I . 2 . . . fA

et on retrouve la formule du n** 156.

5l4 COURS d'algèbre SOPÉaiEtlRE.

232. La formule du.n^ 230 n'est qu'un cas particulier d'une autre formule plus générale, que Cauchy a fait connaître dans la Note V de son Analyse algébrique, et qui donne la solution du problème suivant :

Problème. — Trouver une fonction rationnelle u de la "Variable x^ dont le numérateur et le dénominateur soient des Jonctions entières des degrés m et n i^espectiventent, connaissant les m -f- '< + 1 valeurs de u qui répondent à m + n -f- 1 valeurs données de x.

Il est évident que ce problème ne peut admettre qu uue seule solution \ car si deux fonctions distinctes

remplissaient Fune et Tautre toutes les conditions de Ténoncé, il est évident que l'équation

qui est au plus du degré m -+- «, admettrait pour racines les m -H 71 4- 1 valeurs données de a:, ce qui est impossible.

Cela posé, soient

les valeurs de u qui répondent aux valeurs données de ar,

Supposons d'abord que m de ces m + ra valeurs de n soient nulles; que Ton ait, par exemple,

il est évident que le numérateur de la fonction cherchée

sera

A (x — Xnj^^) (.r — ..r«4.,) . . . (.r — ■ Xn^,

SBCTIOlff It. — GHA]^IÏRE lU. 5l5

A étant une constante arbitraire; par duite, le dékioiïiina^ leur sera égal à

et si l'on donne à x les valeurs successives oto, j:,,..., x^^ il prendra les valeurs correspondantes :

on peut doue obtenir l'expression du dénominateur de u par la formule du n^230, et on trouve ainsi :

— (X, — ^„^.lj...^J:o — ârn^-fli) T" ^ \ / r"C T" -— v'

A . , V (x — j"o) (x — X, ), ..'(jc — j:„, )

Alors, en donnant à la constante arbitraire A la valeur

A = «a Ml tt) . . . Un

^Xq X„|| j . . . ^ Xq ^a+m )

XX / \ / v" ^S • • •

X , : Z TJ

5l6 COURS D'âLGÈBRB SDPÉKIBUnB.

le num«ràtear de la ibnclîoD u sera

(JP — '''il-»-!) [^ — ^n+i) • . •(*

et eeUe même fonclion aura pour dénominateur le terme

augmenté des h termes qu'on en déduit en faisant toutes les permutations des indices o, i, ^^,,.^n.

L'analyse du cas particulier que nous venons d'examiner nous conduit immédiatement à la solution du cas général.

Supposons effectivement que les quantités ££«, Ui,.**^ f'n.^ soient quelconques^ faisons dans chacime des expressions (i) et (2) toutes les permutations possibles des m -h « -f- 1 indices

et ajoutons, d^ns chaque cas, tous les résultats obtenus. La première somme sera le numérateur de la fonction demandée, et la seconde somme sera son dénominateur^ on aura ainsi

If a tf I • . . Un z-T - - -r — - - ^Yi

«.a,...tt,^,

(aro--x)(j:, — j:). ..(x„, — j:)

LC-^o — J^n y» •(^n — ^n-f-m) j* • • [ (x„i — J^n ) • • • (j^ji— 1 '»+■]]

Rien n'est plus facile que de vérifier ce résultat; faisons en effet x = x„f le numérateur de la formule précédente se réduira au produit de i/„ par la somme

«o«i. . .ir„,

OÙ les termes qui suivent le premier se déduisent dèce-

SECTION il. — CHâPtTIlE IIÎ. 317

luâ-ici en faisant toutes les permutations des m -h n indices

Or, c'est à cette somme que se réduit aussi le dénominateur de u pour a? =a:„; donc la formule (3) donne m = w„ pour X = a:„, et comme tout est symétrique par rapport aux indices, on a u = u^a pour x = Xfi^ quel que soit l'indice p.

La formule (3) subsiste dans le cas de tz ==: o, pourvu qu'on réduise son dénominateur à Tunité; elle coïncide alors avec la formule du n^ 230; elle subsiste également dans le cas de m = o, pourvu que Ton remplace le numérateur, par Uo, Ui,...^ i/„.

Dans le cas m = /i = i^» la formule (3) donne

X ' JET] X — — JC\ X "— X^

«««4 7 7 T + «d«a 7 rt \ -^^x^t

JC^ ~~* Jî JT) "~— X X^ — JT

"•7 T-; r •+• "i 7 TT r + 'h

(x, — JC, ) (jTo — Jc,) («:, — X,) (^, — Xi) (jT, — x«)(i:a — .r,)

Z?e5 5é/ïe5 récurrentes.