CHAPITRE IL
DE L'IMPOSSIBILITÉ DE LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES AU DELA DU QUATRIÈME DEGRÉ.
Des fonctions algébriques.
522. Les considérations que nous avons développées dans le Chapitre précédent donnent lieu de penser qu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième. Abel est parvenu à démontrer rigoureusement cette impossibilité par une méthode qui a été simplifiée ensuite par Wantzcl dans quelques-unes de ses parties.
Résoudre une équation algébriquement, c'est former une fonction algébrique des coefficients qui, substituée à l'inconnue, satisfasse identiquement àTéquation; la première chose à faire, pour reconnaître si une équation est soluble ou non algébriquement, est donc d'étudier la forme générale des fonctions algébriques. C'est cette étude que nous allons faire ici, et nous en conclurons ensuite facilement l'impossibilité de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième.
Soient
k quantités quelconques indépendantes, et if une fonction de ces quantités; v sera une fonction algébrique, si on peut l'exprimer en Xo 0:2, X3, . . . , par le moyen des opérations suivantes, eflectuécs un nombre fini de
s. — jélg. sup,, II. 32
fois : i^ l'addition ou la soustraction; 2? la multiplication ; 3" la division ; 4° l'extraction des racines d'indices premiers. Nous ne comptons pas l'élévation aux puissances entières et l'extraction des racines de degrés composés y parce que ces opérations sont évidemment comprises dans les quatre que nous avons mentionnées.
Des /onctions entières.
523. Lorsque la fonction i/ peut se former par les deux premières des quatre opérations mentionnées cidessus, elle est dite rationnelle et entière ou simplement entière.
Désignons par
une fonction qui peut être exprimée par une somme d'un nombre limité de termes de la forme
 désignant une constante, et mi, m^, ... étant des exposants entiers et positifs. L'opération désignée par/ fournit une fonction entière, conformément à la définition précédente; et Ton peut généralement considérer tontes les fonctions entières comme obtenues en répé^ tant cette opération un nombre limité de fois. Soient l'o 1^2, • . • plusieurs fonctions de X|, X2, . . . , de la même forme que f, la fonction
sera évidemment de la même forme. D'ailleursy(9| , vj. ... est l'expression des fonctions obtenues en répétant deux fois l'opération y(xi, X2, . . .); d'où il suit qu'on Iroovera toujours un résultat de même forme en répétant
SECTION V. CHAPT:rRE II. 499
cette mémo opération autant de fois que l'on voudra, et que toule fonction entière de x^y X2, • • . peut être exprimée par une somme de termes de la forme
AxJ*» xj»» ....
Des fonctions rationnelles,
624. Une fonction v des quantités x^ ^2» ^s? ••• est dite rationnelle lorsqu'elle peut être exprimée par les trois premières des quatre opérations algébriques ci-dessus désignées.
Soient
* deux fonctions entières , le quotient de ces fonctions
sera évidemment un cas particulier des fonctions rationnelles non entières, et Ton peut considérer toute fonction rationnelle comme obtenue en répétant plusieurs fois l'opération précédente; mais, en désignant par v^j
v^j ... plusieurs fonctions de la forme ^ry— ^- — ** »
il est évident que la fonction
peut être réduite à la même forme ; d'où il suit que toute fonction rationnelle se réduira à la forme
/(^li ^i^ • ' ' )
F(j^i, •»•«, . . .) / et F désignant des fonctions entières.
5oO COURS dIaLGÊBRE SUPÉRIEUEB.
Classification des fonctions algébriques non rationnelles.
