sur la théorie algébrique des équations, Tun des plus importants est, sanscontredit,le célèbre Mémoire de Lagrange, que nous avons déjà eu l'occasion de citer (n® 189), et qui fait partie des Mémoires de l^ Académie de Beiiiii
S. — Alg. sujt.f H. 9'S
434 COUnS D^LGEBRE SUPÉRIEURE.
pour 1770 et 1771. On rencontre, entre autres résultats remarquables , dans ce grand travail , le beau théorème que voici :
Dès qu'on aura trouvée, par un moyen quelconque, la valeur d' une fonction rationnelle des racines d'une équation, onpourra, en général, tromper la valeur d'une autre fonction rationnelle quelconque desmémes racines, cl cela par le moy end' une équation simplement linéaire. Quelques cas particuliers exigeront cependant la résolution d'une équation du deuxième, du troisième, etc., degré.
Soient les n racines de Téquation
(1) .r« -hy^i-r"-» -4-y>,j:«->-4- . . . -4-/?„,x ^-/>„ = o,
et
V = r (.ro, .rj, . . . , .r;,, j,
deux fonctions rationnelles de ces racines dont la première a une valeur donnée.
Nous supposerons d'abord que la fonction y admcllc toutes les substitutions de F ; dans ce cas, on peut dcle^ miner la valeur def par la méthode dont nous avons fait usage au n®492. Effectivement, si Ton représente par
\^'i) Vq, Vj, Vj, ..., Vy— 1
les valeurs distinctes que prend F parles substitutions, et par
les valeurs correspondantes def que Ton pose en outre.
comme au n^ 492^
VoJo -4- V,j, -h V,j, +...-4- V^, j,i — ^1,
(4) { v«7o + vîji4-v;7,-+-...4-v;.,j^,^-./,.
on pourra exprimer ïo> ^o •••» ^-i en fonction des quantités connues, puisque ce sont des fonctions symétriques des racines de Téquation (i). Ensuite la résolution des équations (4) fera connaître les inconnues jo>J''i> • • • . Nous avons vu que, si Ton représente par
(5) ^( V) = V^-t 4- p, V*-« -h . . . -hPv-i V + P,
le polynôme égal au produit
(V-Vo)(V-VO...(V-V.,)^
par ^(V) la dérivée de V, puis que Ton fasse, pour abréger,
•^v— I ^^^ '^^î H~ "l'v— J ~i~ * x*v — 4 ~f" • • • ~f" Pv-Î^O>
(6; \ et
(7) e{v)=.çoV*-* + ^,v^-*H-.. .-t-^v-iVH-.ç,,,
les valeurs des inconnues j^ sont
Dans rhypothèse où nous nous sommes placé, la fonc-
436 cocRs d'algedke supérieure.
lion F a V valeurs distinctes algébriquement ; mais ici o-o, X|, ..., Xn^\ ne sont plus des indéterminées, cl ii peut arriver que plusieurs des quantités (2) soient mtrnériquement égales entre elles. Lorsque ce cas se présente, Véquation
(9) •Mv) = o
a des racines multiples, et quelques-unes des formules(8) deviennent illusoires; mais, dans tous les cas, si V^ esl une racine simple de Téquation (9), la formule
0;Vo)
donnera toujours, comme nous allons le démontrer, la valeur • de j qui répond à la valeur V^ de V.
499. On voit, d'après ce qui précède, qu'il est néce>saire de compléter Tanaljsc du n°492 pour Tadaplerau cas qui nous occupe ici. Supposons que, parmi les quantités (2), il y en ai t i qui soient numériquement distinctes et représentons-les j)ar
^10) V^, V|, Vg, ..., V/-1.
Soient Vp l'une des quanlil«'s (10) et Y^ la sommt" «le toutes les valeurs dcj) <|ui répondent aux valeurs do \ égales à V^. Les équations (4) deviendront
VqYo -f- Vj II -f- . . . -t- V/j i,i - - /|,
fi.,
Vi-i Y -;- V'-* V -^ -4- V'-' V - /
îl est évident qu'elles ne peuvent déterminer que les i quantités
et que les/ premières équations suffisent en toute rigueur pour cet objet; mais nous en emploierons un plus grand nombre, afin d'arriver à des formules où ne figurent que les deux seules fonctions 0(V), ^(V) déjà introduites. Désignons par r le nombre des quantités (2) qui sont égales à VpCt considérons les v — r-f-i premières équations (11); dans le cas de /• = i , aucune équation ne sera exclue. Ajoutons les équations dont il s'agit, après les avoir multipliées par les facteurs
et faisons, pour abréger,
Yo?(Vo)H-Yj^(V,)-^...-f-Y,,9>(V,0
et si l'on détermine les facteurs 9, de manière que l'on ait identiquement
„(v) = -ii!^,
la précédente équation donnera
L'expression de ?(V) s'obtient facilement en multipliant les deux expressions
^(V) r^ V^ -4- Pj V^» ^- . . . -+- Pv, V -f- P„
I __ I r Vp /'(r-f-r) VJ
(V — Vp)'- \' ' I V'-»-» 1.2 v-^*
438 covRs d'algèbhe supérieure.
et en négligeant dans le produit les puissances négatives de V. En comparant le résultat obtenu avec la formule (12), on obtient
r, p . '' p V -1. ^'^"^'^ V» Wv-r-t — 1 3 -H Y l 1 Vp H — \ ^,
D'après ces formules (i4) et en se sor\'ant des formules (6), on trouve que le numérateur de Texprcir sion (i3 ) de Yp est le produit du polynôme
par le facteur numérique ; on voit flU'
celle expression ( 1 5 ) est précisément la valeur que pren'
pour V =1 Vp la dérivée d'ordre r — i, 0'"* 1 V ^ diipoN-
nome ©(V). Quant au dénominateur de Tcxprcssioa
de Vp, il est égal à t'( V^) ou à
La formule (i3) devient alors
dans le cas de /•=!, Y^ doit être remplacé par y^ et 0 -'(V^) par 0(Vp); on retombe ainsi sur celle des formules (8) qui détermine j^.
La formule (i6) exprime ce résultat remarquable, que l'expression générale
efv)
convient à tous les cas, pourvu que, si le second membre
se réduit à - pour V^^V^, on supprime les facteurs V — V^
communs aux deux termes, avant de faire V = V^, et qu'on remplace y par la moyenne arithmétique des valeurs qui répondent à la valeur V^. Soient
^0» ^1» .Vî* • • •> y r—\
les r valeurs de^ qui répondent à la valeur V^, la méthode que nous avons développée nous permet de calculer la somme
ro-+- >i H- VsH-. ..-4- r^-i.
On pourra aussi calculer, de la même manière, la somme des carrés de ces quantités, la somme de leurs cubes, etc., etenGn la somme de leurs puissances/*^""; on pourra donc former r équation de degré /*, qui a pour racines les quantités rotj'o •••>,') r-i- Ainsi, quand Téquation en V a des racines égales, la détermination de la fonction j>' peut dépendre d^une équation du deuxième, ou du troisième, etc., degré.
4i0 COURS d'algèbre super lECRB.
500. L'analys€ qui précède peut être étendue au cas où la fonction j^ n'admet pas toutes les substitutions de la fonction donnée V.
Dans ce cas, le nombre v des valeurs distinctes de \ est moindre que N = i . 2 . . . // ; et si l'on pose
les N valeurs de V se partageront en v groupes contenant chacun /ji valeurs égales. Soient
VV *^ V :*-î^
ces V groupes, et^'^*' la valeur dey qui correspond à Y^'\ Désignons par :: une fonction symétrique et rationnelle quelconque des quantités
il est évident que la fonction :: admettra toutes les substitutions de Vp; on pourra donc exprimer Zy en général, par une fonction rationnelle de Vp. Quand on aura ainsi calculé fji i'onclions symétriques des quantités j'p,jp*, .... j)[i*~* , on pourra former l'équation du degré u, qui a pour racines ces fx valeurs de y\
0OI . On voit, par ce qui précède, qu'on pourra toujours déterminer les n racines .ro, o'i , . . . , .>t^,i d'une équation donnée du degré n, si l'on connaît la valeur d'une fonction V de ces racines, pourvu que les 1.2. 3... /valeurs que prend V, quand on y permute les racines, soient difTérenles, non-seulement sous le rapport do la forme algébrique, mais encore au point de vue numérique.
En effet, on peut supposer que la fonction inconnue ;
SECTIOW IV. CHAPITRE V. 44*
se réduise à Tune quelconque des racines, à Xo par exemple ; alors on pourra exprimer x© en fonction rationnelle de V et des coefficients de Téquation proposée. Si ensuite on suppose que j se réduise à une autre racine Xi y on pourra de môme exprimer x^ en fonction rationnelle de V, et ainsi de suite. Il résulte de là que si la valeur donnée de Vest commensurable, c'est-à-dire exprimable en fonction rationnelle des quantités que Ton regarde comme connues, les racines de Téquatlon proposée seront toutes commensurables.
Mais, si la fonction V n'a pas toutes ses valeurs distinctes, qu'elle prenne, par exemple. À* valeurs égales par les substitutions auxquelles répondent les valeurs
de la fonction y = x, la méthode précédente ne fera plus connaître ces racines, elle permettra seulement de former l'équation du A'*"" degré dont elles dépendent.
La théorie qui vient d'être exposée comprend tout ce que l'on sait de plus général sur l'abaissement des équations quand on connaît une relation entre les racines, car ce cas est évidemment le même que celui où l'on donne la valeur d'une fonction des racines.
Recherches de Galois relatives à la théorie précédente.
502. L'analyse que nous venons de présenter nous a conduit à un théorème dont on comprend toute l'importance et que l'on peut énoncer comme il suit :
Théorème. — Si
^^t une équation quelconque de degré n, mais qui ri a pas de racines égales^ et que
44^ COURS D^LGÈBRB SUPÉRIBUKE.
soit une fonction rationnelle des racines x^^x^^ ...jX,.! de l ^équation ( i ) , tellement choisie, que les i . a. 3 . . . n vflleurs quelle prend, par les substitutions des racines, soient toutes différentes, on pourra exprimer ces n racines Xo, Xf, ..., j:„i en fonction rationnelle de V.
Il ne sera pas inutile de faire connaître ici la démonstration que Galois a donnée de ce théorème dans le célèbre Mémoire inséré au tome XI du Journal de Mathématiques pures et appliquées.
Nous désignerons par V© la valeur donnée de V, et par
les a = 1 . 2 . 3 . . . ( w — i) valeurs que prend V, par les substitutions des n — i racines
On aura alors une équation en V du degré fx, savoir
(2) (v-.Vo)(v-v,)...;v-v,,- = o,
dont les racines Vo, V,, ... seront toutes différentes el donl les coefficients, qui sont des fonctions symclrique> des racines jc^, x^y . . . , Xn^x de Téquation
s'exprimeront rationnellement par les coeflîcicnts de celte équation, c'est-à-dire en fonction rationnelle de J* et des cocfliclents de Téquation proposée (i). Parsuil«N Téquation (îi) pourra être mise sous la forme
V désignant une fonction rationnelle de V et dcr*. * ^ ré(juation ( 2) ou (3 ) est satisfaite pour V:^Ve ; on aiin
SECTION IV — chapithe V. 443
donc identiquement
en sorte que Téquation
(4) F(V,, .rî=0
sera satisfaite en posant
ety en conséquence, les équations (i) et (4) auront une "^cine commune j^o- Je dis, de plus, que ces équations ne sauraient avoir d'autre racine commune. Supposons, en cflet, que Téquation (4) soit satisfaite pour x = Xi, on aura identiquement
par suite, Téquation
(5) Yi\,x,\^o
sera satisfaite pour V=:: Vo. Or Téquation (5) se déduit de l'équation (3), ou de Téquation (2), parla transposition des racines x^ et x^ ; d'ailleurs, par cette transposition, les quantités Vo, V, V^-i se changen t en d'autres Vo,Vi , ...,V'j^,, toutes distinctes des premières par hypothèse; donc Téquation (5) peut se mettre sous la forme
et Ton voit qu'elle ne saurait avoir Vo pour racine.
Les équations (i) et (4) n'ayant que la seule racine commune j:*©, on déterminera facilement cette racine. Pour cela on cherchera le plus grand commun diviseur entre /"(a) et F(Vo, x), et l'on poussera l'opération jusqu'à ce qu'on obtienne un reste du premier degré en x : en égalant à zéro ce reste, on aura une équation qui fera connaître la valeur de Xo,
xo^«>(Vo; ou x.^-yyy.
444 COURS d'aLGEBHR SCPÉniECnE.
et celle valeur de Xq sera évidemment rationnelle en V, puisque l'opération du plus grand commun diviseur ne peut pas introduire de radicaux.
On peut opérer de la même manière pour trouver les autres racines^ et Ton obtiendra ainsi des expressions rationnelles, telles que
Corollaire I. — L' équationW du degréN = i .2.3.../I, i/ui a pour racines toutes lesN valeurs de V et dont les coefficients s* expriment rationnellement par ceux de 16- (fuatioîi proposée, jouit de cette propriété remarquable que toutes ses racines peuvent être exprimées rationnellement par l'une quelconque d'entre elles.
Soient, en effet, V et Vi deux valeurs de V; V| est une fonction rationnelle des racines Xo, J^i» .... Xn^x* lesquelles, d'après ce qui précède, sont des fonctions rationnelles de V : on aura donc
0 désignant une fonction rationnelle.
Corollaire II. — Etant données tant d' irrationnelle^ algébriques qu on voudra, on peut toujours les exprimer toutes en Jonction rationnelle d\ine même irrationnelle.
iSous nommons irrationnelle algébrique toute (juanlilt' qui est racine d'une équation algébrique dont les coeflîcicnls sont des fonctions rationnelles des quantités regardées comme connues. Cela étant, soient
m irrationnelles algébriques quelconques ; on pourra K»rmer une équation d'un certain degré w, à coefficient-' commensurables, dont ces m quantités seront racines
SECTION IV. — CIIAPITIIE V. 44^
et qui n'aura pas de racines égales. Soient
les n racines de cette équation, et désignons par V une fonction rationnelle de ces n racines telle, que les valeurs qu'elle prend parles substitutions soient toutes distinctes : V sera une irrationnelle algébrique en fonction de laquelle les m irrationnelles données pourront s'exprimer rationnellement, d'après le théorème précédent
Nous admettons comme évident qu'on peut toujours former une fonction rationnelle de m quantités inégales, telle que les i .2. 3. . . m valeurs qu'on en déduit par les substitutions soient diflerentes.
503. Application a un exemple. — Le théorème précédent fournit une méthode beaucoup plus simple que celle qui résulte de la théorie de Lagrange, pour déterminer les racines d'une équation quand on se donne une fonction de ces racines. Nous prendrons comme exemple le cas de l'équation du troisième degré.
Soit l'équation
et posons
En transposant les lettres X| et x^y on obtient ces deux valeurs de V,
Vq rr: aXf^ 4- b.r^ -h cXj, V, z^ axQ -f- b.r^ -h c.Ti ;
l'équation en V sera alors
(V-Vo)(V-V/ 4o, ou
446 corns d'àlgèbhe supérieube.
On peut chasser Xt et X2 de celte équation à Faide des relations
^i -h .r^ = — pi — Xo,
'^i ^i - Pi — -^0 ( '•1 -+- -^î ) = Pi -^Pt^o-^ -^îf
.rj -\- .rj -^ [p] — 2/7,) — .rj,
et Ton aura
(2) ' -{-[(a^-\- b*-^-c*— ab — ac— bc).rl
{ -\- {b^-\-c^—ab — tic)piJrQ-hbcp] — ;ô — c]*/7|]=0.
Il faudra maintenant, pour avoir Xo» faire x =r.Xi, dans le premier membre de Inéquation (1) et chercher le plus grand commun diviseur entre le polynôme que Ton obtiendra ainsi et le premier membre de Téquation (a): il n'y a même aucun calcul à faire dans le cas particulier où Ton a
a* -h 6* -h c' — ab — ûc — be= o;
car Téquation (2) ne contient plus alors que la première
puissance de Xq^ et elle en fait connaître immédiatement
la valeur. Ce cas simple se présente si Ton prend pourfl,
/>, c les trois racines cubiques de Tunilé.
Soit a une racine cubique imaginaire de runité, et
posons
rt -- I , b =: X, c — - a',
on aura, à cause de ol^ -}- ol -}- i = o,
501. T^e théorème démontré au n" 502 a pour fofflplémcnt la [)ropositiôn suivante, qui n'a pas moins d in»* portance dans la théorie des équations :
Tiiéoukhe. — Soient
9 équation de degré n qui n'a pas de racines égales,
9 fonction rationnelle des racines X09 Xt, . . . , x„^i des quantités connues, tellement choisie, que les = I . a . 3 . . . « /onctions qu'on en déduit par les sub- Uitions des racines aient des valeurs numériques inéles. Soient aussi
'quation de degré îi qui a pour racines les N valeurs V, F(V) un diviseur ir /déductible de degré v du Ijnàme ^(V) ; désignons enfin les racines de l'équan
'0» M» M» • • • > Vv__i.
les racines de V équation proposée (1) sont repré^ tées par
*s pourront l'être aussi par
désignant l'une quelconque des quantités (5).
En effet, Téquation (i) admet par hypothèse la racine Vo); on a donc / i|/a ( Vo ) = o, et, par conséquent, est racine de Téquation
Vo est Tune des racines de Féquation (4) et, comme le-ci est irréductible, toutes ses racines doivent satis-
COTIRS D^LGÈBRE SUPÉHIEUHE.
faire à Téqualion précédente : on a donc y (p/, (V,) = o, ce qui exprime que les quantités (7) sont racines de l'équation (1).
Pour achever la démonstration du théorème énoncé, il reste à prouver que les quantités (7) sont distinctes. Je dis qu'on ne peut pas avoir ^a(V,) = ^y(V|), sîy est différent de A; en effet, si celte égalité avait Heu, V/ serait racine de Téquation
laquelle admettrait alors chacune des racines (5) de IVquation irréductible (4); on aurait donc en particulier ^^ ( Vo) — (py( Vo) = o, ce qui est contre l'hypothèse.
Corollaire. — Les substitutions i , S|, Sj, . . ., S^, par lesquelles ou passe de la permutation (6) des racines Xqj X|, .... x„^i aux V permutations (y), forment un système conjugué. En d'autres termes, les v permur tut ions (7) constituent un groupe.
En effet, on a V|==0(Vo), 0 étant une fonction rationnelle; il s'ensuit que Vo est racine de F9(Vj = o: celte équation admet donc la racine Vy, et (/(\yie>l Tune des racines Va de Téquation (4). Cela pose, dê>îgnons par A/ la permutation (7), on aura
et, en faisant la substitution Sy,
SyS,Aor-:>.,</:V,:, -^.«(Vy) ^n-l^>!V/
d'où
Sy S, :— S^-.
SECTION V
LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
s. — Jlg. tup.. If. ^0
SECTION V
LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
