I -jr. — dx soit algébrique rentrera dans les autres
L'équation précédente comprend, comme cas particulier, une formule que pous avons établie au n^ 217.
^application à un problème de Géométrie.
229. Comme application des considérations que nous venons de présenter, je traiterai ici succinctement un cas particulier d'un problème dont j'ai donné la solution générale dans le XXXV® cahier du Journal de V École Polytechnique, et dont voici l'énoncé :
Problème. — Trouver toutes les courbes algébriques dont l'arc indéfini s'exprime par un arc de cercle, et dont les coordonnées rectilignes sont des fonctions ra^ tionnelles de la tangente trigonométrique de cet arc.
Si Ton désigne par i l'imaginaire V— 1> par A: une quantité positive, et par &) un angle réel, puis que l'on fasse
/ = (;5 — fl)^' (s — b)P-^' [z — cyt^' , . . . ,
a et a étant des constantes imaginaires et conjuguées, ainsi que i et 6 , c et y , . . . , et m^ n, p, <^ , . . . , étant des entiers positifs, la solution générale du problème proposé
5o8 GOtJES d'algèbre supéribure.
sera donnée par la formule
(z-iy
isin») f -
pourvu que les constantes a, 6, c,..., a, 6, 7)*«*i soient choisies de manière que Tintégrale qui figure dans la formule précédente soit algébrique. On a effectivement
dx -h idr = ^(cosw -h i sin») - r^ -—- dz,
et en changeant i en — 2 ,
dx — idr = A" (cosci) — isio 6>) - : :—-- dz .
La multiplication des formules précédentes donne dx^-^dy^zrz ^ -, d'où Jdx^-h dr* =:à -
(z^-hiY 1
et
j)/dx'
-4- dy^ = k arc tangz .
Comme le degré du numérateur de la fraction
" 1^ rrri est inférieur de deux unités au degré du dé- (
nominateur, si jui désigne le nombre des constantes a, &, \
c,..., ou a, 6, y,..., il suffira de satisfaire à fx — i i
conditions pour rendre algébrique l'expression de a; + g^. j
Lorsque z et t se réduisent à l'unité, notre formule ne
donne pas d'autre courbe que le cercle*, le cas le plus ^
simple est donc celui dans lequel on a :
la formule (i) devient alors
(2) X 4- ly = *(cos« 4- isino.) j (3„)„V.(,^,)^.'^^»
et une seule condition suffira pour que l'intégrale soit
SECTION II. — CHAPITRE III, Sop
algébrique. Pour trouver cette condition de la manière la plus simple, soit u une nouvelle variable et posons
faisons aussi, pour abréger,
/^\ ^(^-4-<)(a~-/) (o) ^=7 Tw ; — TT»
on aura
fiz i a — /'
et
puis
(z — i)'"dz I /a — A»**"
u"*dUf
z — CL tx -^ i u — Ç
D'après cela la formule (a) devient
en faisant, pour abréger,
A = — : ^ (cos» -h ïsm w) ( — — . | — — -.
On voit alors que la condition pour que x -h if soit algébrique est
Cette équation en Ç est du degré m H- 1 5 elle a une racine égale à I , et si /» est inférieur à m, elle a m — n racines nulles; le nombre des racines différentes de o et de I est donc égal au plus petit des nombres m et ^ï ; on reconnaît que toutes ces racines sont réelles, inégales et
5 10 COURS d'ALGBBRS SVPÉinURE.
compriies enire o et i, en appliquant n fois de suite le théorème de RoUe à l'équation
qui a m racines nulles et n + 1 racines égales à i . Les racines nulles de l'équation (4) ne peuvent nous ponvenir, car, pour {^ == o, la formule (3) donne a = — i ou a = +2 ; mais Tune de ces équations entraine Tautre, puisque a et a sont conjuguées; les facteurs z — a, z — a deviennent 2 + <f z — I ; par suite on retombe sur le cas où les polynômes f et r se réduisent à Tunité. Pour ^=1 l'équation (3) donne a = », et la formule (2) se réduit encore à celle que donne Thypothèse t = r = i .
Mais à chacune des racines ^ comprises entre o et i, répondent pour a et a des valeurs imaginaires et conjuguées l'une de Tautre. Remarquons d*abord qu'on peut supposer
sans diminuer la généralité de la solution, car on ramènera le cas contraire à celui-là par un changement de variable. Il suffira effectivement d'écrire au lieu de z
gz
en prenant pour e Tune des racines de l'équation
aoL — I
par la transformation dont il vient d'être question la formule (a) devient
ai et «1 ayant les valeurs suivantes :
a^Z= ■ 9 GtiZZZ ; y
SECTION II. — CBAPITKE Itl. 5 II
d'où l'on conclut a, a, =: i . Od peut donc admettre l'équation (5) et de cette équation combinée avec (3), on tire alors
^sR i-ç.
" = rTç-7Tç''
en donnant à a et à a ces valeurs, dans la formule (3), l'expression de ;r + ly sera algébrique.
Détermination d ^ une fonction rationnelle parle moyen des "valeurs qui répondent à des valeurs données de la variable^
230. Une fonction entière du degré m de la yariable x est entièrement déterminée lorsque Ton connaît les valeurs de cette fonction qui répondent à m-i-i valeurs données de x. Quand les valeurs de x dont il s'agit forment une progression aritliniétique, la fonction peut être obtenue par la méthode que nous avons exposée au n^ 156; mais il est important d'avoir une formule qui embrasse tous les cas. Cette formule est précisément, comme on va le voir^ celle qui a été établie au n^ 217, et qui exprime la valeur d'une fraction rationnelle décomposée en fractions simples.
Soient
les valeurs d'une fonction F (x) du degré m, correspondantes aux valeurs données
de la variable x; posons '
5ia
cou as d'algèbre supérieure.
on aura
r^.)=I^^Iifl.
et, par conséquent,
Cela posé, le degré àef[x) surpassant d*une unité celui de F (a:), on a (n° 217)
f[x) /'(X.)X^X^ f'[x,)x — Xx '" f'{jr.m)x—X^
et, en chassant le dénominateur/* (j:), il viendra
(j? — JTj) (j: — 3:a)> . .(3; — j?„) [Xi — x^j ^x, — Xij, . . ( a?i — JT^,, ] (x — Xo) [x — X,). . .{x — x„^i)
Cette formule donne la solution de la question proposée : d'ailleurs celle-ci ne peut admettre une autre solation^ car s'il existait une fonction Fi [x) du degré m, différente de F [x) et satisfaisant aux conditions du problème, r équation
qui est au plus du degré /n, admettrait les m + i racines Xq, ^iv*-7 ^in9 ce qui est impossible.
On peut encore résoudre la même question en raisonnant comme il suit : si les valeurs données Uo, lii,.**? ""• sont toutes nulles à l'exception de l'une d'elles u^, et cfue celle-ci soit égale à l'unité, il est évident que la fonction demandée est déterminée et a pour valeur
^ (•^-->go)--.('g — ■g/ii„)(x--j^,)...(jr-jr,)
SECTION II. — CirAPITBC III. 5l3
Cela étant, on aperçoit de suite que, dans le cas général, la solution du problème proposé est' donnée par la formule
F(j?)i=:a.XoH- ôiX, H-, . .H- Uf^X„,
231. Il est souvent plus avantageux de donner à Texpression de la fonction demandée F (a:) la forme à laquelle nous savons élé conduit au n^ 156, dans le cas particulier où les valeurs données de la fonction répondent à des valeurs équidistantes de la variable. On y parvient facilement par la méthode des coefficients indét^erminés ; car si l'on pose
¥ (x) z=z Aq-^ Ai(x — Xq) -4- A3(:r — Xo)(x — jrj 4- A3 (.a? — Xo) (x — X,) (.r — Xj) -4- . . .
les constantes Ao, Ai, . . • , A,» pourront être déterminées successivement au moyen des équations de condition
«, = Ao4- A, (x, — Xo),
«, = Ào -i- A I (x, — Xo) H- Aj (xa — Xo) ( X, — x, ) ,
Un = Afl- -h Ai [Xm — Xo) -f- . . . -+- A« (x^ — Xo) . . . (x«, — X^—i ) •
Lorsque les valeurs données
Xo , Xi , • . • , Xm
forment une progression arithmétique dont la raison est A, on tire immédiatement des équations précédentes
Ao=«o» A — 5
